步步為營，穩(wěn)中求變
——2019年濟南市數(shù)學學考第27題賞析

☉山東省濟南實驗初級中學 趙圣柱

每年的學業(yè)水平測試不但承擔著檢測一個初三學生是否達到畢業(yè)標準的任務，而且有為高一級中學選拔優(yōu)秀人才的雙重使命.因此學業(yè)水平測試題目既要全面考查初中階段應知應會的基礎知識、基本技能和情感態(tài)度價值觀，而且要考查學生是否會靈活運用數(shù)學知識在數(shù)學思想指引下解決基本問題，是整個命題團隊集體教研、集體探討形成的智慧結晶.因此，研究每一年的學考為初三的數(shù)學老師指明了教學方向.我今年又送了一屆畢業(yè)班，有幸被選中參加了中考閱卷，在緊張的閱卷過程中看到數(shù)以萬計的學生答題情況，和其他閱卷老師交流討論學生的答題思路收獲很大.下面就2019年濟南市中考第27題的設計談談個人的感悟.

（2019年濟南市中考第27題）原題如下：

已知：在如圖1所示的直角坐標系中，拋物線C1∶y=ax2+bx經(jīng)過點A（-4，0）、B（-1，3），將拋物線C1∶y=ax2+bx繞原點O轉(zhuǎn)180度后得到C2.

（1）求拋物線C1的解析式和頂點G的坐標.

（2）點D是拋物線C1對稱軸左側的一個動點，設點D的橫坐標為m，連接DO并延長交拋物線C2于點E，交過點A的直線于點M，若，求m的值.

（3）在（2）的條件下，若拋物線上存在點P使得∠PED=∠GAB，求點P的橫坐標.

乍一看題目，濟南師生感覺到變化很大：涉及了濟南市沒有考過的拋物線運動.但是通覽全題就會發(fā)現(xiàn)這個題目依然體現(xiàn)了濟南市命題的穩(wěn)定性：第（1）問是常規(guī)的求拋物線的解析式和頂點的坐標；第（2）問考查了初中所學的中點、中位線、中心對稱、相似等知識，把點D的坐標轉(zhuǎn)化為點M的坐標，利用公共點M是直線DE和直線AM的交點這一特性達到求出m的目的，思路指向明確，很好地考查了學生靈活應用所學知識解決基本問題的能力；第（3）問是在第（2）問回答的基礎上探究兩個角相等前提下未知點P的坐標.這就打開了學生的思考空間，一般兩個角相等就是尋找相似，苦于未知點P導致直線PE畫不出，基本圖形找不到而無從下手.個人感覺2019年濟南市命題思路清晰，既體現(xiàn)了中考命題的持續(xù)穩(wěn)定性，全面考查了學生的學習情況，又能在壓軸題目中突破舊思路而不斷創(chuàng)新，從知識點的全面考查，到數(shù)學思想的體現(xiàn)和應用數(shù)學解決問題實現(xiàn)情感態(tài)度價值觀的經(jīng)歷中，很好地體現(xiàn)了初中數(shù)學的核心素養(yǎng).下面從不同角度的解題思路分析如下：

第（1）問是很常規(guī)的基本運算的考查：

只要把A、B兩點的坐標代入到y(tǒng)=ax2+bx，得到：輕松得到解析式：y=-x2-4x.再把點A與點O的坐標代入對稱軸公式先求橫坐標x=再求縱坐標；或者直接代入頂點公式，求得點G（-2，4）.第（1）問是送分的題目，這就要求教師在講解待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式時要到位，務必使每個學生掌握用待定系數(shù)法確定解析式和二元一次方程組的求解，還要掌握頂點坐標公式，這是應知應會的基礎知識，不允許出錯.

第（2）問考查學生靈活應用知識的能力，粗略一看涉及了拋物線旋轉(zhuǎn)、線段的倍數(shù)關系、與未知直線的交點等很多不相干的頭緒.但是抽絲剝繭后就會發(fā)現(xiàn)完全可以轉(zhuǎn)化為很基礎的數(shù)學知識.也正因為如此，考生們?nèi)收咭娙手钦咭娭?，解題的方法較多.閱卷結束后反復回顧總結出常見的三種解題思路：

圖1

圖2

方法1：借助中點是最簡單的思路.按照題目要求，一步步轉(zhuǎn)化即可：如圖2，因為拋物線旋轉(zhuǎn)180°，就意味著點E、D關于原點中心對稱.又因為，所以可以轉(zhuǎn)化為OM=2OE，也相當于點E是線段OM的中點.因此設點D（m，-m2-4m）.那么，由中心對稱得到點E（-m，m2+4m），進而得到點M（-2m，2m2+8m）.因為點M在過點A（-4，0）的直線上，確定直線為把點M的坐標代入，得到二次方程得到又因為點D在對稱軸的左側，所以m=-3.

方法2：通過方法1的分析，可以轉(zhuǎn)化為利用位似圖形的性質(zhì)來解決，借助于圖形放大或縮小時點的坐標的變化來實現(xiàn).參看圖2，相當于線段OM是OD的2倍.又因為點M與點D在原點O的異側，所以點M的坐標是點D的坐標的-2倍，即：設點D（m，-m2-4m），那么得到點M的坐標（-m，2m2+8m）.然后把點M的坐標代入y=-中，得解得m2=-3，最終m=-3符合要求.

方法3：借助于三角形中位線或相似知識.分別過點E和M作x的垂線段EH與MN，會發(fā)現(xiàn)EH就是△OMN的中位線（或者且相似比為1∶2），設點D（m，-m2-4m），得到點E（-m，m2+4m）和M（-2m，2m2+8m），然后把點M的坐標代入中即可求出.

綜觀以上方法，涉及中點、中心對稱、中位線、位似圖形等最基本的知識點，學生靈活應用以上知識點，在直角坐標系里實現(xiàn)數(shù)形結合，把點M的坐標代入直線的解析式即可.盡管思路簡單，但是由于學生計算能力差而算不對，符號正負弄不清楚，導致思路正確但計算過程錯誤.這就要求教師平時在教學中注意概念教學的嚴謹，在數(shù)形結合訓練中特別關注用點的坐標表示邊的長度時容易出錯的符號問題，在數(shù)與式的計算中強化基本計算，使學生形成較強的基本運算能力，不能在運算中失分.

第（3）問是命題人為學有余力的學生呈現(xiàn)的壓軸題目.題目設計巧妙，很靈活，有深度，很好地考查了學生的綜合答題能力.因為這個題目給出了兩個角相等，那就意味著構造三角形的相似是不二選擇.

圖3

圖4

方法1：如圖4，過點G、E分別作x軸的垂線段GF、EH，構造了一對相等角∠AFG=∠EHT=90°.容易發(fā)現(xiàn)∠BAF=∠OEH=45°，與已知條件∠PED=∠GAB，分別相加得到∠GAF=∠PEH，可得利用對應線段成比例求出HT=6，進而求出點T（-3，0），得到直線EP的解析式y(tǒng)=與拋物線C1∶y=-x2-4x聯(lián)立，可以求出點P的橫坐標x=

方法2：如圖5，連接GB.易判斷△AGB是直角三角形而且由題可知直線AB與直線DE相互垂直，因此∠ABG=∠EHI=90°.聯(lián)立兩條直線的解析式可以求出點H（-2，-2）由已知條件∠GAB=∠IEH，得到利用相似性質(zhì)求得；然后過點H作HQ∥y軸，過點I作IQ∥x軸交于點Q，構造了一個等腰直角△IHQ，把點H（-2，-2）先向下平移個單位再向左平移個單位后得到點從而求出直線EI的解析式再與拋物線C1：y=-x2-4x聯(lián)立，即可求得點P的橫坐標x=

圖5

圖6

方法3：如圖6，因為對頂角相等，所以∠AIF=∠EIH.又已知∠GAB=∠IED，所以不添加輔助線，照樣存在所以∠AFI=∠EHI=90°，所以直線EP與直線AG相互垂直.易求得kAG=2，借助k1·k2=-1，得直線kPE=又因為點E（3，-3）已求出，從而得到直線EP的解析式再與拋物線C1∶y=-x2-4x聯(lián)立，即可求得點P的橫坐標x=

不管是第（2）問還是第（3）問，通過三種思路分析解答的過程不難看出，盡管此題增加了拋物線的旋轉(zhuǎn)背景，但是僅僅起了干擾的作用.如何去偽存真挖出所需知識，如何添加輔助線構建出基本圖形，如何在基本圖形中找到有效數(shù)量關系，才是解決問題的根本途徑.步步為營，穩(wěn)重求變.這就是濟南市中考第27題的命題原則，也恰恰是我們今后的教學要努力的方向.F