運用知識結(jié)構(gòu)教學(xué) 優(yōu)化高三復(fù)習(xí)效果*

北京市通州區(qū)潞河中學(xué)(101149)趙月靈

提要 數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)是指由知識之間內(nèi)在的聯(lián)系所聯(lián)結(jié)而成的整體.知識結(jié)構(gòu)教學(xué)是指教師啟發(fā)學(xué)生將獲取離散的、表象的知識進行整理加工,在頭腦“內(nèi)化”的基礎(chǔ)上形成多要素、多層次、多系列的網(wǎng)絡(luò)狀的縱橫聯(lián)系的動態(tài)知識結(jié)構(gòu).當(dāng)前,高考內(nèi)容越來越重視對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考察,對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察.高三復(fù)習(xí)任務(wù)重,時間緊,堆積的知識來不及整理,是雜亂放一起的,因此,知識無法形成能力.知識結(jié)構(gòu)教學(xué)提供了從宏觀上對學(xué)過知識進行梳理與重組的機會,促進學(xué)生將知識內(nèi)化,形成能力,提高素養(yǎng).本文結(jié)合實例,從五個方面闡明如何運用知識結(jié)構(gòu)教學(xué),優(yōu)化高三復(fù)習(xí)效果.

美國心理學(xué)家、教育家布魯納于60年代初期提出來的知識結(jié)構(gòu)理論,是20世紀(jì)以來具有代表性的現(xiàn)代教學(xué)理論之一,其核心理論是強調(diào)教師在教學(xué)過程中應(yīng)該讓學(xué)生掌握所學(xué)學(xué)科知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)是指由知識之間內(nèi)在的聯(lián)系所聯(lián)結(jié)而成的整體.它包含的兩個基本要素：一是最基本的知識;二是其他知識與最基本知識的聯(lián)系及方式.所謂知識結(jié)構(gòu)教學(xué)是指教師啟發(fā)學(xué)生將獲取離散的、表象的知識進行整理加工,在頭腦“內(nèi)化”的基礎(chǔ)上形成多要素、多層次、多系列的網(wǎng)絡(luò)狀的縱橫聯(lián)系的動態(tài)知識結(jié)構(gòu).

當(dāng)前,高考內(nèi)容越來越重視對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考察,對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察.但大部分學(xué)校高三的復(fù)習(xí)仍然是課上灌輸式教學(xué),課下題海戰(zhàn)術(shù),缺乏思維的訓(xùn)練.我們知道,高三復(fù)習(xí)任務(wù)重,時間緊,在這個過程中,學(xué)生知識量的增加較快,但此時這些知識還沒有來得及整理,就像是倉庫里堆放的物品,是雜亂的堆積在一起的,因此,知識無法形成能力.因此要學(xué)生有較為充足的時間對所學(xué)內(nèi)容進“再學(xué)習(xí)”,應(yīng)該提供了從宏觀上對學(xué)過知識進行梳理與重組的機會.而知識結(jié)構(gòu)教學(xué)就是建立起了所學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,使知識不再是雜亂的堆積,而是有秩序、有層次的“串聯(lián)”.這時,如果解決問題需要提取某個知識時,就可以沿著已經(jīng)建立起的某種聯(lián)系去找,顯然,這樣更容易找到,也自然加快了問題解決的進程,提高了數(shù)學(xué)能力.本文運用具體實例說明如何通過知識結(jié)構(gòu)教學(xué),優(yōu)化高三復(fù)習(xí)的效果.

一、建立知識結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生整體把握知識,利于學(xué)生分析檢索相應(yīng)方法,迅速找到解題思路.

切實掌握數(shù)學(xué)知識是順利解答問題的基礎(chǔ),在高三教學(xué)和復(fù)習(xí)過程中,講每一章之前,要介紹這一章內(nèi)容的整體框架,使學(xué)生對整章內(nèi)容有一個整體把握.首先讓學(xué)生對知識點中每種問題的基本方法清楚掌握,這樣在解題時,學(xué)生就能由題目提供信息的啟示,從記憶系統(tǒng)里檢索出有關(guān)信息進行綜合,選取出與題目的信息構(gòu)成最佳組合的信息,從而找到最優(yōu)解題途徑.

以《導(dǎo)數(shù)》這一章對文科的高考要求為例.我們建立知識結(jié)構(gòu)圖如下：

圖1

通過結(jié)構(gòu)圖,在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生,使學(xué)生在頭腦中把自己的導(dǎo)數(shù)章節(jié)體系建立起來,在大腦中明確導(dǎo)數(shù)是什么? 導(dǎo)數(shù)如何計算? 導(dǎo)數(shù)有什么用? 在什么條件下用導(dǎo)數(shù)? 如何用?導(dǎo)數(shù)與哪些知識結(jié)合? 有哪些主要解題途徑? 哪些地方容易錯? 等等,學(xué)生掌握了知識結(jié)構(gòu)中每種問題的主要方法,當(dāng)學(xué)生依據(jù)條件檢索時,在有序的結(jié)構(gòu)體系中便很容易檢索到所需的知識和方法.

例如：(2016年北京文科20 題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)設(shè)a=b= 4,若函數(shù)f(x)有三個不同零點,求c的取值范圍;

此題的考查內(nèi)容是導(dǎo)數(shù),第一問具體考察的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程(含參),第二問導(dǎo)數(shù)與其它知識的結(jié)合,導(dǎo)數(shù)與方程的結(jié)合,是函數(shù)零點問題,而函數(shù)零點問題的解決方法學(xué)生頭腦中已經(jīng)清晰,所以便很快會找到解題途徑.

可見,引入知識結(jié)構(gòu)可以在復(fù)習(xí)時對章節(jié)知識有一個直觀的、整體的把握.這樣使學(xué)生依據(jù)自己擁有知識體系,分析題目信息,檢索出解題思路、方法及相應(yīng)的知識.防止知識的漏洞,掌握基本知識點.

二、建立知識結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生重新認識知識的形成過程,增強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和遷移能力.

根據(jù)認知心理學(xué)理論,學(xué)生對任何新知識的學(xué)習(xí)總是在已有的知識基礎(chǔ)上進行,是對原有認知結(jié)構(gòu)的改組、擴大和調(diào)節(jié).因此,一個好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu),首先要揭示數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系.[3]例如下面一個問題：

例如：若x、y滿足求xy的范圍?

高三學(xué)生大多數(shù)都不會解答,為什么呢? 因為老師沒講過這種類型的.對于大多數(shù)學(xué)生來說只要對試題形式稍作改變,就無能為力了,根本問題是沒有明白這個知識的本質(zhì).下面呈現(xiàn)一下我由知識結(jié)構(gòu)設(shè)計的教學(xué)過程：

呈現(xiàn)線性規(guī)劃在不等式這章的位置

圖2

分析

環(huán)節(jié)1若x、y滿足則的最小值為____.

環(huán)節(jié)2動態(tài)呈現(xiàn)挖掘線性規(guī)劃問題的本質(zhì)

圖3

環(huán)節(jié)3 設(shè)計變式強化問題本質(zhì);

變1 若x、y滿足求x2+y2的最小值.求范圍.

變2若x、y滿足求(x+1)2+(y+2)2的最小值.求范圍?

變3若x、y滿足若z=ax+y的最小值為4,求a的值?

環(huán)節(jié)4問題延伸,靈活運用問題本質(zhì)

變4若x、y滿足求xy的范圍?

通過過程,總結(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：

圖4

從函數(shù)上位進行總結(jié).知識結(jié)構(gòu)圖揭示線性規(guī)劃的整體系統(tǒng),及在函數(shù)問題中的位置.對函數(shù)的共性做概括發(fā)現(xiàn),目標(biāo)函數(shù)形式無論是線性還是非線性,都是二元函數(shù),所以,這類問題本質(zhì)上是一類在約束條件下的二元函數(shù)最值問題,而二元函數(shù)最值問題的解法,根據(jù)已經(jīng)梳理出的函數(shù)方法體系,要么通過約束條件轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題,要么引入?yún)?shù),利用參數(shù)的幾何意義,數(shù)形結(jié)合加以解決.這才是這類問題解法的本質(zhì),如果認識到了這一點,只需引入?yún)?shù)k,令xy=k,得此時k的幾何意義既可以看作矩形面積,也可以根據(jù)反比例函數(shù)中k的大小對圖形的影響的幾何意義完成.因此,即使目標(biāo)函數(shù)進一步變?yōu)榕c指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的其他類型都可以迎刃而解.[5]

三、建立知識結(jié)構(gòu),精選典型例題,一題多變,促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活運用.

我們知道課堂上學(xué)生的參與不僅僅是行為上的參與,更重要的是思維上的參與,要通過各種方式激活思維,深化思維,不斷地提高數(shù)學(xué)的思維能力.在高三每節(jié)課的復(fù)習(xí)中,首先在備課前列出本節(jié)課要讓學(xué)生學(xué)會的知識的結(jié)構(gòu)圖,然后由知識結(jié)構(gòu)挑選典型例題,然后引導(dǎo)學(xué)生去變化、去引申、去發(fā)現(xiàn),在變中求活,變中求新,這樣既提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,同時也有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).[9]

例如：高三第二輪的《導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系》的綜合復(fù)習(xí)中,我由導(dǎo)數(shù)與不等式的考點,設(shè)計知識結(jié)構(gòu),然后設(shè)計了以下變式教學(xué),增加了課堂教學(xué)的信息容量,提升學(xué)生的理解力.

圖5

問題f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x,f(x)≥h(x)在[1,+∞)上恒成立,求m的取值范圍.

變式1f(x)=x2- mlnx,h(x)=x2- x,存在x ∈[1,+∞)使f(x)≤h(x)成立,求m的取值范圍.

變式2f(x)=x2- mlnx,h(x)=x2- x,對任意x2∈[1,2]都存在x1∈[1,+∞)使f(x1)≤h(x2)成立,求m的取值范圍.

變式3若存在實數(shù)a ∈[-2,2],使不等式ax2-ax-6+a ＞0 恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

又如：體現(xiàn)“方程、不等式、函數(shù)”等價轉(zhuǎn)換,殊途同歸、有效轉(zhuǎn)化,我設(shè)計了以下問題和變式：

例函數(shù)f(x)=ex -2x.當(dāng)x ＞0 時,方程f(x)=kx2-2x無解,求k的取值范圍.

本題通過參變分離,把方程無解的問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖像沒有交點的問題.

方程根結(jié)構(gòu)圖：

圖6

因此此題還可以做以下變形：

問法一當(dāng)x ＞0 時,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=kx2-2x圖像沒有公共點,求k的取值范圍.

問法二當(dāng)x ＞0 時,函數(shù)y=f(x)-(kx2-2x)沒有零點,求k的取值范圍.

問法三當(dāng)x ＞0 時,不等式y(tǒng) ＞kx2-2x恒成立,求k的取值范圍.

問法四當(dāng)x ＞0 時,函數(shù)y=f(x)圖像在函數(shù)y=kx2-2x圖像上方,求k的取值范圍.

函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系密切,有意識地利用三者之間的關(guān)系對問題進行轉(zhuǎn)化,從而簡化解題.結(jié)構(gòu)圖的價值是培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度、不同的側(cè)面去觀察問題,產(chǎn)生聯(lián)想,從而解決問題.

根據(jù)知識結(jié)構(gòu)圖對教材中的一些典型習(xí)題進行變換、拓展、深化,引導(dǎo)學(xué)生從典型的例題出發(fā)去變化、去引申、去發(fā)現(xiàn),最后學(xué)生在體驗后總結(jié)系統(tǒng)知識結(jié)構(gòu),這樣學(xué)生在變化和探究之中獲得解決問題的方法,建構(gòu)對知識的理解.如果長期訓(xùn)練,能逐步形成和擴展知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng),使學(xué)生能在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)”,形成一個條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機體系.學(xué)生理解力增強,數(shù)學(xué)能力得到提高.

四、建立知識結(jié)構(gòu),整體規(guī)劃解題思路,促學(xué)生從多角度分析轉(zhuǎn)化問題,優(yōu)化解題思路.

教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn),很多學(xué)生在學(xué)習(xí)新東西時,喜歡總結(jié)一定的解題模式,然后他們會機械地按照這個固定的模式去解題,對此,若不隨時予以注意,也很可能讓學(xué)生形成某種思維定勢,造成思維上的呆板和僵化,不能靈活選用合適的方法.復(fù)習(xí)過程中我通常在學(xué)生熟悉題目條件后,讓學(xué)生自己規(guī)劃解題思路,清楚每種思路的方法、適用的條件、可能出現(xiàn)的困難,從而優(yōu)化解題思路.

圖7

分析給出這個題目后,我不是直接讓學(xué)生做,而是讓學(xué)生規(guī)劃基本方法和思路,所以學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)圖,規(guī)劃出下面幾種主要方法：

法一因為當(dāng)x ∈(0,+∞)時,f(x)≥1 恒成立,所以等價于f(x)min≥1.

法二因為當(dāng)x ∈(0,+∞)時,恒成立,所以a · ex≥x恒成立,所以a · ex - x≥0 恒成立,令F(x)=a·ex-x,所以F(x)min≥0.

法三因為當(dāng)x ∈(0,+∞)時,恒成立,所以a·ex≥x恒成立,所以恒成立,令所以只需F(x)max≤a.

法四因為當(dāng)x ∈(0,+∞)時,恒成立,所以a·ex≥x恒成立,所以a ＞0 時,恒成立.令所以時,恒成立.令所以

為了完成上述轉(zhuǎn)化,要把握兩個關(guān)鍵：(1)針對問題的需要,合理地構(gòu)造函數(shù),找到問題轉(zhuǎn)化的突破口; (2)通過整體規(guī)劃,優(yōu)化方法.“變形、再構(gòu)造”以實現(xiàn)問題的深度轉(zhuǎn)化.是整體規(guī)劃的結(jié)構(gòu),使思路全面,通過適當(dāng)分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口,使問題簡單化、明確化.

五、建立知識結(jié)構(gòu),根據(jù)知識結(jié)構(gòu)圖上好試卷講評課,進行題組訓(xùn)練,由點到面.

高三很多時候是試卷講評課,講卷子,做卷子,最令老師和學(xué)生懊惱的是已經(jīng)做過的題型甚至原題,仍然做錯或不會做.根本原因還是在于知識體系沒有得到強化,這是發(fā)揮結(jié)構(gòu)教學(xué)最好的時候.試卷講評,不求面面俱到,抓住這套試卷要解決的主要問題,精選典型題,聯(lián)系結(jié)構(gòu),以點到面.所以我在講解試卷的時候?qū)τ诘湫皖}或?qū)W生出現(xiàn)問題較多的題型,采取拉出知識結(jié)構(gòu)體系的方式訓(xùn)練.比如圓錐曲線部分,對于曲線上點的問題.

圖8

以圓錐曲線為例,要分析：

1、這張卷子還有沒有其他的圓錐曲線的題?

2、該題是的圓錐曲線的哪類問題?

3、該題在圓錐曲線知識結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的“坐標(biāo)”是什么?

4、當(dāng)時沒分析出來或錯誤的原因是什么?

5、能把此題變化一下嗎? 變化條件、結(jié)論、引申等

6、老師補充一到或兩道圓錐曲線知識結(jié)構(gòu)中此卷未出但?？疾鞂W(xué)生易錯的題目.

7、學(xué)生當(dāng)即上黑板板演,分析.

特別是到了高三后期的復(fù)習(xí)(幾次模擬訓(xùn)練)時候,要有一個由易到難,再由難到易的過程.使學(xué)生在形成完整知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,有一個良好的心理調(diào)適過程,進而在考試中發(fā)揮出最佳水平.

系統(tǒng)論告訴我們,系統(tǒng)地組織起來的材料所提供的信息,遠遠大于部分材料提供的信息之和.就數(shù)學(xué)而言,只有將各個單元和分散知識點,有機的納入數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)之中,形成整體性的“認知框架”,才能顯示其應(yīng)有的活力.華羅庚說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要經(jīng)過‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程.”這里的“由薄到厚”是學(xué)習(xí)、接受的過程,“由厚到薄”是消化、提煉的過程,這里的“由薄到厚”理解為由知識結(jié)構(gòu)發(fā)散引申、更好地理解知識,“由厚到薄”的過程歸納概括,升華,將知識系統(tǒng)化.只有同時經(jīng)歷這兩個過程,學(xué)生才能達到融會貫通,透徹理解.

著名心理學(xué)家布魯納說：“不論我們選教什么學(xué)科,務(wù)必使學(xué)生理解各門學(xué)科的基本結(jié)構(gòu).經(jīng)典的遷移問題的中心,與其說是單純地掌握事實和技巧,不如說是教授和學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu).”可見,高三復(fù)習(xí)中應(yīng)注重知識結(jié)構(gòu)教學(xué),幫助學(xué)生建立相應(yīng)的知識構(gòu)圖,這對提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)效率是十分必要的.