研發(fā)數(shù)學(xué)思想課程的必要性

段立偉

摘 ? 要：當(dāng)前學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)思想方面的系統(tǒng)知識(shí)，使得學(xué)習(xí)多在細(xì)處鉆研不能串聯(lián)。解決這一問(wèn)題有效方法之一是編制數(shù)學(xué)思想課程，通過(guò)有序、緊湊的課堂學(xué)習(xí)來(lái)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;課程化

中圖分類號(hào)：G623.5 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1009-010X（2019）19/22-0113-06

一、問(wèn)題的提出

（一）課題研究的背景

長(zhǎng)久以來(lái)在小學(xué)數(shù)學(xué)界一直認(rèn)為數(shù)學(xué)有兩條線：數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，數(shù)學(xué)思想是一條暗線。這種認(rèn)識(shí)是片面的，不科學(xué)的。眾所周知，人的學(xué)習(xí)分兩種：一種是上行學(xué)習(xí)，如理論、思想、方法、概念的學(xué)習(xí)，是從高處入手，往往具有提綱挈領(lǐng)的作用;一種是下行學(xué)習(xí)，如具體的題型、知識(shí)點(diǎn)、經(jīng)驗(yàn)的積累與感悟，這兩種學(xué)習(xí)相輔相成，缺一不可。當(dāng)學(xué)生知識(shí)存量少時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想是符合認(rèn)知規(guī)律的，當(dāng)學(xué)生知識(shí)達(dá)到一定存量時(shí)，思想就有了學(xué)習(xí)的條件，隨著學(xué)生知識(shí)量的增加，如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)減輕大腦負(fù)擔(dān)，提升思維效率，變革知識(shí)結(jié)構(gòu)將越來(lái)越成為必要。當(dāng)前師生普遍缺乏數(shù)學(xué)思想方面的知識(shí)，使得學(xué)習(xí)多在具體問(wèn)題上徘徊，解決這一問(wèn)題最直接有效的方法是編制數(shù)學(xué)思想課程，通過(guò)有序、緊湊的課堂學(xué)習(xí)來(lái)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系。新課標(biāo)也明確指出掌握“數(shù)學(xué)思想方法”是四基之一。正是在這樣的背景下，我們提出了研發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程的課題。

（二）國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及分析

國(guó)際數(shù)學(xué)教育改革呈現(xiàn)出了突出數(shù)學(xué)思想方法作用的趨勢(shì)，現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)的指導(dǎo)思想是“大眾數(shù)學(xué)”，大眾數(shù)學(xué)是指把數(shù)學(xué)教育從單純以升學(xué)為目的轉(zhuǎn)向?yàn)槿粘Ｉ?、就業(yè)需要與進(jìn)一步學(xué)習(xí)相結(jié)合方面上來(lái)，大眾數(shù)學(xué)的關(guān)鍵就是數(shù)學(xué)思想方法的大眾化。目前，國(guó)際上以“數(shù)學(xué)思想方法大眾化”為理念的小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程并不多見，這也是理念多于實(shí)踐的原因之一。

國(guó)內(nèi)在知網(wǎng)，萬(wàn)方網(wǎng)、維普網(wǎng)中輸入“小學(xué)數(shù)學(xué)思想”關(guān)鍵詞后，我們共得到相關(guān)研究成果近2萬(wàn)之多！再對(duì)近3年下載量前10的研究成果進(jìn)行分析梳理后，我們得到的結(jié)論是：普遍是“……思想滲透”“……思想有效策略”。在對(duì)近三年立項(xiàng)課題的搜比結(jié)論基本相同。廣大優(yōu)秀教師和專家學(xué)者在這些方面做了大量的、深入的、卓有成效的研究，但在數(shù)學(xué)思想如何大眾化、系統(tǒng)化、課程化的研究方面是比較少的，原因有多方面，但主要是我們一直認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想應(yīng)選擇滲透方式。

（三）本單位調(diào)研情況

2016年5月，在本單位六年級(jí)各班共發(fā)放“小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)思想了解度”調(diào)查問(wèn)卷300份，收回有效問(wèn)卷278份。

1.你知道什么是數(shù)學(xué)思想嗎？

統(tǒng)計(jì)：不知道和知道一點(diǎn)的人數(shù)占91.0%。

2.下面的數(shù)學(xué)思想哪些是你熟悉或聽說(shuō)過(guò)的？

統(tǒng)計(jì)： 200次以上的有方程、統(tǒng)計(jì)、假設(shè)，在100到200之間的有歸納、轉(zhuǎn)化、等量代換、量率對(duì)應(yīng)、概率。

3.你覺(jué)得數(shù)學(xué)思想有沒(méi)有學(xué)習(xí)的必要？

統(tǒng)計(jì)：認(rèn)為很有必要的人數(shù)占70.9%。

4.你見過(guò)專門講小學(xué)數(shù)學(xué)思想的書籍嗎？

統(tǒng)計(jì)：“沒(méi)見過(guò)”的學(xué)生占73.0%。

5.你知道數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)能力的關(guān)系嗎？

統(tǒng)計(jì)：不知道和知道一點(diǎn)的占87.1%。

6.平時(shí)上課老師講數(shù)學(xué)思想嗎？

統(tǒng)計(jì)：經(jīng)常講的只占10.4%，基本不講和很少講的占52.5%。

在對(duì)15名數(shù)學(xué)教師（非課題組教師）的座談中，統(tǒng)計(jì)到能說(shuō)出三種數(shù)學(xué)思想的2人，說(shuō)出一種的5人，能結(jié)合例子簡(jiǎn)述化歸含義的2人。

綜合分析，可得到以下判斷：

（1） 數(shù)學(xué)思想是有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的;

（2）學(xué)生想學(xué)，教師想教是明確的;

（3）大家在數(shù)學(xué)思想方面的知識(shí)是不夠完善的。

二、分析現(xiàn)狀成因

（一）客觀上

一是選拔性的“應(yīng)試教育”為社會(huì)普遍認(rèn)可，使得數(shù)學(xué)思想教育不受重視;二是教師的數(shù)學(xué)思想知識(shí)不夠完善;三是缺少適合在課堂上教學(xué)的小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程。

（二）主觀上

長(zhǎng)久以來(lái)在小學(xué)數(shù)學(xué)界一直認(rèn)為數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)是從屬于知識(shí)點(diǎn)的。

通過(guò)完成有一定參考與應(yīng)用價(jià)值的小學(xué)數(shù)學(xué)思想課程，來(lái)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系。此課程需站在系統(tǒng)的高度組織小學(xué)數(shù)學(xué)思想，需符合“大眾數(shù)學(xué)”理念。

三、課程的理論依據(jù)

（一）哲學(xué)中的系統(tǒng)論

所謂系統(tǒng)是由相互聯(lián)系、相互依賴、相互制約和相互作用的若干要素組成的一個(gè)具有整體功能和綜合行為的統(tǒng)一體。它具備四性：整體性、層次性、結(jié)構(gòu)性和開放性。小學(xué)數(shù)學(xué)思想系統(tǒng)是建立在小學(xué)數(shù)學(xué)課程基礎(chǔ)上，以小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想做系統(tǒng)要素，以反映各要素之間在數(shù)學(xué)上的邏輯關(guān)系，和在學(xué)習(xí)上的過(guò)程關(guān)系為目的的系統(tǒng)。

（二）認(rèn)知規(guī)律

認(rèn)知心理學(xué)證明，約11、12歲的兒童，思維已進(jìn)入了形式運(yùn)算階段，接近于成人思維，這一階段的兒童可以不再依靠具體事物來(lái)運(yùn)算，能對(duì)抽象的和表征的材料進(jìn)行邏輯推算，所以形式邏輯的演繹、歸納、類比以及更加抽象化、符號(hào)化的數(shù)理邏輯都有可學(xué)的內(nèi)因。

（三）課標(biāo)要求

新課標(biāo)明確了“數(shù)學(xué)思想方法”是四基之一。

四、課程簡(jiǎn)介

（一）課程目標(biāo)

通過(guò)課程學(xué)習(xí)幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想智慧體系，培養(yǎng)學(xué)生“對(duì)稱、有序、變通”的思維能力。

（二）課程建構(gòu)指導(dǎo)思想

思想是智慧，智慧是不能嚴(yán)格按從屬關(guān)系建構(gòu)的，但基本結(jié)構(gòu)（集合、等分、比較）是清楚的;核心思想（抽象、推理、模型）是不變的;對(duì)稱、有序、變通的思維智慧是統(tǒng)一的。

（三）內(nèi)容概述

總的來(lái)說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)思想可捋出五條線索。

第一條線索（第一單元），集合、等分、比較、推理是主線。人做事或思考問(wèn)題都應(yīng)先定目標(biāo)，再依目標(biāo)定范圍，順秩序。順秩序有兩個(gè)目的，一來(lái)是想知道集合大小，這時(shí)順秩序具體為對(duì)集合建量綱，可通俗為有序等分;二來(lái)是要研究集體內(nèi)各元素，各方面及與外集合之間對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，這時(shí)順秩序具體為“比較”與“推理”，比較是從策略上組織集合，先分層劃分集合，再歸納類質(zhì)，再分析類間關(guān)系，系統(tǒng)的把握集合，但如何歸納，如何整體把握，則需要明白歸納、類比、演繹是如何的學(xué)問(wèn)，課程把其通俗為同類同理、異類同理、依理推理。

當(dāng)學(xué)生學(xué)到以上知識(shí)，數(shù)學(xué)思想的智慧體系框架也就有了，緊跟其后是“類、基本數(shù)量關(guān)系與關(guān)系句”的學(xué)習(xí)，這樣安排理由有三，一來(lái)是基本數(shù)量關(guān)系、關(guān)系句與具體應(yīng)用題之間存在著緊密的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，也是鍛煉學(xué)生思維能力的重要方面;二來(lái)能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想作為上位知識(shí)的學(xué)習(xí)優(yōu)勢(shì);三是體現(xiàn)學(xué)以致用的務(wù)實(shí)精神。

第二條線索（第二單元）是對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化與不變求變。對(duì)應(yīng)是轉(zhuǎn)化的條件，轉(zhuǎn)化是對(duì)應(yīng)的目的，不變求變是對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化的補(bǔ)充（強(qiáng)調(diào)條件、策略）。

第三條線索（第三單元）是分與合。從簡(jiǎn)單的湊、刨，到秩序上的排列與組合，再到分類、討論與整合，分解、重組與整合，分合之間的智慧由表及里，層遞深入。

第四條線索是對(duì)消、還原、方程與假設(shè)。這四個(gè)思想有著緊密的聯(lián)系， 從方程來(lái)說(shuō)，還原與對(duì)消是解方程的根據(jù)，從假設(shè)思想來(lái)說(shuō)，方程的解題觀與假設(shè)的解題觀正好對(duì)立，方程是“順其自然”，假設(shè)是“有意而為”。

第五條線索是極限與統(tǒng)計(jì)概率。這兩個(gè)思想統(tǒng)一在頻率上，頻率屬統(tǒng)計(jì)范疇，概率可以看成是頻率的極值，區(qū)別是極限在終極狀態(tài)下解問(wèn)，統(tǒng)計(jì)與概率是為決策而立術(shù)建說(shuō)。

最后一課講“對(duì)稱、有序、變通”的智慧，從更高更深刻的層次統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)思想智慧體系，不論數(shù)學(xué)還是在其它學(xué)科，還是生活、工作都應(yīng)用它來(lái)指導(dǎo)自己的思維。

課程由理論、教材解析、教材三部分組成，共五個(gè)單元19節(jié)，約22課時(shí)。

（四）課程內(nèi)容特色

兼顧大眾理念，科學(xué)思維和課本關(guān)鍵知識(shí)。

1.在大眾數(shù)學(xué)方面。集合、等分、比較是具有普遍實(shí)踐意義的數(shù)學(xué)思想;歸納、類比、演繹是具有普遍推理意義的數(shù)學(xué)思想;對(duì)稱、有序、變通的思維是數(shù)學(xué)思想的智慧根據(jù)（圖1）。

圖1：對(duì)稱、有序、變通是建構(gòu)與推理的根據(jù)

2.在與課本關(guān)鍵知識(shí)結(jié)合方面。課程將基本數(shù)量關(guān)系、基本關(guān)系句、典型應(yīng)用題、統(tǒng)計(jì)與概率、方程等方面的知識(shí)及相應(yīng)技能與數(shù)學(xué)思想融為一體，充分發(fā)揮課程在上位學(xué)習(xí)方面的優(yōu)勢(shì)。在“部分課程”中，部整、份總、大小、倍比是最基本的數(shù)量關(guān)系。一類內(nèi)分有部整關(guān)系，當(dāng)內(nèi)等分時(shí)，部整關(guān)系可以轉(zhuǎn)代成份總關(guān)系;兩類比較有大小關(guān)系，當(dāng)大數(shù)可按小數(shù)等分時(shí)，大小關(guān)系轉(zhuǎn)代成倍比關(guān)系;分率是兩量按1：1等分后的份比關(guān)系，在一類內(nèi)分中：分率=■，一般寫成：“部分量=整體量×分率”，在兩類比較中：分率=■，一般寫成：“比較量=標(biāo)準(zhǔn)量×分率”，根本是■=■的比例方程。

3.以間隔模型為例，示范如何科學(xué)的思維。課程以間隔問(wèn)題為例展開教學(xué)，選擇間隔是因?yàn)橛泻芏囝}型都可以歸結(jié)到這一模型上，在它的身上可以深層次的體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)，能充分地說(shuō)明對(duì)稱的、有序的、變通的思維方式能帶給學(xué)生極好的印象及起到示范作用。

（1）與“不封閉”對(duì)稱的是“封閉”。植樹問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的間隔問(wèn)題，主要講不封閉的間隔關(guān)系，與它對(duì)稱是封閉的間隔關(guān)系。在植樹問(wèn)題中，首先研究的是兩端都植的間隔關(guān)系，還有一端植一端不植，和兩頭都不植的情況存在，這三種情況對(duì)稱在差異上，分別總結(jié)各自的間隔關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生變通看待，即“一端不植”和“兩端不植”可以看成是“兩端都植”的特例。

在封閉中，最簡(jiǎn)單的是圓。引導(dǎo)學(xué)生先研究圓中的間隔關(guān)系，再研究不圓，并最后整合出不論“圓”與“不圓”只要是封閉的線就都有“點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)=每邊點(diǎn)數(shù)×4-4=（每邊點(diǎn)數(shù)-1）×4”的穩(wěn)定關(guān)系存在。而封閉的間隔關(guān)系，又可以與不封閉中“一端不植”的情況變通，從而實(shí)現(xiàn)更廣泛意義的變通。

（2）與“線”對(duì)稱的是“面”。不封閉也罷，封閉也罷，總的來(lái)說(shuō)都是間隔在線上的關(guān)系。線與面對(duì)稱，面上最簡(jiǎn)單的間隔關(guān)系是方陣，方陣中最簡(jiǎn)單是實(shí)陣，與實(shí)陣對(duì)稱的是虛陣，依次歸納各間隔關(guān)系，最后再整合優(yōu)化，融會(huì)貫通。

當(dāng)虛陣只剩一層時(shí)，虛陣就變通成一條封閉的線，它的“虛陣點(diǎn)數(shù)=4×層數(shù)×（最外層每邊數(shù)-層數(shù)）”公式就變通成“虛陣點(diǎn)數(shù)=4×1×（最外層每邊數(shù)-1）”與封閉線上“點(diǎn)數(shù)=（每邊點(diǎn)數(shù)-1）×4”又統(tǒng)一了。

（3）與“面”對(duì)稱的是“體”。面與體對(duì)稱。體即物體，而物體與點(diǎn)線面最大的區(qū)別在于運(yùn)動(dòng)。所以這樣看來(lái)，前面所研究的為靜，而靜與動(dòng)對(duì)稱且變通，在動(dòng)中最簡(jiǎn)單的是行程，行程中的“時(shí)間=路程÷速度”，從靜的角度看，就是以速度為間距，看路程中有這樣幾個(gè)間隔，這樣看來(lái)“份數(shù)=總數(shù)÷每份”“數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)”“工作時(shí)間=工作量÷工作效率”均為間隔。

（4）與“行程”對(duì)稱的是“工程”。行程與工程對(duì)稱，差異在行程必須有具體量，而工程無(wú)量綱。

（5）“一般行程”與“典型行程”對(duì)稱。在典型行程問(wèn)題中，最直接的間隔問(wèn)題是“相遇”，求“相遇時(shí)間”就是求“相遇路程”。如果以“速度和”為間距的話，有多少個(gè)間隔。相遇是相對(duì)而行，與相對(duì)而行差異對(duì)稱的是相反和同向，相反的問(wèn)題可以歸結(jié)到“相遇”的關(guān)系上，同向的問(wèn)題可以歸結(jié)到“追擊”上，求“追擊時(shí)間”就是求“追擊路程”中有多少個(gè)以“速度差”為間距的“間隔數(shù)”。

（6）“行程”與“非行程”對(duì)稱。非行程典型間隔問(wèn)題是“盈虧”與“雞兔同籠”。盈虧是看由于兩次配額不同造成的總差距（盈加虧），里面有多少個(gè)小差距（配額差），其實(shí)質(zhì)就是在求間隔數(shù)。雞兔同籠也是這樣，假設(shè)全是兔，算出總腿差，再看造成這么大的差需要多少個(gè)小差（4-2），從而算出雞的只數(shù)。

間隔模型的這種同干異枝，同枝異條，同條異花，同花異果，同果異味兒，為怎樣對(duì)稱的、有序的、變通的思維做了很好的示范，能讓學(xué)生印象深刻、記憶久遠(yuǎn)，遷移廣泛。

五、問(wèn)題與設(shè)想

因課程綜合性，如想連續(xù)完整的學(xué)習(xí)建議安排在六年級(jí)下學(xué)期。如果能將課程分層于四至六年級(jí)效果理應(yīng)更好，做小初銜接也很有意義。如果能統(tǒng)一思想框架，并在此框架下建構(gòu)一架多本的數(shù)學(xué)思想特色課程，將會(huì)更有意義。

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