基于三角形全等判定與正、余弦定理的跨學(xué)段單元教學(xué)設(shè)計(jì)*

首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院(100080)張潔 張曉龍

一、問題的提出

數(shù)學(xué)教材的編寫方式呈螺旋上升,知識的縱向和橫向發(fā)展都是循序漸進(jìn)的,因此,即使是跨學(xué)段的知識之間也存在本質(zhì)的聯(lián)系.若學(xué)生能掌握知識之間的聯(lián)系,那么不但能促進(jìn)知識的理解,更有助于學(xué)生建構(gòu)知識體系.例如,高中必修五中解三角形中的正弦定理和余弦定理,其中部分內(nèi)容是正、余弦定理分別能夠解決怎樣的解三角形問題,例如：一個(gè)一般三角形,已知它的三條邊,利用余弦定理可以解這個(gè)一般三角形.但是,一個(gè)一般三角形,已知它的兩條邊及其中一條邊的對角,利用正弦定理得出的解不是唯一確定的,需進(jìn)行驗(yàn)證.同時(shí),在初中三角形全等的判定教學(xué)中,教師們一般會用反例證明SSA 不是三角形全等的判定之一.這兩者之間聯(lián)系的本質(zhì)是一個(gè)非特殊三角形最少已知哪些元素可以唯一確定,這也是正弦定理和余弦定理所能解決的解三角形類型和三角形全等的判定中的內(nèi)容一一對應(yīng)的原因.因此,可以說這兩部分內(nèi)容密切相關(guān),且聯(lián)系兩者的紐帶是“三角形全等的判定內(nèi)容的本質(zhì)”.

看似分散的知識,如果掌握其本質(zhì)就可以使得學(xué)習(xí)事半功倍.筆者訪談了部分學(xué)生(其中含有高中學(xué)生),發(fā)現(xiàn)學(xué)生可能存在沒有深刻掌握上述本質(zhì)的情況.例如,訪談中一個(gè)問題是“關(guān)于三角形全等的判定,你有什么理解? ”學(xué)生的絕大多數(shù)答案都是將判定定理局限在兩個(gè)三角形中.但事實(shí)上,只要是滿足判定定理?xiàng)l件的三角形都是全等的,顯然,很多學(xué)生對本質(zhì)的理解不夠深刻.若學(xué)生掌握了判定定理的本質(zhì),對學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理會有很大的幫助,且能通過本質(zhì)將知識串聯(lián)起來,有助于學(xué)生對知識進(jìn)行建構(gòu),加深理解.

希望本文能夠幫助大家進(jìn)一步深入了解三角形全等的判定本質(zhì),以及它和正弦定理及余弦定理的內(nèi)在關(guān)系,給教師和學(xué)生提供一個(gè)教與學(xué)的新思路.

二、教學(xué)策略及意義

單元教學(xué)是將教學(xué)內(nèi)容放在整體中去把控,更多地關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系.對于改變教師和學(xué)生過分關(guān)注獨(dú)立的知識點(diǎn),幫助他們建立相關(guān)知識之間的聯(lián)系有重要作用.[1]根據(jù)上文已分析過的三角形全等的判定和解三角形中正弦定理及余弦定理之間的內(nèi)在聯(lián)系,可以以其本質(zhì)為主線組成一個(gè)單元教學(xué).此外,考慮到正弦定理和余弦定理公式的推導(dǎo)部分,可將銳角三角函數(shù)也加入其中.因此,本文將試圖構(gòu)建一個(gè)以三角形全等的判定、銳角三角函數(shù)、解三角形中的正弦定理及余弦定理為主要組成部分的單元教學(xué).此單元教學(xué)是跨學(xué)段的,且有的部分跨越時(shí)間較長.此單元可用于初中或高中學(xué)段.例如,初中階段可以針對相關(guān)內(nèi)容提出發(fā)散性的問題,引導(dǎo)有興趣的學(xué)生去拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容,即使學(xué)生沒有去自學(xué),也埋下了一顆種子;高中階段也可以回顧初中涉及的知識,可以鞏固并聯(lián)系相關(guān)的本質(zhì)內(nèi)容.這樣的一個(gè)單元教學(xué)設(shè)計(jì),既可以突出知識的本質(zhì)內(nèi)容,又可以加強(qiáng)相關(guān)知識間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系,對學(xué)生深入理解本質(zhì)和學(xué)生及教師對教學(xué)內(nèi)容的整體把握有著重要作用.

三、課標(biāo)要求的解讀與單元教學(xué)目標(biāo)

此單元教學(xué)內(nèi)容包括三角形全等的判定、銳角三角函數(shù)和解三角形中的正弦定理及余弦定理,下文將先分別對這三部分的課標(biāo)要求進(jìn)行解讀,然后闡述整個(gè)單元教學(xué)的教學(xué)目標(biāo).

1.對課標(biāo)要求的解讀

(1)對一般三角形來說,三角形全等的判定有四條(SSS,SAS,ASA,AAS).課標(biāo)對前三條的要求是掌握基本事實(shí),然后證明AAS.數(shù)學(xué)家把繁雜的公理驗(yàn)證之后,將深奧的理論通過簡單的表達(dá),讓我們學(xué)習(xí),但是,直接給學(xué)生介紹成熟的數(shù)學(xué)結(jié)論,不但容易使學(xué)生不認(rèn)可、不信服,還導(dǎo)致學(xué)生失去了很好的體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維過程的機(jī)會.

(2)對銳角三角函數(shù)來說,課標(biāo)要求利用相似的直角三角形,探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanB).對本文單元教學(xué)的主線來說,銳角三角函數(shù)只是一個(gè)工具的角色,故不作贅述.

(3)對正弦定理和余弦定理來說,課標(biāo)要求學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上,通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究,發(fā)現(xiàn)并掌握三角形邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系.[2]此部分要求培養(yǎng)學(xué)生的探究能力,意在使學(xué)生感受數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及邏輯推理能力.但是,學(xué)生可能由于缺乏相關(guān)知識的聯(lián)系,導(dǎo)致各部分知識相互獨(dú)立.

2.單元教學(xué)目標(biāo)的闡述

容易發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生學(xué)習(xí)三角形全等的判定后,雖然能夠在解題中熟練地使用定理,但是提到三角形全等的判定,第一反應(yīng)是局限在兩個(gè)三角形中.說明學(xué)生沒有深刻掌握其本質(zhì).作為一個(gè)單元教學(xué),除了知識本身的本質(zhì)之外,知識之間的本質(zhì)聯(lián)系是必不可少的,故本文的單元教學(xué)目標(biāo)從以上兩方面進(jìn)行闡述.

(1)在已有知識的基礎(chǔ)上,通過對三角形中元素的組合,探究至少幾組元素對應(yīng)相等,可以判定兩個(gè)三角形是一定全等的,進(jìn)而掌握三角形全等的判定的本質(zhì)：至少確定哪些元素就可以唯一確定一個(gè)三角形.

(2)學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理時(shí),在已有知識的基礎(chǔ)上,結(jié)合銳角三角函數(shù),通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究,發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系.進(jìn)而探究正弦定理和余弦定理與三角形全等的判定之間的內(nèi)在聯(lián)系,加強(qiáng)知識之間的本質(zhì)聯(lián)系.

(3)在探究中發(fā)展數(shù)學(xué)思維,掌握知識本質(zhì),并能依據(jù)核心數(shù)學(xué)本質(zhì)建構(gòu)知識體系;鍛煉邏輯推理能力,感受數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程;促進(jìn)學(xué)生積極思考,不局限于教材上所展現(xiàn)的和教師所講授的,能夠進(jìn)行自主性、創(chuàng)造性地學(xué)習(xí).

四、學(xué)生課堂學(xué)習(xí)中存在的問題

1.缺少探索過程

在三角形全等的判定部分,課標(biāo)對學(xué)生的要求是掌握三個(gè)基本事實(shí)并證明判定定理中的一個(gè),沒有提及探索的過程.教師在講課過程中會出現(xiàn)不重視學(xué)生探索的過程,或者是沒有抓住探索過程中需要升華或強(qiáng)調(diào)的點(diǎn),從而導(dǎo)致學(xué)生沒有深刻理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).

2.不能準(zhǔn)確抓住知識本質(zhì)

筆者經(jīng)過訪問調(diào)查,發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生說起三角形全等的判定時(shí),思維限定在兩個(gè)三角形之間,說明學(xué)生僅僅是記住了教材中的定理內(nèi)容,并沒有深入知識,抓住本質(zhì).導(dǎo)致學(xué)生不但對這一節(jié)知識掌握地不透徹,還會影響與其本質(zhì)相關(guān)知識的理解與掌握,形成連環(huán)反應(yīng).

3.缺乏建立相關(guān)知識間聯(lián)系的能力

建立相關(guān)知識間的聯(lián)系需要三點(diǎn)：(1)掌握知識的本質(zhì).只有準(zhǔn)確地掌握了知識的本質(zhì),才能真正建立以核心數(shù)學(xué)本質(zhì)為主線的知識體系;(2)積極思考.知識間的聯(lián)系很多不是顯而易見的,需要仔細(xì)琢磨,積極思考,在思考的過程中就會有很大收獲,一旦得到正確的結(jié)論,必定受益匪淺; (3)教師的正確引導(dǎo).對于中學(xué)生來說,找到知識間的聯(lián)系是有困難的,需要教師的適當(dāng)引導(dǎo),幫助學(xué)生探索尋找方法并發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系.

五、設(shè)計(jì)教學(xué)流程

本文以單元教學(xué)為載體,其中包含三個(gè)內(nèi)容,分別是三角形全等的判定,銳角三角函數(shù),解三角形中的正弦定理和余弦定理,在單元教學(xué)目標(biāo)的指導(dǎo)下,分別說明每一學(xué)段的教學(xué)流程.

1.初中學(xué)段

三角形全等的判定

(1)引入：以簡化得到結(jié)論的條件為目的.

根據(jù)全等三角形的定義,兩個(gè)三角形滿足三條邊和三個(gè)角分別相等,就能判定這兩個(gè)三角形全等.但是這六個(gè)條件中,有些條件是相關(guān)的,可以進(jìn)行條件簡化.說明前提之后,就可以引出要探究的課題：兩個(gè)三角形中,至少有哪些元素對應(yīng)相等可以保證這兩個(gè)三角形全等?

以兩個(gè)三角形為例做比較,可以幫助學(xué)生理解和操作,但同時(shí)也容易使學(xué)生把定理內(nèi)容局限在兩個(gè)三角形之間,因此探究過程要注意并避免這一點(diǎn).

(2)探究過程：

學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形全等的判定時(shí),很容易把真假結(jié)論混淆,例如,很多學(xué)生在考試中把SSA 當(dāng)作判定之一,原因在于教師把判定定理作為基本事實(shí)講授時(shí),沒有讓學(xué)生真正認(rèn)可這些結(jié)論.如果希望學(xué)生認(rèn)可正確的結(jié)論,就要讓他們經(jīng)歷否定錯(cuò)誤結(jié)論的過程.

探究從一組元素開始,一組元素有兩種情況,一組對應(yīng)邊,一組對應(yīng)角.以一組對應(yīng)邊為例,現(xiàn)有一個(gè)△ABC,要求AB=3cm,畫出△ABC.全班一起畫,然后同桌兩人進(jìn)行對比.兩組元素有三種可能,兩組對應(yīng)邊,一組對應(yīng)邊及一組對應(yīng)角,兩組對應(yīng)角.以兩組對應(yīng)邊為例,現(xiàn)有一個(gè)△ABC,要求AB=3cm,BC=4cm,畫出△ABC.經(jīng)過同學(xué)實(shí)際畫圖之后,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形之間,一組元素或兩組元素對應(yīng)相等不能保證這兩個(gè)三角形是全等的.三組元素有六種情況,三組對應(yīng)邊,兩組對應(yīng)邊及一組對應(yīng)角(兩邊及其中一邊的對角,兩邊及其夾角),一組對應(yīng)邊及兩組對應(yīng)角(兩角及其中一角的對邊,兩角及其夾邊),三組對應(yīng)角.以三組對應(yīng)邊為例,現(xiàn)有一個(gè)△ABC,要求AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,畫出△ABC.為了避免讓學(xué)生認(rèn)為是一組特殊值產(chǎn)生的巧合,再給出一組數(shù)據(jù),再次進(jìn)行驗(yàn)證,可以發(fā)現(xiàn)不但同桌之間畫的三角形是全等的,班級上任意兩個(gè)人畫的都是全等的.此時(shí)似乎可以發(fā)現(xiàn),對一個(gè)三角形來說,只要確定它的三條邊,這個(gè)三角形就唯一確定了.更進(jìn)一步,為了讓學(xué)生認(rèn)識到,這個(gè)條件對任意數(shù)據(jù)來說都是成立的,可以讓同桌二人中一人隨意畫一個(gè)三角形,測量出該三角形三邊長度,另一人根據(jù)數(shù)據(jù)畫出三角形,由此,可以得出較有說服力的結(jié)論,若三角形三條邊的長度確定了,這個(gè)三角形就唯一確定了,所有滿足這三條邊長度的三角形都是全等的.

為什么上面說是較有說服力的呢? 根據(jù)波利亞所說,我們在探究三角形全等的判定定理時(shí),“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”這個(gè)結(jié)論的正確與否是需要我們驗(yàn)證的,我們在探究過程中所進(jìn)行的每一次驗(yàn)證都是該結(jié)論的一種情況,每一次驗(yàn)證的正確性都增加了結(jié)論的可信性,但是因?yàn)槲覀儾荒芨F盡所有的可能性,所以每一次驗(yàn)證都只是使結(jié)論更加地可靠.[3]這樣的探究過程無疑要花費(fèi)很多時(shí)間,盧梭說過,“最重要的教育原則是不要愛惜時(shí)間,要浪費(fèi)時(shí)間.”要舍得浪費(fèi)時(shí)間讓學(xué)生學(xué)會猜想,學(xué)會推理,學(xué)會提出問題,而不是一味地接受知識,只是善于記憶.[4]

(3)延伸

所有結(jié)論得出后,教師可以提出一個(gè)問題,例如,對斜三角形來說,給出這四種條件,就可以得到一個(gè)形狀、大小確定的三角形,也就是說,除了已知的三個(gè)元素外,另三個(gè)元素也是確定的,大家可以研究下怎么根據(jù)已知的三個(gè)元素求解另三個(gè)元素.給所有學(xué)生埋下一個(gè)種子,也給有興趣的學(xué)生提供一個(gè)思路.

在探究過程中,涉及一些尺規(guī)作圖,與本文主線沒有過多聯(lián)系,不作贅述.

2.高中學(xué)段

(1)銳角三角函數(shù)

利用相似三角形,探究并認(rèn)識銳角三角函數(shù).這一部分跟本文單元教學(xué)主線關(guān)聯(lián)不大,只是作為解直角三角形和正弦定理及余弦定理公式推導(dǎo)的工具,故不作具體說明.

(2)解三角形中的正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理所處的章名是解三角形,在進(jìn)行這一章之前讓學(xué)生了解正弦定理和余弦定理是解三角形的工具是有必要的.

①正弦定理

i 引入

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié),在所學(xué)的知識中,涉及斜三角形的內(nèi)容.一共三條：第一,三角形內(nèi)角和為180°;第二,大邊對大角,小邊對小角;第三,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.這節(jié)課的目標(biāo)是針對第二條,把三角形中角的正弦值與邊的關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確量化表示.

ii 探究

在△ABC中,已知∠A所對的邊BC長為a,∠B所對的邊AC長為b,∠C所對的邊AB長為c,探究三個(gè)角的正弦值與邊長的數(shù)量關(guān)系.

面對一個(gè)一般三角形,無法直接得到它的邊角關(guān)系,所以,我們先考慮直角三角形這個(gè)特殊情況.在Rt△ABC中,∠C= 90°,要考慮角的正弦值與邊的關(guān)系,涉及到銳角三角函數(shù),通過推導(dǎo)得到公式然后驗(yàn)證公式對銳角三角形和鈍角三角形是否也成立,最后得出正弦定理及公式.接下來,分析利用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問題? 通過分析,可以解決三類問題,第一,已知三角形的任意兩角及其夾邊;第二,已知三角形的任意兩角及其中一角的對邊;第三,已知三角形的任意兩邊及其中一邊的對角.結(jié)合例題分析發(fā)現(xiàn),前兩類解三角形時(shí)可以得到唯一的解,但是第三類的解是不確定的.如教材中的一道例題：

例在△ABC中,已知a= 20cm,b= 28cm,A= 40°,解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1cm).

解根據(jù)正弦定理,0.8999.因?yàn)?° ＜B ＜180°,所以B ≈64°,或B ≈116°.

(1)當(dāng)B ≈64°時(shí),C= 180° -(A+B)≈180° -(40°+64°)=76°,c=≈30(cm);

(2)當(dāng)B ≈116°時(shí),C= 180° -(A+B)≈180° -(40°+116°)=24°,c=≈13(cm).

根據(jù)例題可以發(fā)現(xiàn),給定三角形的任意兩邊及其中一邊的對角不能保證得到唯一的三角形,而已知三角形的任意兩角及其夾邊或者三角形的任意兩角及其中一角的對邊就可以得到唯一的解,分析到這,大多數(shù)學(xué)生都能聯(lián)想到三角形全等的判定了.根據(jù)三角形全等的判定的本質(zhì),AAS,ASA 可以唯一確定一個(gè)三角形,而SSA 則不能,顯然,正弦定理又一次驗(yàn)證了這一點(diǎn).所以,正弦定理是對AAS、ASA 和SSA 的數(shù)量化表示,只是SSA 需要額外進(jìn)行驗(yàn)證.

②余弦定理i 引入

已經(jīng)發(fā)現(xiàn)解三角形與三角形全等的判定之間的聯(lián)系,那么自然就猜測余弦定理可以把三角形全等的判定中剩余的SAS 和SSS 進(jìn)行數(shù)量化表示,帶著猜想進(jìn)行探究.

ii 探究

例如已知一個(gè)三角形的兩條邊及其夾角,解這個(gè)三角形,我們先考慮求出它的第三條邊,△ABC如正弦定理中.不論用幾何法,還是向量法等,都可以得到余弦定理的公式a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.以及它們的推論

根據(jù)余弦定理的公式及推論,發(fā)現(xiàn)恰好是SAS 和SSS的數(shù)量化表示,依據(jù)三角形全等的判定,它們解三角形都只有唯一的解,在做題的過程中發(fā)現(xiàn)也確實(shí)如此.

筆者認(rèn)為,會做題是最基本的,重要的是能讓學(xué)生理解知識的本質(zhì),進(jìn)而聯(lián)系相關(guān)的知識,形成體系,而更重要的是在探索的過程中學(xué)到的東西,也就是忘記了公式、定理和概念之后,還留下的內(nèi)容,也就是思想.

本文試圖通過此跨學(xué)段的單元教學(xué)設(shè)計(jì)啟發(fā)更多有能力的人自己思考,供同仁商榷.