圓心角定理教材設(shè)計(jì)的思考與反思

張安軍

【摘 要】現(xiàn)行人教版九年級(jí)（上）“弧、弦、圓心角”中，用圓形紙片探究圓的旋轉(zhuǎn)不變性，學(xué)生感悟不深，后繼難以發(fā)現(xiàn)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系.基于定理教學(xué)思路的自然性構(gòu)建問題設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷定理的自然合理的發(fā)現(xiàn)和證明.

【關(guān)鍵詞】 弧、弦、圓心角;教材研究;教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版九年級(jí)（上）“§24.1.3弧、弦、圓心角”一課中，教材先讓學(xué)生進(jìn)行探究：“剪一個(gè)圓形紙片，把它繞圓心旋轉(zhuǎn)180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什么結(jié)論？把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度呢？”教材試圖通過學(xué)生動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)圓不僅是一個(gè)中心對稱圖形，而且圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性，然后利用圓的這一性質(zhì)，探索圓心角定理.事實(shí)上，學(xué)生能體悟到圓是中心對稱圖形，但對于圓的旋轉(zhuǎn)對稱性體悟是不夠的，按教材的思路進(jìn)行教學(xué)時(shí)，親身的課堂實(shí)踐或其它老師的公開課中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性發(fā)現(xiàn)圓心角、弧、弦之間的數(shù)量關(guān)系，更有甚者，老師利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性證明這一定理，學(xué)生也很難理解，感覺這個(gè)證明“怪怪的”.可見教材中這一教學(xué)設(shè)計(jì)不能很好體現(xiàn)認(rèn)知的合理性、思維的自然性.

1 基于思路自然性的教學(xué)設(shè)計(jì)

教材中對圓的旋轉(zhuǎn)不變性，僅僅讓學(xué)生旋轉(zhuǎn)一張圓形紙片，馬上得出圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，然后再利用旋轉(zhuǎn)不變性讓學(xué)生探索弧、弦、圓心角之間的數(shù)量關(guān)系.由于學(xué)生對圓的旋轉(zhuǎn)不變性還沒有準(zhǔn)確的理解，試圖讓學(xué)生利用這一性質(zhì)去探索弧、弦、圓心角的關(guān)系，教學(xué)的實(shí)效性大打折扣.事實(shí)上圓的旋轉(zhuǎn)對稱性在這里起到承上啟下的作用.承上是因?yàn)樵谶@之前研究過垂徑定理，垂徑定理體現(xiàn)了圓的軸對稱性，除了圓的軸對稱性外，圓還具有旋轉(zhuǎn)對稱性;啟下是因?yàn)閳A具有旋轉(zhuǎn)對稱性，可利用這一性質(zhì)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓心角定理，即弧、弦、圓心角之間的關(guān)系.可見對于圓的旋轉(zhuǎn)對稱性構(gòu)成了這節(jié)課的關(guān)鍵所在.教材中讓學(xué)生操作一張圓形紙片，試圖得出圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，在常人的眼里，圓的旋轉(zhuǎn)不變性太簡單了，其實(shí)不然，學(xué)生對概念的理解需要經(jīng)歷從過程到對象的凝固，需要思考，更需要沉淀.圓的旋轉(zhuǎn)不變性的理解也一樣，圓的旋轉(zhuǎn)不變性要基于兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后的比較.其次要建立旋轉(zhuǎn)前后圖形對應(yīng)關(guān)系，表現(xiàn)在圖形前后點(diǎn)與點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系.教材中僅讓學(xué)生通過一張圓形紙片的旋轉(zhuǎn)操作試圖得到圓的旋轉(zhuǎn)對稱性還是不夠的，把一個(gè)圖形在空間中想象成兩個(gè)圖形，學(xué)生是有困難的.因此在理解教材的基礎(chǔ)上，要個(gè)性化或者創(chuàng)造性的開發(fā)教材，讓課堂教學(xué)變得實(shí)效.基于上述的思考，對于圓心角、弦、弧的關(guān)系，教學(xué)中一方面讓學(xué)生自然而然想到圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，另一方面自然地利用旋轉(zhuǎn)對稱性發(fā)現(xiàn)并證明圓心角定理.基于兩方面的思考給出以下教學(xué)設(shè)計(jì)，供同行們參考.

問題1 上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

追問1：垂徑定理刻畫圓的什么性質(zhì)？

追問2：圓除了軸對稱性外，圓還有其它性質(zhì)嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè) 在學(xué)習(xí)“弧、弦、圓心角”關(guān)系前，先讓學(xué)生回顧上一節(jié)課的內(nèi)容，即垂徑定理，在這個(gè)定理中共有5個(gè)量，一般地已知2個(gè)量，就可以推出其它3個(gè)量.然后追問學(xué)生該定理體現(xiàn)了圓的什么樣性質(zhì)？若學(xué)生有困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生我們是如何證明該定理？圓除了軸對稱外，圓還有什么特別的性質(zhì)呢？繼續(xù)激發(fā)學(xué)生探究的熱情.

設(shè)計(jì)意圖 回顧垂徑定理，一方面從圓的軸對稱引出圓的旋轉(zhuǎn)對稱，另一方面本節(jié)課的“圓心角定理”共有3個(gè)量，已知1個(gè)量，就可以推出其它2個(gè)量，該定理的內(nèi)容和證明都和“垂徑定理”類似，為后繼的類比作鋪墊.

問題2 如圖1（1）—（5），正n邊形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)多少度能與原圖形重合？

追問1：隨著n的增大，正n邊形會(huì)趨向什么樣的圖形？

追問2：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度可以與其自身重合？

追問3：圓除了中心對稱圖形外，圓還具有什么樣的特性呢？

教學(xué)預(yù)設(shè) 從特殊的正三角形開始，讓學(xué)生先說出正三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)多少度還能與原圖形重合，然后慢慢從正方形、正六邊形拓展到正十二邊形、正二十四邊形，最后拓展到正n邊形，讓學(xué)生猜想隨著邊數(shù)無限的增加，正n邊形會(huì)趨向什么圖形.在這一變化過程中，讓學(xué)生體悟到圓繞圓心任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度都能與自身重合.然后追問學(xué)生何謂中心對稱圖形，即繞中心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，那么能否推廣這一概念，結(jié)合正n邊形，把中心對稱圖形的旋轉(zhuǎn)的度數(shù)從180°推廣到120°、90°、60°等等，更一般地得到旋轉(zhuǎn)對稱圖形概念，圓不僅是中心對稱圖形，更一般地圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

設(shè)計(jì)意圖 從正三角形拓展到正n邊形，隨著n的增大，正n邊形趨向圓，從具體到一般，從感性到理性，讓學(xué)生從正n邊形變化過程中自然而然感悟圓的第二個(gè)性質(zhì)，即圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性.

問題3 如圖2（1）—（3），等邊△ABC（正方形ABCD、正六邊形ABCDEF）繞中心點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠AOB能與自身重合.根據(jù)∠AOB位置特征，請你給這樣的角一個(gè)貼切的名稱？

追問1：如圖3，你能給圓心角下一個(gè)定義嗎？

追問2：如圖4，判別下列（1）—（4）哪些角是圓心角，并說明理由.

教學(xué)預(yù)設(shè) 教師先讓學(xué)生觀察等邊△ABC（正方形ABCD、正六邊形ABCDEF）中的旋轉(zhuǎn)角∠AOB，然后根據(jù)其位置特征的共同點(diǎn)，抽象概括得出圖3中的∠AOB，從中歸納出圓心角的概念，角的頂點(diǎn)在圓心取名為圓心角.在學(xué)生辨別圓心角的概念后，引導(dǎo)學(xué)生反思圓心角的概念的關(guān)鍵點(diǎn)是角的頂點(diǎn)在圓心.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注觀察正n邊形的旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的位置特征，從特例中歸納出圓心角的概念，圓心角的概念基于數(shù)學(xué)內(nèi)部自然地產(chǎn)生.

問題4 “垂徑定理”體現(xiàn)了圓的軸對稱性，圓還是旋轉(zhuǎn)對稱性圖形，那么圓還有別的性質(zhì)嗎？觀察圖5和圖6，你發(fā)現(xiàn)了什么？

追問1：你能把自己的猜想推廣到更一般嗎？

追問2：你能對自己所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè) 先讓學(xué)生觀察圖5（1），然后談?wù)勛约旱陌l(fā)現(xiàn)，學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)角相等，如：∠AOB=∠COB=∠COD=∠AOD=90°;可能會(huì)發(fā)現(xiàn)弦相等，如AB=BC=CD=DA;也可能發(fā)現(xiàn)弧相等，AB=BC=CD=DA，然后再剝離圖5（1）—（2），圖5（2）中兩條直徑垂直，即∠AOB=∠COD=90°，你還會(huì)得到些結(jié)論呢？同樣引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖6（1）—（2），在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生從特例中歸納出一般的結(jié)論，并對自己提出的猜想加以驗(yàn)證.

再引導(dǎo)學(xué)生站在整體、系統(tǒng)的角度思考這個(gè)問題，這個(gè)系統(tǒng)中共有三個(gè)量，若一個(gè)量為已知（如圓心角相等），就可以得到其它2個(gè)量相等，用基本量的思想再次引導(dǎo)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題.

設(shè)計(jì)意圖 從特殊的正方形和正六邊形中觀察它們相應(yīng)的圓心角、弦、弧之間的數(shù)量關(guān)系，然后分離變量，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生經(jīng)歷從朦朧到模糊，從模糊到清晰，圓心角定理的提出和證明水到渠成又自然合理.

（圓心角定理的應(yīng)用及其小結(jié)略）2 教學(xué)反思

2.1 理解教材的整體結(jié)構(gòu)，做好教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)

圓的有關(guān)性質(zhì)這一單元教材先定義圓的概念及其弧、弦等相關(guān)要素，然后折圓形紙片發(fā)現(xiàn)圓是一個(gè)軸對稱圖形，利用圓是軸對稱圖形進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)垂徑定理.本節(jié)課弧、弦、圓心角的引入也是先讓學(xué)生操作圓形紙片，發(fā)現(xiàn)圓是一個(gè)中心對稱圖形，進(jìn)一步操作該紙片，圓不僅是中心對稱圖形，圓還是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，利用圓的這一性質(zhì)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，具體地本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖8所示.

可以發(fā)現(xiàn)，教材的編者是基于整體的觀念編寫教材，通過圓的不同對稱性來探究圓的性質(zhì)，而具體在本節(jié)課中，教材通過旋轉(zhuǎn)圓形紙片讓學(xué)生感受圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性.圓的旋轉(zhuǎn)對稱性不同于軸對稱性，軸對稱及其性質(zhì)教材在八年級(jí)上進(jìn)行學(xué)習(xí)過，而旋轉(zhuǎn)對稱的概念是一個(gè)新的概念，教材雖然沒有提及旋轉(zhuǎn)對稱概念，但是后繼卻利用這一性質(zhì)去探索圓心角、弦、弧的關(guān)系.因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，既要站在教材整體角度理解教材思路，又要站在微觀的角度思考本節(jié)課前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)性設(shè)計(jì)教學(xué).具體地在本節(jié)課中只有學(xué)生理解了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性之后，弦、弧、圓心角之間的數(shù)量關(guān)系才能水到渠成.為了讓學(xué)生形成圓的旋轉(zhuǎn)對稱概念，在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)提出正多邊形至少旋轉(zhuǎn)多少角度才能和自身重合，從具體到一般，感性到理性，隨著正多邊形的邊數(shù)增加，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)越來越小，而正多邊形越來越趨于圓，在正多邊形和圓的變化過程中，學(xué)生自然而然感受圓的這一特性，圓不管旋轉(zhuǎn)多少度數(shù)都能自身重合.為后繼探索圓的性質(zhì)作了很好的鋪墊.

2.2 尋找定理發(fā)現(xiàn)的自然思路，發(fā)揮定理教學(xué)的育人價(jià)值

數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生與發(fā)展應(yīng)是自然合理的，但教材中的許多定理以直接的方式呈現(xiàn)，省略了定理產(chǎn)生和發(fā)展等過程的介紹.在教學(xué)中如果將這些定理直接強(qiáng)加給學(xué)生，不僅會(huì)讓學(xué)生感到定理來得突然，也不利于對定理本質(zhì)的理解.因此在定理教學(xué)中設(shè)計(jì)合適的思路，有效地讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，在探索過程中能有效地培養(yǎng)學(xué)生提出、發(fā)現(xiàn)問題的能力以及分析和解決問題的能力.那么教師如何設(shè)計(jì)才能最大實(shí)現(xiàn)定理教學(xué)育人價(jià)值呢？大教育家夸美紐斯就指出：“要使所用的方法能夠激起愛好知識(shí)的心思，它第一就需來得自然.因?yàn)樽匀坏氖虑榫投紵o需強(qiáng)迫.水往山下流是用不著強(qiáng)迫的.”從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程角度看，要合乎數(shù)學(xué)知識(shí)本身的邏輯結(jié)構(gòu)和發(fā)展規(guī)律;從學(xué)生思維和認(rèn)知的角度來看，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征.前一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問題，后一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問題.

2.2.1 遵循邏輯關(guān)系，促進(jìn)知識(shí)的自然生長

定理是揭示和反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性及屬性間聯(lián)系的一種重要形式，教師要深入理解定理的本質(zhì)，清晰定理的數(shù)學(xué)邏輯起點(diǎn)，理清定理中知識(shí)點(diǎn)間邏輯關(guān)系，自然而有機(jī)地展開知識(shí)的畫面，促進(jìn)知識(shí)在學(xué)生原有知識(shí)基礎(chǔ)上自然地生長.例如圓周角定理是體現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性.圓的旋轉(zhuǎn)對稱性是構(gòu)成圓心角定理的邏輯起點(diǎn)，而旋轉(zhuǎn)對稱性是中心對稱性的一般化，因此在本節(jié)課教學(xué)中，從中心對稱圖形出發(fā)，正多邊形旋轉(zhuǎn)的角度從180°拓展到一般的度數(shù)，在這個(gè)過程中，發(fā)展學(xué)生抽象、歸納、一般化等思想.當(dāng)學(xué)生深刻理解了圓的這一特性，讓學(xué)生探索圓心角、弧、弦的數(shù)量關(guān)系，尋找知識(shí)間的聯(lián)系，新知識(shí)的生長就顯得自然合理和水到渠成.

2.2.2 遵循認(rèn)知特點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)的新生長

讓新知識(shí)在舊的知識(shí)生長出來，就會(huì)十分自然卻容易被學(xué)生所接受.這是一個(gè)很重要的想法，因此教師在教學(xué)時(shí)，要基于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”提出問題，要基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和思維規(guī)律，教育心理學(xué)家奧蘇貝爾曾經(jīng)說過，如果把我的教育理論歸結(jié)為一句話，“那就是知道學(xué)生已經(jīng)會(huì)了什么，在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué).”因此在定理教學(xué)中找準(zhǔn)新舊知識(shí)固著點(diǎn).例如，教材中直接讓學(xué)生任意旋轉(zhuǎn)角度，發(fā)現(xiàn)圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，這一直接操作忽視了原圖形和旋轉(zhuǎn)后的圖形、原圖形的點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)之間對應(yīng)關(guān)系的建立，旋轉(zhuǎn)不變性的概念只有建立兩個(gè)圖形之間的對應(yīng)關(guān)系才能深度理解旋轉(zhuǎn)不變性.因此知識(shí)間新舊固著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前后的圖形建立對應(yīng)關(guān)系，而圖形的對應(yīng)關(guān)系體現(xiàn)在點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，基于這樣視角下，尋找特例等邊三角形旋轉(zhuǎn)120°后，在幾何畫板中能感受到點(diǎn)與點(diǎn)之間的對應(yīng)和旋轉(zhuǎn)前后圖形的不變性，然后從特殊到一般感悟到圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.又如，在學(xué)習(xí)圓心角定理之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)垂徑定理，這兩個(gè)定理非常類似，可以通過類比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生得到“在同圓或等圓中，相等圓心角所對的弧、弦都相等”，讓學(xué)生類比垂徑定理的學(xué)習(xí)，再次提出問題，用基本量的思想思考各要素之間的關(guān)系.教師在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”提出問題，讓學(xué)生思考，然后教師再提出更接近目標(biāo)的問題，使全體學(xué)生都得到思考與思維的發(fā)展，讓知識(shí)自然而合理地生發(fā)，學(xué)生積極而有效的建構(gòu).