專題復(fù)習(xí)助力數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地生根”
——以“K”型全等基本圖形專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)為例

廣東省深圳中學(xué)龍崗初級中學(xué)(518000)黃小華

“當(dāng)今世界各國教育都在聚焦對于人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)”,[1]我國也不例外,核心素養(yǎng)已成為我國教育界普遍關(guān)注的一大焦點(diǎn).如何在課堂教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),這是一線數(shù)學(xué)教師共同關(guān)心的話題,章建躍先生指出,教好數(shù)學(xué)就是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),而教好數(shù)學(xué)的前提是理解數(shù)學(xué),[2]筆者以“K”型全等基本圖形專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)為例,展示“K”型全等的設(shè)計(jì)理解,探討如何預(yù)設(shè)更加符合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、案例設(shè)計(jì)

1 基本圖形,構(gòu)建模型

問題1如圖1,等腰三角形△ABC中,∠ACB= 90°,CA=CB,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥DE于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥DE于點(diǎn)E,求證：△ADC～=△CEB.

圖1

設(shè)計(jì)追問

(1)為什么叫“K”型全等基本圖形,你能找出圖1中的“K”嗎?

(2)適當(dāng)變換圖形位置,如圖2,這四個圖形與圖1有什么區(qū)別和聯(lián)系?“K”型全等基本圖形必須具備哪幾個條件,其中最重要的結(jié)論是什么.

圖2

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生熟悉的情景入手,喚醒學(xué)生對已有知識的回憶,兩個追問有利于學(xué)生自己建立起“K”型全等基本圖形; 通過圖形變式,學(xué)生能充分理解“K”型全等基本圖形的本質(zhì).

2 模型應(yīng)用,思維生成

2.1 簡單應(yīng)用

問題2 如圖3,在平面直角坐標(biāo) 系中,∠ACB= 90°,CA=CB,過點(diǎn)B作BE⊥OE于點(diǎn)E,若OA=4,OC=3,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

圖3

設(shè)計(jì)意圖將“K”型全等基本圖形放入平面直角坐標(biāo)系中,代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合,為后面基本圖形綜合應(yīng)用做好鋪墊.

2.2 圖形變換

問題3如圖4,直線與x軸和y軸分別交于A,C兩點(diǎn),將直線AC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l,求直線l的解析式.

圖4

設(shè)計(jì)追問

(1)求直線l的解析式,根據(jù)待定系數(shù)法,還缺什么條件,

(2)結(jié)合問題2,你有什么啟發(fā).

設(shè)計(jì)意圖旋轉(zhuǎn)、平移、對稱等圖形運(yùn)動是幾何變換中的基本形式,這里要求學(xué)生構(gòu)造“K”型全等基本圖形,能很好促進(jìn)學(xué)生思維活動,有利于學(xué)生思維體操運(yùn)動.

2.3 綜合應(yīng)用

問題4如圖5,直線與x軸和y軸分別交于A,C兩點(diǎn),在第一象限內(nèi)找個點(diǎn)M,使△ACM是等腰直角三角形,試求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖5

設(shè)計(jì)追問

(1)從直觀想象角度,你覺得有幾個點(diǎn)符合題意,用三角板畫畫看.

(2)結(jié)合問題3,你嘗試采用分類討論的思想逐步把符合題意的幾個點(diǎn)求出來.

設(shè)計(jì)意圖在問題3 的基礎(chǔ)上延伸,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性和拓展性.

問題5 如圖6,直線與x軸和y軸分別交于A,C兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(2,3),試問直線上是否存在兩點(diǎn)G、H,(點(diǎn)G在點(diǎn)H上方)使△PGH是等腰直角三角形,若存在,試求出點(diǎn)G的坐標(biāo),若不存在,試說明理由.

圖6

設(shè)計(jì)追問

(1)請利用手中的等腰直角三角板在圖6中畫一畫可能存在的等腰直角三角形,

(2)在你所畫的等腰直角三角形中畫出“K”型全等基本圖形,

(3)在求點(diǎn)G的坐標(biāo)中你有什么困難,請小組討論并嘗試著解決問題,

(4)在構(gòu)造基本圖形時應(yīng)注意什么.

設(shè)計(jì)意圖(1)如圖7,學(xué)生動手畫出等腰三角形,有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀,

(2)如圖8,學(xué)生在圖7的基礎(chǔ)上動手畫出“K”型全等基本圖形,學(xué)生能很好地領(lǐng)悟在平面直角坐標(biāo)系構(gòu)造“K”型全等基本圖形的核心是向坐標(biāo)軸作垂線或平行線補(bǔ)成一個“K”型全等基本圖形,

(3)求點(diǎn)G的坐標(biāo)確實(shí)有一定困難,小組討論有利于學(xué)生用“字母”表示數(shù)的思想方法將動態(tài)轉(zhuǎn)化靜態(tài),然后用方程思想加以解決問題.

圖7

圖8

二、案例理解

“K”型全等基本圖形是很重要的基本圖形,也是全國各地中考試卷中常考常新的重要知識,為后面專題復(fù)習(xí)“K”型相似基本圖形提供了類比的思路和方法,“K”型全等基本圖形經(jīng)?！皾摲痹诓煌谋尘?如一次函數(shù)、反比函數(shù)、拋物線、圓等)中,只有理解其本質(zhì),學(xué)生才能運(yùn)用自如,達(dá)到“萬變不離其宗”的效果.

1 熟悉模型入手,突顯人文關(guān)懷

“K”型全等基本圖形是學(xué)生較熟悉的圖形,初中數(shù)學(xué)各個版本的教材中都有相應(yīng)的教材例題或習(xí)題,學(xué)生備感親切,專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)“K”型全等基本圖形為后面“K”型相似基本圖形及“一線三等角”做好準(zhǔn)備,教學(xué)設(shè)計(jì)以基本圖形為主旋律在結(jié)論上做不同深度的變式,絕大部分學(xué)生在不同程度上都能獲得“跳一跳就能摘到蘋果”的成就感,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念.

2 問題層層遞進(jìn),彰顯思維過程

波利亞曾經(jīng)說過“解題的成功,要靠正確的轉(zhuǎn)化”.案例設(shè)計(jì)以基本圖形為主線,按照“證明基本圖形結(jié)論——理解基本圖形本質(zhì)——應(yīng)用基本圖形性質(zhì)——做輔助線構(gòu)建基本圖形”模式組織學(xué)生進(jìn)行有序的思維訓(xùn)練,學(xué)生在經(jīng)歷圖形的分解、提煉、構(gòu)造過程中提高自己的幾何直觀思維能力,同時案例設(shè)計(jì)還將圖形和平面直角坐標(biāo)系及函數(shù)問題相關(guān)聯(lián),為學(xué)生搭建了一個更廣闊的思維平臺,任學(xué)生“馳騁風(fēng)云”,學(xué)生在“平臺”上學(xué)會了思考,也學(xué)會了學(xué)習(xí),充分促進(jìn)和發(fā)展了學(xué)生的主體性[3].

3 追問觸及本質(zhì),凸顯數(shù)學(xué)素養(yǎng)

針對課堂提問存在急于求成、不求質(zhì)量、設(shè)計(jì)隨性等情況,案例設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)高質(zhì)量的追問,這些追問本身就滲透了轉(zhuǎn)化思想,學(xué)生親身經(jīng)歷從特殊到一般、從代數(shù)到方程、從代數(shù)到幾何、從靜態(tài)到動態(tài)深層次“半自學(xué)”歷程,學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識的同時也習(xí)得了數(shù)學(xué)思想方法,真正促進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí).

問題1 的追問有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀,問題3 的追問有利于培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造和數(shù)學(xué)建模,問題4 的追問有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和分類討論等邏輯推理,問題5 的追問有利于培養(yǎng)學(xué)生以動化靜的思想,提升學(xué)生用方程解決幾何問題的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,這些不都是我們所提倡的核心素養(yǎng)嗎.

三、案例思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象六個方面[4],數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六個方面不是簡單的相加,更不能將其看成這六部分的和[5],與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)》十大核心概念相比不是概念異化,強(qiáng)調(diào)整體性和系統(tǒng)性,教學(xué)實(shí)踐中如何踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)? 我們一線教師不能割裂這些年來以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)》為指導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育,應(yīng)在取得已有成果的基礎(chǔ)上科學(xué)性系統(tǒng)性地做好每堂課的教學(xué)預(yù)設(shè),讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中“落地生根”.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地生根”的主陣地是課堂,教師只有先做好教學(xué)設(shè)計(jì),才可能有精彩的課堂,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地生根”的主體是學(xué)生,教學(xué)設(shè)計(jì)只有從學(xué)生出發(fā),才可能“事半功倍”,我們教師的教學(xué)設(shè)計(jì)在“知識與技能”方面做得很好,但在“過程與方法”方面還大有作為,下面以案例設(shè)計(jì)為例談?wù)勛约涸凇斑^程與方法”方面對教學(xué)設(shè)計(jì)的一點(diǎn)看法.

1 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

針對課堂教學(xué)教師包辦過多、學(xué)生依賴較大等現(xiàn)象,案例設(shè)計(jì)以五個問題串為背景,學(xué)生自身經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)意識、問題解決、邏輯推理、信息交流”[6]一系列由靜到動、由淺入深、螺旋上升的變化過程,教師只是作為組織者創(chuàng)造了以學(xué)生為主體的課堂生態(tài),通過五個問題串中的“追問”賦予學(xué)生更多的選擇權(quán),案例設(shè)計(jì)時刻意留給學(xué)生充分的時間和空間來掌握自己的學(xué)習(xí),充分發(fā)揮了學(xué)生的主體性,學(xué)生處于“深自由呼吸、深思維運(yùn)動”狀態(tài)下的深度學(xué)習(xí),培養(yǎng)了學(xué)生今后丟掉“拐杖”也會走路的良好思維品質(zhì).

教師在預(yù)設(shè)教學(xué)設(shè)計(jì)時要把握教材的整體性,孤立每一節(jié)課來談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是毫無意義的,專題復(fù)習(xí)也不例外,本案例設(shè)計(jì)的下一個教學(xué)設(shè)計(jì)為“K”型相似基本圖形專題復(fù)習(xí)以及“一線三等角”基本圖形,目的是把散亂但有關(guān)聯(lián)的知識“串聯(lián)”起來,使之形成一個系統(tǒng),這樣更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,有利于培育學(xué)生深度學(xué)習(xí)的土壤,激發(fā)學(xué)生的探究欲望,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力.

2 豐富學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)

我國古典數(shù)學(xué)中的“趙爽弦圖”、“韓信點(diǎn)兵”、“楊輝三角”等一些重要的結(jié)論都得益于經(jīng)驗(yàn)的積累,對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響,數(shù)學(xué)發(fā)展史本身就是一部經(jīng)驗(yàn)傳承史.

數(shù)學(xué)教師如何在教學(xué)設(shè)計(jì)上體現(xiàn)“豐富學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)”這一理念? 案例設(shè)計(jì)在這個方面也做了一點(diǎn)嘗試：學(xué)生動手操作構(gòu)建基本圖形,學(xué)生潛移默化地經(jīng)歷了觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn);問題串呈現(xiàn)后學(xué)生獨(dú)立思考,存在困惑時教師采用追問的方式,目的是讓數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)凸顯,學(xué)生沿著主線不斷探究從而積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn);對于案例設(shè)計(jì)中的動態(tài)問題,教師采用小組合作交流的形式開展活動,學(xué)生在互幫互助中不斷豐富自己的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn);學(xué)生通過構(gòu)造基本圖形的應(yīng)用,數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)在重構(gòu)中“落地生根”;問題(5)追問“在構(gòu)造基本圖形時應(yīng)注意什么”,目的是注意學(xué)生的反思,從而內(nèi)化和升華學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

3 挖掘素材思想方法

案例以“證明基本圖形結(jié)論——理解基本圖形本質(zhì)——應(yīng)用基本圖形性質(zhì)——做輔助線轉(zhuǎn)構(gòu)建基本圖形”為主線本身就是一種方法,這種方法對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教師高效預(yù)設(shè)教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一種借鑒.

教師在做教學(xué)預(yù)設(shè)時,如何挖掘素材(教材、教參、學(xué)生習(xí)題、考試試卷、專題復(fù)習(xí))的思想方法,這需要技巧和藝術(shù),案例設(shè)計(jì)中做了一些巧妙的處理：案例設(shè)計(jì)中有意識滲透數(shù)學(xué)思想方法,如問題2 中的構(gòu)造思想和數(shù)形結(jié)合思想,問題3中的化歸思想,問題4 中的分類討論思想和類比思想,問題5中的字母表示數(shù)的思想和方程思想等,這些思想方法在題中深藏不漏,但能統(tǒng)領(lǐng)解題的思路;案例設(shè)計(jì)中的追問另一個目的是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析,從而逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)慣;案例設(shè)計(jì)中的反思也是培養(yǎng)學(xué)生在解題后有意識歸納和提煉數(shù)學(xué)思想方法,進(jìn)而不斷反思和鞏固數(shù)學(xué)思想方法.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育絕不是一朝一夕的事,作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地生根”的抓手――教師,只要心系數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),努力做好課堂預(yù)設(shè),學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一定能“生根發(fā)芽”.