生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課教學(xué)探索
——以“矩形折疊問(wèn)題”為例

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454)汪晶晶

在歷年的中考數(shù)學(xué)中,矩形折疊問(wèn)題常常受到出題人的青睞,以廣東省中考為例,近五年有四年考查(見(jiàn)表1).原因在于矩形是特殊的平行四邊形,在初中數(shù)學(xué)教材中處于非常重要的地位,不僅是前面三角形知識(shí)的延續(xù),而且是后續(xù)學(xué)習(xí)圓等其它知識(shí)的基礎(chǔ).此外,矩形折疊問(wèn)題不僅包含豐富的知識(shí)點(diǎn),而且蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想方法,是對(duì)學(xué)生知識(shí)、能力和思維的綜合考查.以矩形折疊問(wèn)題開(kāi)展專題復(fù)習(xí),能夠促進(jìn)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展,從而發(fā)展核心素養(yǎng).

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生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)是指圍繞某個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)(重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn))或某個(gè)問(wèn)題(基本問(wèn)題、基本圖形、基本思想、基本方法),運(yùn)用變式、拓展、延伸產(chǎn)生知識(shí)、方法、思維、經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)鏈,形成核心知識(shí)間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,揭示出解決問(wèn)題的規(guī)律和方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)不只是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部再生長(zhǎng),內(nèi)容重構(gòu)重組,也是思想方法經(jīng)驗(yàn)積累式生長(zhǎng)、學(xué)生思維的遞進(jìn)式生長(zhǎng),更是思維品質(zhì)、生命品質(zhì)的生長(zhǎng)[1].近期,筆者上了一節(jié)“矩形折疊問(wèn)題”生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課,希望各位同行批評(píng)指正.

一、“矩形折疊問(wèn)題”課例分析

課前學(xué)生準(zhǔn)備好一張矩形紙片,在課堂上動(dòng)手折疊.

問(wèn)題1如圖1,有一張矩形紙片ABCD,AB= 6,AD=8,你能折疊出面積最大的正方形嗎？

圖1

圖2

如圖2,學(xué)生折疊矩形紙片得出答案,教師進(jìn)一步追問(wèn)：(1)為什么四邊形ABFE是正方形？(2)你能根據(jù)已知條件,求出哪些線段的長(zhǎng)度？

分析此題改編自人教2013 版義務(wù)教育教科書(shū)八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)59頁(yè)練習(xí)第1 題.作為基本問(wèn)題,是本節(jié)課的“生長(zhǎng)源”.此題的起點(diǎn)低,為后續(xù)的生長(zhǎng)提供了空間.在教學(xué)中,學(xué)生都能夠完成,不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,而且充分尊重每一個(gè)生命個(gè)體.學(xué)生通過(guò)動(dòng)手折疊,積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師通過(guò)追問(wèn),促進(jìn)學(xué)生理解,使“生長(zhǎng)源”不斷向下扎根,加深“生長(zhǎng)源”在學(xué)生頭腦中的印象,形成解題模型,積累“生長(zhǎng)源”.

問(wèn)題2如圖3,繼續(xù)在剩下的矩形紙片按上述操作折疊,求A、H兩點(diǎn)間的距離.

圖3

教師進(jìn)一步追問(wèn)：以此操作繼續(xù)下去,最終能得到幾個(gè)正方形,邊長(zhǎng)分別是多少？

分析此題是2017年廣東省中考的第16 題,不僅是“生長(zhǎng)源”的變式,而且在問(wèn)題1 的基礎(chǔ)上生長(zhǎng).求兩點(diǎn)間的距離,即是求兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度,將此線段放在直角三角形中,利用勾股定理求得,促進(jìn)學(xué)生求兩點(diǎn)間距離方法的生長(zhǎng).繼續(xù)操作下去,體現(xiàn)極限思想,促進(jìn)學(xué)生思維的生長(zhǎng).

問(wèn)題3如圖4,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=8,將紙片折疊,使得點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的E處,折痕為AF,求BF的長(zhǎng).

圖4

問(wèn)題4若AB= 6,點(diǎn)E恰好為AC中點(diǎn),則BF=____.

問(wèn)題5若AB=6,BC=3BF,則BF=____.

分析問(wèn)題3,將原來(lái)的矩形紙片的寬折疊至對(duì)角線處,求BF 的長(zhǎng).此題需要設(shè)未知數(shù),利用勾股定理列方程.問(wèn)題5 是2016年廣東省中考第15 題的改編,問(wèn)題3 是在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上生長(zhǎng),而問(wèn)題4 和問(wèn)題5 是在問(wèn)題3 的基礎(chǔ)上生長(zhǎng),使其特殊化.問(wèn)題4 和問(wèn)題5 均要用到“直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的角是30°”這一重要知識(shí)點(diǎn)或者是銳角三角函數(shù)知識(shí).因此,這三個(gè)問(wèn)題串,在“生長(zhǎng)源”的基礎(chǔ)上,生長(zhǎng)了知識(shí)鏈,同時(shí)方法鏈也得到生長(zhǎng).學(xué)生體會(huì)到方程思想,化歸思想,以及一般到特殊思想,思維鏈也得到生長(zhǎng).學(xué)生積累了矩形折疊問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn),生長(zhǎng)了經(jīng)驗(yàn)鏈.

問(wèn)題6如圖5,先將矩形紙片ABCD沿三等分線折疊后得到折痕MN,再將紙片折疊,使得點(diǎn)B落在折痕MN上E處,折痕為AF,求BF的長(zhǎng).

圖5

圖6

分析問(wèn)題6 是將寬折疊,使點(diǎn)B落在三等分線處.此題有一定的難度,利用之前的方法不能得以解決.需要過(guò)點(diǎn)E作AD邊的垂線,構(gòu)造兩個(gè)直角三角形,利用R t△AGE～R t△EHF求得.因此,這個(gè)問(wèn)題使學(xué)生的知識(shí)鏈、方法鏈都得到生長(zhǎng),學(xué)生的思維也進(jìn)一步生長(zhǎng)為高階思維,再一次積累了解題經(jīng)驗(yàn),生長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)鏈.在此,學(xué)生跨越了一個(gè)生長(zhǎng)“結(jié)點(diǎn)”,雖然經(jīng)歷了生長(zhǎng)的痛苦,但更多的是體驗(yàn)到生長(zhǎng)的快樂(lè)與欣喜.

問(wèn)題7本節(jié)課研究思路怎樣？引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、思想、經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行梳理歸納,然后教師用思維導(dǎo)圖形式呈現(xiàn)小結(jié).

分析從生長(zhǎng)理念引導(dǎo)學(xué)生自主梳理、歸納本節(jié)課核心內(nèi)容與方法,使知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、思維結(jié)構(gòu)化、直觀化,有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)化.

課后作業(yè)

1.(2015年廣東中考第21 題改編)如圖7,在折疊得到的邊長(zhǎng)為6 的正方形ABFE中,G是邊EF的中點(diǎn),將△AEG沿AG對(duì)折至△AGH,延長(zhǎng)GH交邊BF于點(diǎn)I,連接AI,則BI的長(zhǎng)是( )

圖7

A.1 B.2 C.3 D.4

2.如圖8,在矩形紙片ABCD中,AB= 6,BC= 8,將紙片折疊,使得點(diǎn)C落在AD邊上的F處,折痕為BE,則CE=____.

圖8

3.(2018年廣東中考第22 題改編)如圖9,在矩形紙片ABCD中,AB= 6,BC= 8,把矩形沿對(duì)角線BD所在直線折疊,使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,AD交BE于點(diǎn)F,連接AF.

圖9

(1)求證：△AEF是等腰三角形;

(2)求tan ∠BAF的值.

4.(2012年廣東中考第21 題改編)在第3 題中,線段GH交AD于點(diǎn)K,把△GDH沿GH折疊,使點(diǎn)D落在A處,點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合.求GH的長(zhǎng).

圖10

分析鞏固課堂知識(shí)和方法,進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想,使知識(shí)、方法、思維和經(jīng)驗(yàn)鏈得以繼續(xù)生長(zhǎng).課后作業(yè)與課堂上的問(wèn)題形成系統(tǒng)化,有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)整體化、系統(tǒng)化的形成.

二、生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課的實(shí)踐思考

(一)生長(zhǎng)源是核心

生長(zhǎng)源是專題復(fù)習(xí)課的核心.根據(jù)生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課的內(nèi)涵可知,生長(zhǎng)源是某個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)(重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn))或某個(gè)問(wèn)題(基本問(wèn)題、基本圖形、基本思想、基本方法),整節(jié)課設(shè)計(jì)的問(wèn)題都要圍繞生長(zhǎng)源變式、拓展和延伸,學(xué)生的知識(shí)鏈、方法鏈、思維鏈、經(jīng)驗(yàn)鏈在生長(zhǎng)源的基礎(chǔ)上生長(zhǎng).生長(zhǎng)源好比一粒種子,只有好的種子,才能發(fā)芽、枝繁葉茂,直至長(zhǎng)成參天大樹(shù).從數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的角度,學(xué)習(xí)的過(guò)程就是知識(shí)遷移的過(guò)程.當(dāng)人們遇到一個(gè)新問(wèn)題,往往想起一個(gè)過(guò)去已經(jīng)解決的相似問(wèn)題(源問(wèn)題),并運(yùn)用源問(wèn)題的解決方法和程序去解決新問(wèn)題,這一問(wèn)題解決策略被稱為類比遷移[2].因此,對(duì)于學(xué)生而言,在解決新問(wèn)題時(shí)能夠聯(lián)想到一個(gè)過(guò)去已經(jīng)解決的相似問(wèn)題是知識(shí)遷移的關(guān)鍵.在生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課中,生長(zhǎng)源是學(xué)生在今后遇到相似問(wèn)題時(shí)能夠聯(lián)想到的源問(wèn)題,生長(zhǎng)源的重要性不言而喻.

本節(jié)課中的問(wèn)題1 是生長(zhǎng)源,來(lái)源于課本基礎(chǔ)練習(xí)題,起點(diǎn)較低.問(wèn)題2 到問(wèn)題6,以及課后作業(yè),都圍繞問(wèn)題1 設(shè)計(jì),學(xué)生的知識(shí)鏈、方法鏈、思維鏈、經(jīng)驗(yàn)鏈在生長(zhǎng)源的基礎(chǔ)上生長(zhǎng).問(wèn)題1 簡(jiǎn)潔,便于學(xué)生今后遇到矩形折疊問(wèn)題類比遷移.生長(zhǎng)源的選取要結(jié)合教材與中考題,可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題,也可以是幾何圖形,比如“8 字形”、“雙平等腰型”、“一線三等角”等.

(二)生長(zhǎng)性是目的

生長(zhǎng)性是專題復(fù)習(xí)課的目的.所謂生長(zhǎng)性,由生長(zhǎng)源出發(fā),基于基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn),在解決問(wèn)題過(guò)程中不斷產(chǎn)生新問(wèn)題,不斷生長(zhǎng)新的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思維、經(jīng)驗(yàn).任何一節(jié)數(shù)學(xué)課,都要有教學(xué)目的,所有的設(shè)計(jì)問(wèn)題及活動(dòng)都是為達(dá)到這個(gè)目的服務(wù)的.一節(jié)好的數(shù)學(xué)課,教學(xué)目的是發(fā)展學(xué)生的四基.數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課也不例外,對(duì)于復(fù)習(xí)課,教學(xué)目的不能簡(jiǎn)單停留在知識(shí)點(diǎn)的回憶和復(fù)習(xí),應(yīng)以發(fā)展學(xué)生四基為目的,重建知識(shí)結(jié)構(gòu),領(lǐng)悟重要思想方法,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提升思維品質(zhì),發(fā)展核心素養(yǎng),學(xué)生的知識(shí)鏈、方法鏈、思維鏈和經(jīng)驗(yàn)鏈都要生長(zhǎng).因此,在生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課中,變式、拓展、延伸出問(wèn)題鏈?zhǔn)欠绞?生長(zhǎng)性是目的.

本節(jié)課由生長(zhǎng)源變式、拓展、延伸生長(zhǎng)的知識(shí)鏈、方法鏈、思維鏈和經(jīng)驗(yàn)鏈如下圖11：

圖11

(三)層次性是前提

層次性是專題復(fù)習(xí)課的前提.教育的根本任務(wù)是立德樹(shù)人,數(shù)學(xué)教師應(yīng)成為學(xué)生發(fā)展的導(dǎo)師,教數(shù)學(xué)知識(shí)是手段,育人是目的,而育人的前提是尊重每個(gè)生命個(gè)體.教師設(shè)計(jì)問(wèn)題基于每位學(xué)生的學(xué)情,為不同層次的學(xué)生制定恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo),設(shè)計(jì)問(wèn)題具有層次性就是尊重學(xué)生的表現(xiàn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中課程基本理念為數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo),要面向全體學(xué)生,適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要,使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[3].生長(zhǎng)型專題復(fù)習(xí)課的情懷源于生命,立意基于生長(zhǎng),本質(zhì)體現(xiàn)發(fā)展,價(jià)值就在于尊重生命,放飛思維,收獲素養(yǎng)[4].因此,生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課要關(guān)注每一位學(xué)生的發(fā)展,設(shè)計(jì)的問(wèn)題要體現(xiàn)層次性,由易到難,從低階思維到高階思維.

本節(jié)課以生長(zhǎng)源為出發(fā)點(diǎn),起點(diǎn)低,面向全體學(xué)生,尊重每一個(gè)生命個(gè)體.問(wèn)題串以生長(zhǎng)源為核心,著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),由易到難變式,促進(jìn)學(xué)生知識(shí)鏈、方法鏈、思維鏈、經(jīng)驗(yàn)鏈的生長(zhǎng),超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平.

(四)結(jié)構(gòu)化是關(guān)鍵

結(jié)構(gòu)化是專題復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)課難,專題復(fù)習(xí)課更難,難就難在重建或完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu).現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論表明,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),并使自己得到全面發(fā)展的過(guò)程.專題復(fù)習(xí)課的內(nèi)容應(yīng)具備結(jié)構(gòu)化特點(diǎn),是激活學(xué)生重建或完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的催化劑,為學(xué)生生長(zhǎng)提供必備的養(yǎng)料.因此,結(jié)構(gòu)化是專題復(fù)習(xí)課的關(guān)鍵,決定著發(fā)展學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的成敗.生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)以整體觀架構(gòu),形成以生長(zhǎng)源為核心的認(rèn)知結(jié)構(gòu),體現(xiàn)知識(shí)的整體性和結(jié)構(gòu)性,有利于重建或完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu).

本節(jié)課中課堂教學(xué)中的由七個(gè)問(wèn)題組成的問(wèn)題串和課后作業(yè)的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了如圖12 的結(jié)構(gòu)性：

圖12

生長(zhǎng)型數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課最根本的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)都是每一個(gè)生命個(gè)體,在實(shí)際教學(xué)中,教師要基于學(xué)生學(xué)情,對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)有待提高的班級(jí),一定要“扎根”,不可“拔苗助長(zhǎng)”,盲目生長(zhǎng).