基于范希爾理論下的幾何學(xué)習(xí)路徑
——以“三角形的認(rèn)識及其內(nèi)角和”教學(xué)設(shè)計為例

四川師范大學(xué)(610066)孫佳 張紅

一、引言

平面幾何是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要主題之一,但從學(xué)生的掌握情況來看不容樂觀.學(xué)生缺乏直觀想象、邏輯推理等幾何學(xué)習(xí)的素養(yǎng),發(fā)展學(xué)生幾何推理能力顯得尤為重要[1].而現(xiàn)今課堂教學(xué)模式形式多樣,教學(xué)材料豐富.導(dǎo)致一線教師在選擇合適的教學(xué)方式出現(xiàn)困難,不能進行深度教學(xué).作為幾何教與學(xué)的基本理論框架,范希爾理論自誕生起,一直是備受關(guān)注的研究課題.筆者將基于范希爾幾何思維理論,以“三角形的認(rèn)識及其內(nèi)角和”這一主題為例探討如何進行教學(xué)設(shè)計.

二、范希爾幾何思維理論

國內(nèi)外學(xué)者對學(xué)生幾何思維進行了許多研究,其中平面幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要主題之一,而從一線教師反饋知學(xué)生的掌握情況不容樂觀,其缺乏直觀想象、邏輯推理等幾何學(xué)習(xí)的素養(yǎng).而范希爾幾何思維水平理論既可以作為診斷學(xué)生幾何思維水平的評估指標(biāo),也可以用于設(shè)計每個水平上的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)[2].荷蘭一線教學(xué)的教師范希爾夫婦關(guān)注了皮亞杰的工作,經(jīng)過一段時間的研究,他們提出了幾何思維的五個水平,如下[3]：

水平0：視覺,只能注意直觀形狀的某一些特征,根據(jù)直觀上的形狀相同來確認(rèn)圖形的分類;

水平1：分析,分析圖形組成要素以及特征,并以此建立圖形的特性,利用這些特性解決一些簡單幾何問題等;

水平2：非形式化的演繹;能夠建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系,可以提出非形式化的推論等;

水平3：形式的演繹,了解到證明的重要性,和了解“不定義元素”“公理”和“定理”的意義等;

水平4：嚴(yán)密性,能夠在不同的公理體系下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍x,以分析比較不同的幾何系統(tǒng)等.

課標(biāo)指出,幾何圖形的學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算四個過程.正如在對事物的認(rèn)識過程中,也需要經(jīng)歷特殊到一般,由具體到抽象的過程.范希爾理論的四個水平恰好與之對應(yīng),并且目標(biāo)更明確.

三、學(xué)生掌握三角形及其內(nèi)角和所需的層次及教學(xué)設(shè)計

對于學(xué)習(xí)平面幾何的第一個基本圖形——三角形而言,學(xué)生對其的認(rèn)識也需要經(jīng)歷：

水平0：三角形的初步認(rèn)識——直觀感知

這一個階段屬于“視覺”水平,即直觀感知水平,學(xué)生能夠感受到現(xiàn)實世界中確實存在三角形模型,而且這些圖形之間具有關(guān)聯(lián)性.

設(shè)計1觀看視頻,欣賞各種美麗圖案,展示出示生活中的圖片,如：風(fēng)箏、自行車車架、紅領(lǐng)巾、金字塔……學(xué)生看到圖形所具有的共同特點[4].

設(shè)計2讓學(xué)生畫出展示圖片的數(shù)學(xué)圖形,通過將非本質(zhì)屬性去掉,留下“數(shù)學(xué)意義”下的圖形.

圖1 形式各異的三角形

學(xué)生潛意識感受到：三角形是一個三條線段圍成的圖形,還有三個角,有些邊相等有些不等.

設(shè)計說明學(xué)生通過視覺直觀感知,能夠模仿畫出三角形,使用自己的語言描述三角形的特點,考慮到學(xué)生的思維特點,設(shè)計1 的目的是通過展示直觀圖像,吸引學(xué)生的注意力.背景材料來自于生活情境,感受數(shù)學(xué)來源于生活.設(shè)計2通過去非本質(zhì)屬性,抓本質(zhì)特點,感知三角形這一抽象圖形的本質(zhì).

水平1：三角形的再認(rèn)識

這一階段屬于“分析”水平,此階段學(xué)生知道三角形的組成要素,并能夠觀察邊與邊的連接關(guān)系,角的大小關(guān)系,可以模仿著畫出三角形,使用較為標(biāo)準(zhǔn)但不完全的語言描述三角形的概念.

(一)判斷下列圖形是三角形嗎?[5]你能總結(jié)出三角形具有的特點嗎? 能給三角形下定義嗎?

圖2 三條線段組成的圖形

(二)猜角游戲之“量一量”活動

教師提供不同樣式的三角形,學(xué)生進行度量,并將角度標(biāo)示在相應(yīng)位置.請每小組代表說出自己度量的其中兩個角的度數(shù),教師猜測剩下角的度數(shù).通過每組學(xué)生自己切身操作,發(fā)現(xiàn)教師給出的結(jié)果都在一個值左右波動,并大膽猜測三角形內(nèi)角和是180°.其中引導(dǎo)學(xué)生討論：為什么有的同學(xué)度量后計算的內(nèi)角和不是180°呢?[6]進而進入下一環(huán)節(jié).

水平2：三角形內(nèi)角和的非形式化的驗證——推理論證

這一階段屬于“非形式化演繹”水平,學(xué)生能夠借助前述三角形之間的聯(lián)系進入初級階段的抽象思維水平,這一階段初步揭示三角形的本質(zhì)特點.

設(shè)計驗證猜想之“剪一剪,拼一拼”活動.

課前讓學(xué)生準(zhǔn)備好不同類型的三角形：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形紙片若干.課上以小組為單位,進行“剪一剪,拼一拼”活動.

說明：教材上運用折疊的方法證明三角形內(nèi)角和是180°,是否還有其他的方法? 一種即可剪下其中兩角,與第三個角拼在一起,發(fā)現(xiàn)是一個平角,即為180°.一種即用三個全等的三角形,將不同角拼在一起也會得到三角形內(nèi)角和為180°.學(xué)生自己嘗試操作,通過剪、拼等活動,能夠深刻認(rèn)識到圖形之間的相關(guān)關(guān)系,并且能夠為自己的猜想“三角形的內(nèi)角和是180°”給一個合理的解釋,從心理上獲得成功的體驗.

水平3：用數(shù)學(xué)推理的方式來證明三角形內(nèi)角和為180°——推理論證

直觀感知、操作確認(rèn)下的教學(xué)活動只停留在數(shù)學(xué)的表面,數(shù)學(xué)定理一定是可以證明的,所以上述學(xué)生只處于“形式推理”水平.不過也只有在經(jīng)歷了這個過程,學(xué)生才能進行下一層次的學(xué)習(xí).

設(shè)計學(xué)生進行的量一量,折一折、拼一拼等操作,得出三角形內(nèi)角和是180°的規(guī)律,但是,這并不是數(shù)學(xué),驗證過程并非是數(shù)學(xué)意義的證明,下面引導(dǎo)學(xué)生運用平行線知識進行證明：

圖3 作三角形一條邊的平行線

證明延長BC到M,過點C作CN//AB,因為CN//AB,所以∠A= ∠ACN(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠B= ∠NCM(兩直線平行,同位角相等).因為∠ACN+ ∠NCM+ ∠ACB= 180°(平 角180°),所 以∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換),即∠A+∠B+∠C=180°.

設(shè)計說明引申數(shù)學(xué)證明的方法,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的回憶,從而找到知識的生長點以及獲取知識的途徑,同時激發(fā)學(xué)生探索的興趣.

水平4：三角形的深層次理解——度量計算

在經(jīng)歷了直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證后,要對三角形有更深入的認(rèn)識,就必須對其進行數(shù)量刻畫,即“度量計算”.

設(shè)計根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°的規(guī)律,如果知道三角形中兩個內(nèi)角的度數(shù)30°和70°,不用度量,你能計算出第3個角的度數(shù)嗎?

變式1在直角三角形,已知其中角為60°,求另外一個角?

變式2如圖,已知∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足是D.

圖4 作三角形的一條高

(1)計算∠B+∠C,圖中有幾個是直角三角形,是哪幾個? 分別說出他們的直角邊和斜邊?

(2)∠BAD和∠B有什么關(guān)系? ∠CAD和∠C呢?

設(shè)計說明由于三角形內(nèi)角和的重點在于內(nèi)角和的推演過程以及內(nèi)角和為180°這一定理.因此,例題的選取較為基礎(chǔ),主要為加深對定理的理解,通過適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí),深化對三角形的認(rèn)識.

四、小結(jié)

平面幾何是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要主題之一,而從一線教師反饋知學(xué)生掌握情況不容樂觀.學(xué)生缺乏直觀想象、邏輯推理等幾何學(xué)習(xí)能力,而由于學(xué)習(xí)任務(wù)繁雜,大多只是了解概念和記住公式,忽略了其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,不能做到深度學(xué)習(xí).以及現(xiàn)今課堂教學(xué)模式形式多樣,教學(xué)材料豐富.導(dǎo)致一線教師在選擇合適的教學(xué)方式出現(xiàn)困難,不能進行深度教學(xué).仍有教師以講授課本上的知識為主,導(dǎo)致學(xué)生處于一種機械性的學(xué)習(xí)當(dāng)中,課堂氣氛也比較沉悶.基于此,以“三角形及其內(nèi)角和”這一主題為例,印證了幾何學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷直觀感知,操作確認(rèn),推理論證,度量計算四個學(xué)習(xí)路徑,領(lǐng)會幾何學(xué)習(xí)的本質(zhì),教師通過進行深度教學(xué),學(xué)生才能達到深度學(xué)習(xí).