高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中分類(lèi)討論思想的培養(yǎng)

韓立香

【摘 要】分類(lèi)討論思想是一種重要的辯證思想，在促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維能力，提升學(xué)生解題能力方面具有重要的作用。本文立足于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，就如何促使高中生形成良好的分類(lèi)討論思想進(jìn)行了深入探討。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);分類(lèi)討論思想;培養(yǎng)對(duì)策

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）22-0216-01

數(shù)學(xué)解題教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，旨在鍛煉學(xué)生的思維能力，提升他們的數(shù)學(xué)解題能力。分類(lèi)討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在優(yōu)化學(xué)生解題思路，提高學(xué)生解題質(zhì)量與效率，促使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成方面具有重要的作用，強(qiáng)化分類(lèi)討論思想培養(yǎng)理念在課堂教學(xué)中的滲透顯得尤為重要。

一、分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)的意義

分類(lèi)討論思想本質(zhì)上是一種重要的數(shù)學(xué)思想，核心要素表現(xiàn)在“分類(lèi)”與“討論”上，具體就是首先通過(guò)對(duì)某一問(wèn)題中可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行分類(lèi)處理，然后再針對(duì)不同范圍與條件下的問(wèn)題進(jìn)行深入討論，以此確保問(wèn)題求解的全面性。在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)為學(xué)生傳授分類(lèi)討論思想，引導(dǎo)他們樹(shù)立分類(lèi)處理意識(shí)、討論意識(shí)和整合處理意識(shí)，有利于優(yōu)化學(xué)生解題思路，降低學(xué)生求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度，提高問(wèn)題求解的精確度與效率。因此，為了有效地提升高中生的解題能力，教師要善于結(jié)合某些具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生掌握分類(lèi)討論思想，力求以此不斷地提升學(xué)生的解題能力。

二、分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)的對(duì)策

1.應(yīng)用于求解函數(shù)問(wèn)題。

函數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為常見(jiàn)的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，相關(guān)的題目類(lèi)型眾多，并且其中有很多的數(shù)學(xué)題目本身的不確定性比較明顯，如許多數(shù)學(xué)題目問(wèn)題中包含有比較多的參數(shù)變量，無(wú)法準(zhǔn)確確定其取值，這時(shí)候最終函數(shù)的結(jié)果也會(huì)因?yàn)閰?shù)變量的改變而相應(yīng)地發(fā)生改變，這就為分類(lèi)討論思想的應(yīng)用提供了一個(gè)良好的應(yīng)用條件。因此，在引導(dǎo)學(xué)生求解數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以有效地結(jié)合函數(shù)分類(lèi)討論方面的一些理論與思想，依據(jù)有關(guān)的函數(shù)的特征，對(duì)函數(shù)中涉及到的參數(shù)變量進(jìn)行分類(lèi)討論，力求可以全面、深入地剖析某個(gè)研究對(duì)象，這樣可以顯著提升數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的精確性。

例1：已知函數(shù)f（a）=a10-a5+a2-a+1，試求f（a）>0條件下參數(shù)a的取值范圍？

解析：在本道數(shù)學(xué)問(wèn)題中，函數(shù)f（a）本身涉及到多個(gè)多項(xiàng)式，它們的底數(shù)相同。而指數(shù)函數(shù)本身具有很強(qiáng)的單調(diào)性特性，且單調(diào)性情況與底數(shù)值的大小情況具有緊密聯(lián)系，所以為了更好地解決該道數(shù)學(xué)問(wèn)題，就必須要針對(duì)底值的大小情況進(jìn)行分類(lèi)討論，無(wú)法直接得出最終結(jié)論。

解：（1）當(dāng)a<0時(shí)，其偶次冪為正數(shù)，奇次冪為負(fù)數(shù)，所以可知f（a）=≥1，故符合題干要求;

（2）當(dāng)a=0或a=1時(shí)，f（a）=1>0，故符合題干要求;

（3）當(dāng)a>1時(shí)，可知a10>a5，a5>a2，所以可知f（a）>1，故符合題干要求;

（4）當(dāng)00。

綜上所述，在本道題中對(duì)任意參數(shù)a的取值，都滿足f（a）>0條件。

2.應(yīng)用于求解概率問(wèn)題。

概率問(wèn)題也是一道典型的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，是高中數(shù)學(xué)考試的必考內(nèi)容。由于概率問(wèn)題本身涉及到比較大的不確定性，所以在相關(guān)問(wèn)題的求解中也可以通過(guò)分類(lèi)討論思想確保概率問(wèn)題求解的質(zhì)量。在求解該概率問(wèn)題的時(shí)候，教師可以指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題干信息以及相關(guān)要求，對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題首先進(jìn)行分類(lèi)處理，之后再針對(duì)不同類(lèi)別的問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)求解，以此確保問(wèn)題求解的質(zhì)量和效率。首先，要確定概率問(wèn)題的概率類(lèi)型，對(duì)題目信息中給定條件的各個(gè)數(shù)進(jìn)行逐個(gè)編號(hào)，結(jié)合研究問(wèn)題中對(duì)象的可能值，利用分類(lèi)討論思想去明確不同討論狀態(tài)下的問(wèn)題求解結(jié)果，最終提升問(wèn)題求解能力。

例2：在某個(gè)國(guó)家舉辦奧運(yùn)火會(huì)的時(shí)候，該國(guó)舉辦了火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)，其中18位火炬?zhèn)鬟f手的編號(hào)依次為1，2，3……18，試求從其中任選3人后能夠構(gòu)成以公差為3等差數(shù)列的概率？

解析：該道數(shù)學(xué)概率題是一道古典概率型問(wèn)題，其中總數(shù)C=17×16×3。為了準(zhǔn)確地確定該道數(shù)學(xué)問(wèn)題中滿足等差數(shù)列的各種結(jié)果，避免出現(xiàn)遺漏某一種情況，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采取分類(lèi)討論的方式，假定構(gòu)成的等差數(shù)列an=a1+3（n-1）。然后分別探討a1=1，2，3情況下可能存在的各種可能性結(jié)果。

解：當(dāng)a1=1時(shí)，火炬手選擇的結(jié)果主要可以從1，4，7，10，13和16中選擇，總計(jì)可以有4種構(gòu)成法（1，4，7;4，7，10;7，10，13;10，13，16）。同理，當(dāng)a1=2時(shí)，火炬手選擇的結(jié)果可以從2，5，8，11，14和17這幾個(gè)編號(hào)中選擇，總計(jì)有4種可能的結(jié)果;當(dāng)a1=3時(shí)，火炬手選擇的結(jié)果可以從3，6，9，12，15，18這幾個(gè)編號(hào)中選擇，總計(jì)有4種可能的結(jié)果。如此一來(lái)，可知最終的概率P=（4+4+4）/C=1/68。

3.應(yīng)用于求解數(shù)列問(wèn)題。

數(shù)列問(wèn)題也是高中數(shù)學(xué)解題中比較重要的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的抽象性比較強(qiáng)，學(xué)習(xí)難度比較大，使得許多高中生在面對(duì)的時(shí)候常常撓頭，不知道如何下手。特別是在涉及到數(shù)列周期性等方面問(wèn)題時(shí)，非常適宜采取分類(lèi)討論思想，這樣可以有效地提升數(shù)列問(wèn)題求解的質(zhì)量和效率。比如，針對(duì)沒(méi)有給出公比q具體值的等比數(shù)列問(wèn)題，需要注意考慮q=1和q≠1等情況，力求確保問(wèn)題求解的全面性，這樣才能有效地提升數(shù)列問(wèn)題求解的質(zhì)量。

例3：已知等比數(shù)列{an}，其中a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，且ak+1，ak+2，ak+3構(gòu)成等差數(shù)列（k∈N），試求：（1）試求數(shù)列{an}的公比q;（2）試求Sk+1，Sk+2，Sk+3是否構(gòu)成等差數(shù)列？（k∈N），理由呢？

解析：為了求解該道數(shù)列問(wèn)題，需要先明確數(shù)列的公比q，這點(diǎn)可以從數(shù)列概念加以提出，而后可以借助前n項(xiàng)和對(duì)Sk+1，Sk+2，Sk+3是否為等差數(shù)列進(jìn)行仔細(xì)地判定。通過(guò)分類(lèi)討論，最終可以便捷地求解出最終的答案。

解：（1）由于數(shù)列中的ak+1，ak+2，ak+3構(gòu)成等差數(shù)列，所以可知：ak+1=qk，ak+2=qk+1，ak+3=qk+2三者構(gòu)成等差數(shù)列，此時(shí)可以求得q=1或q=-1/2。

（2）當(dāng)q=1時(shí)，Sk+1=k+1，Sk+2=k+2，Sk+3=k+3，此時(shí)Sk+1，Sk+2，Sk+3無(wú)法構(gòu)成等差數(shù)列;當(dāng)q=-1/2的時(shí)候，Sk+1=2/3（1-（-1/2）k+1），Sk+2=2/3（1-（-1/2）k+2），Sk+3=2/3（1-（-1/2）k+3），經(jīng)計(jì)算可知：2 Sk+2= Sk+1+ Sk3，所以此時(shí)Sk+1，Sk+2，Sk+3為等差數(shù)列。

綜上所述，分類(lèi)討論思想是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中一種重要的數(shù)學(xué)思想，在簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生解題準(zhǔn)確度方面的作用非常顯著。因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以結(jié)合具體例題，將分類(lèi)討論思想在數(shù)列、函數(shù)以及概率等問(wèn)題求解中的應(yīng)用方法傳授給學(xué)生，力求有效提升學(xué)生的解題能力。

參考文獻(xiàn)

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