對(duì)新定義考題的解題研究與教學(xué)思考
——以南通2019年中考卷第28題為例

☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 朱月鳳

新定義考題是近年來(lái)不少地區(qū)命題熱點(diǎn)，這類問題往往從一個(gè)定義出發(fā)，通過增設(shè)強(qiáng)化條件，組合成復(fù)雜的綜合難題，解題時(shí)需要深入解讀新定義、深刻理解新定義，并靈活運(yùn)用.本文以2019年江蘇南通中考新定義壓軸題為例，解析思路并跟進(jìn)教學(xué)建議，供研討.

一、新定義考題及思路突破

考題：定義：點(diǎn)（x，y），若x、y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且

x≠y，t為常數(shù)，則稱點(diǎn)M為“線點(diǎn)”，例如：點(diǎn)（0，-2）和（-2，0）是“線點(diǎn)”.

已知：在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（-3，1）兩點(diǎn)中，點(diǎn)______是“線點(diǎn)”.

（2）若點(diǎn)P是“線點(diǎn)”，用含t的代數(shù)式表示mn，并求t的取值范圍.

（3）若點(diǎn)Q（n，m）是“線點(diǎn)”，直線PQ分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，當(dāng)|∠POQ-∠AOB|=30°時(shí)，直接寫出t的值.

思路突破：（1）直接代入定義中提到的兩個(gè)等式運(yùn)算后可確認(rèn)點(diǎn)P2是“線點(diǎn)”.

（2）提供兩種思路.

思路1：由“線點(diǎn)”定義可得：

m2=2n+t ①，

n2=2m+t ②.

①-②，得（m+n）（m-n）=2（n-m）.因?yàn)閙≠n，所以m+n=-2.

①+②，得m2+n2=2（m+n）+2t，配方得（m+n）2-2mn=2（m+n）+2t.

把m+n=-2代入，得4-2mn=-4+2t，整理得mn=4-t.

由m+n=-2，得點(diǎn)P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理得t=m2+2m+4=（m+1）2+3.

當(dāng)m=-1時(shí)，n=-1，這里m=n，不舍題意，舍去.

當(dāng)m≠-1時(shí)，都有t＞3.

綜上，t＞3.

思路2：由m+n=-2，得點(diǎn)P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理成關(guān)于m的一元二次方程m2+2m+4-t=0.

由該方程有實(shí)數(shù)根，得Δ=4-4（4-t）=4t-12≥0，解得t≥3.

當(dāng)t=3時(shí)，解得m=-1，此時(shí)m、n相等，故t≠3.

綜上，t＞3.

思路3：由點(diǎn)P（m，n）是“線點(diǎn)”，得m2=2n+t，n2=2m+t，則m2-n2=2（n-m），m2+n2=2（n+m）+2t.又m≠n，則m+n=-2.（n+m）2-2mn=2（n+m）+2t，則4-2mn=-4+2t，則mn=-t+4.由m≠n，得（m-n）2＞0，即（n+m）2-4mn＞0，則t-3＞0，解得t＞3.則t的取值范圍為：t＞3.

（3）先初步解讀條件，由于點(diǎn)P（m，n）、Q（n，m）也為線點(diǎn)，所以點(diǎn)P、Q在直線y=-x-2上且關(guān)于直線y=x對(duì)稱（如圖1），結(jié)合|∠POQ-∠AOB |=90°，可 得∠POQ=60°或∠POQ=120°.

以下提供三種思路進(jìn)一步分析.

圖1

思路1：分兩種情形討論120°或60°的情形.

①若∠P1OQ1=120°，先求得P1O=.由點(diǎn)P1（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=8，即m2+2m-2=0.即2-2m=2（-2-m）+t，解得t=6.

②若∠P2OQ2=60°，先求得P2O=.由點(diǎn)P2（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=，即=0.即=2（-2-m）+t，解得t=

思路2：①若∠P2OQ2=60°，易知△P2OQ2為正三角形，可求出點(diǎn)又點(diǎn)Q2的坐標(biāo)滿足x2=2y+t，代入后解得t=

②若∠P1OQ1=120°，△POQ為等腰三角形，分析出點(diǎn).又點(diǎn)Q1的坐標(biāo)滿足x2=2y+t，代入后解得t=6.

思路3：（基于高中圓的方程的視角）由點(diǎn)P（m，n）、Q（n，m）也為“線點(diǎn)”，得點(diǎn)P、Q在以O(shè)為圓心、r=的圓上.由|∠POQ-∠AOB|=90°，得∠POQ=60°或∠POQ=120°.

②當(dāng)∠POQ=120°時(shí)，半徑OP=2（-x-2）=6.

二、解后反思與教學(xué)建議

這道新定義考題表述簡(jiǎn)潔，閱讀量不大，但思維量大，解題教學(xué)時(shí)要辨明解題難點(diǎn)、關(guān)鍵步驟，然后預(yù)設(shè)必要的鋪墊帶領(lǐng)學(xué)生攻克難點(diǎn).

先說(shuō)第（2）問.這一問的難點(diǎn)或關(guān)鍵步驟有三處.第一處關(guān)鍵步驟是通過數(shù)式方程的變形求解分析出m、n之間的數(shù)量關(guān)系m+n=-2，這不僅對(duì)這一問的求解非常關(guān)鍵，而且對(duì)于下一問的探究十分重要，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)量關(guān)系揭示了所謂“線點(diǎn)”P所在直線的方程.第二處關(guān)鍵是消去參數(shù)，將t用含有m或n的式子表示出來(lái)，借用方程或函數(shù)觀點(diǎn)進(jìn)行最值分析.第三處關(guān)鍵在于t=3要舍去，只能取t＞3，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)樾枰獙?duì)條件m、n不可能相等再次使用.想清辨明上述關(guān)鍵步驟，有助于教學(xué)時(shí)在這些關(guān)鍵步驟上預(yù)設(shè)一些鋪墊問題，幫助學(xué)生順利解答.

再說(shuō)第（3）問.這小問的關(guān)鍵步驟至少有四處.第一處關(guān)鍵步驟是想清點(diǎn)P、Q都是“線點(diǎn)”，且它們關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這是引導(dǎo)學(xué)生初步感受P、Q兩點(diǎn)位置的關(guān)鍵，如果這一點(diǎn)都沒有辨明，則起點(diǎn)不清，難以構(gòu)圖.若學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)它們都是線點(diǎn)，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生：“有人說(shuō)點(diǎn)P、Q都是線點(diǎn)，你同意他的說(shuō)法嗎？”第二處關(guān)鍵步驟是確認(rèn)“線點(diǎn)”P、Q在直線y=-x-2上，這是由上一問中提出的m+n=-2成果擴(kuò)大而來(lái)的，這樣就可以將點(diǎn)P、Q的位置關(guān)系想清，然后結(jié)合角度關(guān)系式，就能精準(zhǔn)定位點(diǎn)P、Q的位置了.第三處關(guān)鍵步驟是需要分類討論∠POQ為60°或120°的情況.不少考生容易漏解，對(duì)絕對(duì)值符號(hào)表示的關(guān)系式思考不深.第四處關(guān)鍵步驟是計(jì)算能力要過關(guān).因?yàn)樯婕?5°角的邊角關(guān)系，需要構(gòu)造圖形，轉(zhuǎn)化為含30°角的三角形進(jìn)行分析求解.

三、關(guān)于新定義考題的解題研究與教學(xué)思考

近幾年各地新定義考題成為一個(gè)熱點(diǎn)題型，開展相關(guān)解題研究十分必要，同時(shí)針對(duì)新定義考題的教學(xué)研究也值得深入思考.

1.明辨新定義的本質(zhì)或結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵

新定義考題往往是結(jié)合初中階段原有的一些定義或性質(zhì)進(jìn)行整合、包裝而成，這時(shí)需要明辨新定義的本質(zhì)或?qū)?yīng)圖形的本質(zhì)特征，然后靈活運(yùn)用新定義進(jìn)行解題.解決這類問題的難點(diǎn)在于理解新定義，并靈活運(yùn)用.因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)過程中，關(guān)鍵就是帶領(lǐng)學(xué)生新學(xué)一類數(shù)學(xué)概念，學(xué)生往往對(duì)舊知或舊概念有較強(qiáng)的依賴，難以適應(yīng)新的概念.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)入初中新學(xué)方程之后，有些學(xué)生仍然會(huì)依賴小學(xué)階段的算術(shù)解法；全等三角形學(xué)習(xí)后期會(huì)引出角平分線的性質(zhì)定理，但學(xué)生往往不能簡(jiǎn)化運(yùn)用，所以在新定義解題研究時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)這類思維障礙.

2.新定義考題往往需要精準(zhǔn)構(gòu)圖分析

新定義之后隨著解題條件的增設(shè)，往往需要考生繼續(xù)構(gòu)造圖形分析，而很多考生往往是圖形構(gòu)造不出來(lái)，或者圖形構(gòu)造不準(zhǔn)，影響思路獲得.像上文中的新定義考題一樣，有些考生并沒有分析出“線點(diǎn)”所在直線的方程或兩個(gè)“線點(diǎn)”關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這樣構(gòu)造圖形不成功，思路也就難以打開.再比如，北京地區(qū)的很多新定義考題，往往都與一些軌跡圓有關(guān)，而且有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)“大小同心圓”的情況，如果這些“同心圓”不及時(shí)準(zhǔn)確分析出來(lái)，當(dāng)然不利于思路獲得.

3.新定義考題教學(xué)時(shí)要預(yù)設(shè)鋪墊問題

新定義考題多有一些關(guān)鍵步驟或易錯(cuò)點(diǎn)，這就要求我們?cè)陂_展新定義考題解題教學(xué)之前要認(rèn)真研判、明辨關(guān)鍵步驟，基于班級(jí)學(xué)情想清學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，然后針對(duì)這些易錯(cuò)點(diǎn)、關(guān)鍵步驟進(jìn)行鋪墊式設(shè)問，設(shè)計(jì)這些鋪墊問題不只是幫助學(xué)生順利解決一道新定義題，更重要的是通過鋪墊式問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在以后獨(dú)立面對(duì)一些較難問題時(shí)，知道從哪些地方入手思考，如何發(fā)現(xiàn)較難題的解題思路或念頭，如何利用條件或定義揭示的結(jié)構(gòu)組合在一起獲得進(jìn)展，怎樣防范易錯(cuò)點(diǎn)，如何審校答案的嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范，等等.也就是通過解題教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考（想得更合理、更高效）.