例談滲透在圓錐曲線中的平面向量

王寧寧

摘 要：平面向量既有大小又有方向，在平面幾何學(xué)中有舉足輕重的地位，可以連接不同的考查內(nèi)容，利用平面向量，可以將幾何圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)分析，從而進(jìn)行定量分析。解決圓錐曲線與平面向量交匯題的關(guān)鍵是設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，將平面向量用坐標(biāo)表示，運(yùn)用相應(yīng)的平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則或運(yùn)算律或數(shù)量積的意義，將問(wèn)題中向量間的關(guān)系（相等、垂直、平行、和差、數(shù)量積等）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系從而解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：平面向量；圓錐曲線；橢圓；拋物線

平面向量具有“代數(shù)與幾何”的雙重身份，在數(shù)學(xué)王國(guó)中多處露面，活動(dòng)頻繁，算得上一個(gè)善于處理問(wèn)題的“外交家”，下面我們將要看到的是平面向量在圓錐曲線領(lǐng)域所發(fā)揮的作用，希望大家能夠從二者的親密接觸中了解熟悉平面向量的功能。

一、利用向量解決圓錐曲線的軌跡問(wèn)題

例1已知=（x，0），=（1，y），向量與向量垂直.求點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程.

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的相交等知識(shí)，是一道綜合性試題，重點(diǎn)考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，向量在這里作為工具起到了一定的作用，使得問(wèn)題處理顯得非常的簡(jiǎn)單利落，體現(xiàn)了向量處理問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性.

三、利用向量解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線中的橢圓的有關(guān)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，涉及到解三角形、三角函數(shù)等知識(shí)，我們巧妙的采用了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理，體現(xiàn)了向量與曲線的關(guān)系，提示我們重視向量的工具性的應(yīng)用.

四、利用向量解決圓錐曲線的離心率問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與直線等的有關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是依據(jù)試題條件尋求a、b、c的等式，求解此類問(wèn)題的前提是正確理解解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系與平面向量中的共線向量有異曲同工的作用，轉(zhuǎn)化與劃歸數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含其中.

五、利用向量解決圓錐曲線中的探索性問(wèn)題

例5設(shè) G、H分別為非等邊三角形ABC的重心與外心，A（0，2），B（0，-2）且（λ∈R）.

（1）求點(diǎn)C（x，y）的軌跡E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線L與曲線E交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線L，使四邊形OMPN是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.

分析：試題中出現(xiàn)了平面幾何中三角形的重心、外心，解析幾何中的橢圓，平面向量中向量加法的平行四邊形法則等知識(shí)，首先通過(guò)G是重心及向量的共線（）寫出了相關(guān)點(diǎn)G與H的坐標(biāo)，又已知H為外心，得到等式，從而得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程.第二我們通過(guò)條件中的，知四邊形OMPN是平行四邊形，又已知四邊形OMPN是矩形，可得向量垂直關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得k的值.

解：（1）由已知得，又，∴，

∴直線l為：，故存在這樣的直線l能夠使得四邊形OMPN是矩形，且直線的方程為。

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面幾何、解析幾何、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，是一道綜合性、探索性的試題，要求比較高，必須具有多方面的知識(shí)及靈活應(yīng)用這些知識(shí)的能力，向量在這里發(fā)揮了很重要的作用（向量的共線、向量的垂直等）。

參考文獻(xiàn)

[1]肖慧.平面向量與圓錐曲線的結(jié)合 [J].中學(xué)生百科（高中語(yǔ)數(shù)外），2010，7：26-27.

[2]李平珠.向量“搭臺(tái)” 曲線“唱戲”——向量與圓錐曲線綜合問(wèn)題例談[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，6：122-124.

（作者單位：山西省洪洞縣山焦中學(xué)）