淺談動點(diǎn)最值問題

廣東省佛山市順德區(qū)沙滘初級中學(xué)(528315)鄭春明

一、前言

在近幾年的中考數(shù)學(xué)題中,一類動點(diǎn)最值的問題受到中考命題者的青睞,它是改編自課本中的練習(xí)題.這類問題能考查學(xué)生的綜合分析和解決問題的能力,所以成為中考的熱點(diǎn)問題,下面我將從2015年廣東省的一道中考題談起.

例1(2015年廣東省)如圖1,反比例函數(shù)的圖象與直線y= 3x相交于點(diǎn)C,過直線上點(diǎn)A(1,3)作AB⊥x軸于點(diǎn)B,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D,且AB=3BD.

圖1

(1)求k的值;

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)在y軸上確定一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到C,D兩點(diǎn)的距離之和d=MC+MD最小,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

這道題的第(3)小題得分率不高,主要是因?yàn)閷W(xué)生找不到符合題意的點(diǎn)M,自然就求不出它的坐標(biāo).事實(shí)上,解決這道題所用的數(shù)學(xué)模型就隱藏在北師大版教科書中.北師大版《數(shù)學(xué)》七年級下冊第123頁問題解決的第5 題：如圖2,要在街道旁修建一個(gè)奶站,向居民區(qū)A、B 提供牛奶,奶站應(yīng)建在什么地方,才能使A、B從到它的距離之和最短?[2]

圖2

圖3

分析上述問題,利用數(shù)學(xué)建模思想,可轉(zhuǎn)化為：已知定點(diǎn)A、B和直線l,要求在直線l上求作點(diǎn)P,使PA+PB最小.

這道題的解決辦法是：如圖3,利用軸對稱性找到點(diǎn)A′,連接A′B,與直線l相交于點(diǎn)P,此時(shí),PA+PB最小.通過這道題目的解答,發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵是利用軸對稱將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”,亦可用三角形兩邊之和大于第三邊來證明.在問題的解題過程中,我們可以用一句通俗易懂的話語“加法最小找異側(cè)”來總結(jié),如果兩個(gè)點(diǎn)在異側(cè)直接連接出交點(diǎn),如果是同側(cè)的點(diǎn)就需要做對稱點(diǎn)變成異側(cè)來解決此題.通過多年教學(xué)發(fā)現(xiàn),此口訣明白易曉,便于學(xué)生理解和記憶.下面,我將結(jié)合常考試題中的相關(guān)問題,進(jìn)行分類解決.

二、?？碱}型

(一)兩定一動型

“兩定一動型”是指在已知兩個(gè)固定點(diǎn)和直線上的一個(gè)動點(diǎn)的條件下求最值的題目,?？碱}型有三種,下面以2015年廣東省中考題第23 題的改編題為例來呈現(xiàn)這三種不同的題型.

例2(2015年廣東省第23 題改編)如圖4,反比例函數(shù)的圖象與直線y= 3x相交于點(diǎn)C,過直線上點(diǎn)A(1,3)作AB⊥x軸于點(diǎn)B,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D.

(1)在軸上是否存在點(diǎn)E,使CE+DE的值最小,若存在,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)

(2)在軸上是否存在點(diǎn)F,使DF -CF的值最大,若存在,請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)

(3)在軸上是否存在點(diǎn)G,使|CG-DG|的值最小,若存在,請求出點(diǎn)G的坐標(biāo),若不存在,請說明理由

圖4

圖5

分析(1)這一問可以沿用前言的解題思路,以口訣“加法最小找異側(cè)”做對稱點(diǎn)來解決此題.

(2)這一問,利用數(shù)學(xué)建模思想可轉(zhuǎn)化為：如圖5,已知點(diǎn)A和點(diǎn)B′,問在直線l上是否存在一個(gè)動點(diǎn)M,使得|MA-MB′|的值最大.解決的辦法連接點(diǎn)A和點(diǎn)B′并延長與已知直線l相交于點(diǎn)M,此時(shí)|MA - MB′|的值最大.這樣做的理由如下：作點(diǎn)B′關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B,此時(shí)AM -BM=AM -B′M=AB′.接下來,在直線l上任取一個(gè)另一點(diǎn)M′,連接M′A、M′B、M′B′.則AM′-BM′=AM′-B′M′ ＜AB′(三角形兩邊之差小于第三邊).所以M′A-M′B ＜AM-BM,即此時(shí)AM-BM最大.

在實(shí)際解題過程中,我們可將這種模型的應(yīng)用以口訣“減法最大找同側(cè)”來總結(jié),如果兩個(gè)點(diǎn)在同側(cè)直接連接出交點(diǎn),如果兩個(gè)點(diǎn)在異側(cè)則需要做對稱點(diǎn)變成同側(cè)來解決此題.

(3)這一問,利用絕對值最小是0 可得到CG=DG,接著設(shè)G的縱坐標(biāo)是y,再利用兩點(diǎn)間距離公式可以列方程求出G點(diǎn)的坐標(biāo).

(二)一定兩動型

“一定兩動型”是指在已知一個(gè)固定點(diǎn)和直線上的兩個(gè)動點(diǎn)的情況下求最值的題目.

例3(2009 陜西)如圖6,在銳角三角形ABC中,AB=∠BAC= 45°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn),則BM+MN的最小值為_____.

圖6

圖7

分析此問題的對稱軸是角平分線所在的直線,可以利用它對線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換.如圖7所示,作點(diǎn)N關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)N′,連接MN′,則MN=MN′.所以,求BM+MN的最小值相當(dāng)于求BM+MN′的最小值,當(dāng)B、M、N′三點(diǎn)共線,且BN′⊥AC時(shí),BM+MN′最小.由∠BAC=45°,AB=利用三角函數(shù)值可求得BN′=4.所以BM+MN的最小值為4.

這個(gè)問題的突破口是AD是∠BAC的平分線,利用對稱變換將MN轉(zhuǎn)化為MN′,然后“化曲為直”,接著利用“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短”,得到當(dāng)BN′⊥AC時(shí),BM+MN有最小值.

例4如圖8,∠AOB= 45°,P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO= 10,Q、R分別是OA、OB上的動點(diǎn),求△PQR周長的最小值.

圖8

圖9

解如圖9,分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)M、N,連接OM、ON、MN,MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R,連接PR、PQ,此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN.由軸對稱性質(zhì)可得,OM=ON=OP= 10,∠MOA= ∠POA,∠NOB=∠POB,所以∠MON= 2∠AOB= 2×45°= 90°,在Rt△MON中,即△PQR周長的最小值等于

和“兩定一動型”對比,雖然多了一個(gè)動點(diǎn),但是由于求的是加法的最小值,所以解法和“一定兩動型”的第一問一樣找異側(cè)、進(jìn)行對稱變換的這個(gè)解題方法始終不變.

(三)兩定兩動型

“兩定兩動型”,就是已知兩個(gè)固定點(diǎn)和直線上的兩個(gè)動點(diǎn)的條件下求最值的題目.

例5 如圖10,甲、乙兩個(gè)單位分別位于一條封閉式街道的兩旁,現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過街天橋.問：橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短? (注：橋必須與街道垂直)[3]

圖10

圖11

分析(1)兩點(diǎn)之間線段最短,(2)“加法最小找異側(cè)”,可利用以上原理來求解作圖.

解如圖11,將橋的長度設(shè)為CD,則這個(gè)問題中所求的路線就是AC、CD、DB三條線段之和.怎樣轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的一條線段呢? 根據(jù)題意得,線段CD是定值,所以只需要AC+DB最短.但是由于它們是分散的兩條線段,所以需要先將其中一條平移,如圖平移DB到CB′,此時(shí),點(diǎn)A和點(diǎn)B′在直線l的異側(cè),根據(jù)“加法最小找異側(cè)”的口訣,此時(shí)直接連接AB′交l于P,就可以得知橋的位置.

例6(2010?江干區(qū)模擬)如圖12,已知A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),試用直尺(沒有刻度)和圓規(guī),在l上找兩點(diǎn)C和D(CD的長度為定值a),使得AC+CD+DB最短.(不要求寫畫法)

圖12

圖13

分析如圖13,因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l的同側(cè),根據(jù)“加法最小找異側(cè)”的口訣,需要先作出點(diǎn)A關(guān)于I的對稱點(diǎn)A′,點(diǎn)B向左平移到B′(平移的長度為定值a),再連接A′B′,與l交于C,再作BD//A′B′,與l交于D,即可確定點(diǎn)D、C.

點(diǎn)評解決這道題的方法和例5 的類似,難點(diǎn)主要是確定點(diǎn)C、點(diǎn)D的位置.但這道題比例5 還難,需要作出A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,將A′和B′放在直線l的異側(cè).

三、總結(jié)反思

通過上面三種題型,六道例題的分析和解答可以發(fā)現(xiàn)：動點(diǎn)最值的問題,無論問題的條件怎么變化,其本質(zhì)都離不開軸對稱性質(zhì)和兩個(gè)定理——“兩點(diǎn)之間,線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,解決問題時(shí),關(guān)鍵是找到對稱軸,根據(jù)題意看看需不需要作出對稱點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而達(dá)到“化曲為直”的目的.

從一道得分率較低的中考題中引申出這么多不同類型的?？紕狱c(diǎn)最值問題,這些題目都能在教科書中找到原型,對于平時(shí)的教學(xué),從中我們也能得到一點(diǎn)啟發(fā)：1、平時(shí)例題教學(xué)、作業(yè)講解、試卷講評等要注重變式教學(xué)(變條件、變結(jié)論、變圖形、變式子、變表達(dá)方式等).2、在講題時(shí),除了總結(jié)外,可追問學(xué)生來激發(fā)學(xué)生思考.3、在例題講解完畢后,可用通俗易懂的口訣對方法進(jìn)行適當(dāng)總結(jié),例如對于兩定一動的動點(diǎn)最值問題可讓學(xué)生熟記“加法最小找異側(cè)”、“減法最大找同側(cè)”.