角 谷 猜 想

張紅梅 楊艷 暴愛(ài)芳 梁立峰

我們從南京師范大學(xué)出版社出版發(fā)行，葛軍、雍崢嶸主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克啟蒙》第一冊(cè)第三頁(yè)、第四頁(yè)發(fā)現(xiàn)角谷猜想：一個(gè)正整數(shù)如果它是偶數(shù)，那么用2除它;如果是奇數(shù)，則將它乘以3后再加上1，這樣反復(fù)運(yùn)算最終必然得1。

在教學(xué)過(guò)程中，我們引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐角谷猜想，開(kāi)拓學(xué)生思維，感受數(shù)學(xué)之美。共同的愛(ài)好使我們走到一起，申請(qǐng)成立研究團(tuán)隊(duì)。我們嘗試多角度探究、推理、論證，多次交流改進(jìn)思路，形成自己的論證思路和觀點(diǎn)。

論證過(guò)程：

當(dāng)N=1時(shí)，N=1

當(dāng)N=2時(shí)，N/2=2/2=1

當(dāng)N≥3時(shí)，把正整數(shù)分成三類(lèi)：3m，3m+1，3m+2 ?.

一、3m

1.m=2k ?3m=3*2k=6k，它是偶數(shù)，所以6k/2=3k=3m（令m=k）;

2.m=2k+1 ?3m=3*（2k+1）=6k+3，它是奇數(shù)，3*（6k+3）+1=18k+9+1

=18k+10=2（9k+5），它是偶數(shù)，2（9k+5）/2=9k+5=3*3k+3+2

=3（3k+1）+2=3m+2（令m=3k+1） .

二、3m+1

1.m=2k ?3m+1=3*2k+1=6k+1，它是奇數(shù)，所以3（6k+1）+1=18k+3+1

=18k+4=2（9k+2），它是偶數(shù)，2（9k+2）/2=9k+2=3*3k+2=3m+2（令m=3k）;

2.m=2k+1

當(dāng)k=0，m=1，3m+1=4，4/2=2，2/2=1

當(dāng)k≠0時(shí)，3m+1=3（2k+1）+1=6k+3+1=6k+4=2（3k+2），它是偶數(shù)，2（3k+2）/2=3k+2=3m+2（令m=k）.

三、3m+2

1.m=2k ?3m+2=3*2k+2=6k+2=2（3k+1），它是偶數(shù)，

2（3k+1）/2=3k+1=3m+1（令m=k）;

2.m=2k+1 ?3m+2=3*（2k+1）+2=6k+3+2=6k+5，它是奇數(shù)，

3（6k+5）+1=18k+15+1=18k+16=2（9k+8），它是偶數(shù)，

2（9k+8）/2=9k+8=3*3k+6+2=3（3k+2）+2=3m+2（令m=3k+2）.

流程示意圖