培養(yǎng)解題反思習(xí)慣 提升數(shù)學(xué)解題能力

廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校(523000)馮強(qiáng)泉

提升解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一.現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,往往注重讓學(xué)生大量練習(xí),期望通過題海戰(zhàn)術(shù)快速培養(yǎng)學(xué)生的解題能力,但效果并不理想.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞把解題過程分成四個(gè)步驟：(1)理解題目;(2)擬定方案;(3)實(shí)行方案;(4)回顧.[1]這說明,得出了數(shù)學(xué)題的答案,并不意味著解題思維活動(dòng)的結(jié)束,而是深度思維的開始.但一直以來,教師很少引導(dǎo)學(xué)生反思,學(xué)生缺乏反思意識(shí),不知怎么反思,這直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的發(fā)展.數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思,培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣.提升解題能力.

一、精心設(shè)計(jì)解題教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生反思

解題反思,應(yīng)該反思什么? 反思是指學(xué)習(xí)者對(duì)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程及活動(dòng)過程中涉及的有關(guān)事物(材料、信息、思維、結(jié)果等)學(xué)習(xí)特征的反向思考.[2]因此,在解題教學(xué)中,教師要課前精心設(shè)計(jì),課中靈活變通,引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果、思路、方法、規(guī)律、推廣等方面展開反思.

(一)反思解題結(jié)果

學(xué)生在解完一道題后,往往就心滿意足,沾沾自喜,不再思考,這就錯(cuò)過了修正總結(jié)的的機(jī)會(huì).教師要引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)數(shù)學(xué)解題結(jié)束后盡力去回憶自己從開始到結(jié)束的每一步心理活動(dòng),反思自己做的到底對(duì)不對(duì)? 還有沒有條件沒用上?還有沒有其他答案? 哪里有疑問? 以后解題時(shí)應(yīng)如何避免錯(cuò)誤?

例1.1為美化環(huán)境,計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30 平方米的草皮鋪設(shè)一塊邊長(zhǎng)為10 米的等腰三角形綠地,請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng).

評(píng)析學(xué)生容易想到需分類討論,得出以下兩種答案：設(shè)AB= 10 米,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,則即則CD=6 米.

① 如圖1,當(dāng)AB為底邊時(shí),AD=DB= 5 米,米;

②如圖2,當(dāng)AB為腰時(shí),AB=AC= 10 米,AD=米,BD=2 米,米.

此時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：還沒有其他情況? 以上兩種情況,都是髙在三角形的內(nèi)部,是否有髙在三角形外部的情況? 學(xué)生想到第③種情況：

③ 如圖3,當(dāng)AB為腰且三角形是鈍角三角形時(shí),AB=BC= 10 米,米,AD=10+8=18 米,米.

圖1

圖2

圖3

教師在教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生反思：解題是否需要分類討論,分類討論是否完整? 一般的,如果涉及到三角形的髙,需要分別考慮三角形的高在三角形內(nèi)部和外部的情況.

例1.2如果關(guān)于x的一元二次方程(k+2)x2-3x+1=0 有實(shí)數(shù)根,那么k的取值范圍是 ____.

評(píng)析此題顯然考察一元二次方程的根的判別式,學(xué)生容易作出以下答案：

因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程(k+2)x2-3x+1 = 0有實(shí)數(shù)根,所以Δ ≥0,即(-3)2-4(k+2)×1 ≥0,解得所以答案為：

但其實(shí),本題中二次項(xiàng)系數(shù)為(k+ 2),還需要保證即所以本題的正確答案是且

因此,在解題中,教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：題目是否有隱藏的“坑”? 是否有條件被忽視了? 既要掌控大局,也要注重細(xì)節(jié).

(二)反思解題思路

絕大部分學(xué)生在解題過程中,總在不斷嘗試,不斷修正,解題思路并不十分清晰.為提高解題質(zhì)量和效率,教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧和整理解題思路,概括解題思想,使解題過程清晰化、思維條理化、精確化和概括化.

例2方程的|x-1|+|x+2|=5 的解為____.

評(píng)析本題可以運(yùn)用絕對(duì)值的代數(shù)意義,分類討論,比較麻煩.如果結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行解題,則事半功倍.畫出數(shù)軸,|x-1|表示數(shù)軸上x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離,|x+2|=|x-(-2)|表示數(shù)軸上x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-2 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離.容易得到,在-2 和1 之間,不存在滿足條件的解.在-2 的左邊,當(dāng)x=-3 時(shí),在1 的右邊,當(dāng)x= 2 時(shí),滿足條件.故x=2,或者-3.得出答案后,教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：本題的解題思路是什么? 讓學(xué)生明確：本題通過數(shù)形結(jié)合,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.

(三)反思解題方法

教師應(yīng)該積極指導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法進(jìn)行自我總結(jié)和反思,幫助學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的認(rèn)知,有利于學(xué)生綜合解決和梳理出習(xí)題的多種思維和方法,幫助學(xué)生鞏固基本的解題思路.[3]很多數(shù)學(xué)問題都有多種解法,尋找出多種解法,可以發(fā)開闊學(xué)生的解題思路,發(fā)展學(xué)生的思維能力.因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：還有其他方法嗎? 哪種方法最優(yōu)?

例3如圖4,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,PD切⊙O于點(diǎn)C,BD⊥PD,垂足為D,連接BC.

圖4

(1)求證：BC平分∠PBD;

評(píng)析第(2)問,連接AC,可證得△PAC～△PCB,可得得解得PB=12.故OA=3.運(yùn)用相似三角形的知識(shí)求出答案后,教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：此題還有其他方法嗎? 得到解法2：連接OC,則△OPC為直角三角形,設(shè)半徑為r,則得解得r= 3.通過反思,讓學(xué)生初步理解：圓背景下求線段的長(zhǎng)度常用兩種方法：①相似三角形方法 ②構(gòu)造直角三角形方法.

(四)反思解題規(guī)律

數(shù)學(xué)問題形式多樣,千變?nèi)f化,但很多問題本質(zhì)相同,解題有共同的規(guī)律,教師要引導(dǎo)學(xué)生反思,基于現(xiàn)有問題而衍生出形異而質(zhì)同的問題,加深對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí),[4]深入理解解題規(guī)律,解一題,通一類,切實(shí)掌握解題方法.

例4有n個(gè)人,每?jī)蓚€(gè)人握一次手,共有多少次握手?

評(píng)析因?yàn)槊恳粋€(gè)人都要與其他的人握手,故每一個(gè)人要握(n-1)次手,全部人共需握手n×(n-1)次.但每?jī)蓚€(gè)人之間只握了一次手,這種算法是重復(fù)計(jì)算了一遍,故實(shí)際上全部人共握手次.

在解決這個(gè)問題后,教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：這個(gè)問題與之前學(xué)過的哪類問題相似? 從而幫助學(xué)生明白此類“握手問題”與“平面上有n個(gè)點(diǎn),任意3 點(diǎn)都不在同一條線上,則這n個(gè)點(diǎn)可以連出幾條直線”、“同一條直線上的n個(gè)點(diǎn)可以形成多少條線段”、“同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的n條射線可以形成幾個(gè)角”、“n支球隊(duì)兩兩賽一場(chǎng)共需賽幾場(chǎng)”問題本質(zhì)相同”、與“n個(gè)同學(xué)兩兩互送禮物共送多少禮物”思維相似,因而能深刻理解這一類問題的解決方法.

(五)反思問題推廣

對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行推廣,既能讓學(xué)生進(jìn)一步深入理解題目的解法,又能促使學(xué)生根據(jù)變化了的條件、問題進(jìn)行積極思考,從而尋求解決問題的方法,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.因此,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生反思問題本身,對(duì)問題進(jìn)行推廣.

例5如 圖5,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 8,BC= 6,CD⊥AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí),兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

圖5

(1)求線段CD的長(zhǎng);

(2)是否存在某一時(shí)刻t,使得QP⊥CD?

(3)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

評(píng)析教師要引導(dǎo)學(xué)生反思：你能根據(jù)第(2)問提出其他問題并給出解答嗎? 有學(xué)生提出問題：是否存在某一時(shí)刻t,使得△CPQ是直角三角形? 此問需考慮另外兩種可能存在的情況：①∠PQC= 90°②∠QCP= 90°.畫出圖形后運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可解決.還有學(xué)生提出問題：是否存在某一時(shí)刻t,使得△CPQ是等腰三角形? 此問讓學(xué)生從直角三角形的視覺轉(zhuǎn)到了等腰三角形的視覺,要考慮可能的三種情況：①CQ=CP②PQ=PC③QP=QC.畫出圖形,運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)即可解決.此舉讓學(xué)生開闊了視野,讓學(xué)生從整體上把握問題,從更髙觀點(diǎn)看待問題,通過一道題體驗(yàn)“動(dòng)點(diǎn)與直角三角形”、“動(dòng)點(diǎn)與等腰三角形”兩類題的解題方略,提升解題能力.

二、合理實(shí)施各項(xiàng)舉措,促進(jìn)學(xué)生反思

反思含有自我質(zhì)疑的成分,學(xué)生往往在內(nèi)心容易產(chǎn)生抵觸情緒,不愿意反思.所以單憑教師的的引導(dǎo)、示范,不足以形成反思的技能和反思的意識(shí),教師必須實(shí)施各項(xiàng)舉措,促進(jìn)學(xué)生反思.

(一)向?qū)W生說明反思的重要性,激發(fā)內(nèi)驅(qū)力

心理學(xué)研究表明,當(dāng)學(xué)生知道了做一件事情的必要性,知道做了有什么作用,知道了怎么做,才會(huì)樂意去做.因此,教師應(yīng)該通過講道理,列舉事例等方式,向?qū)W生說明反思的重要性,激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)機(jī),變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”,促進(jìn)反思的常態(tài)化.

(二)留出時(shí)間,讓學(xué)生反思

傳統(tǒng)的教學(xué),課堂上要么老師滿堂灌,要么布置很多題目給學(xué)生做,學(xué)生不能成為課堂的主人;課后,布置大量的解題作業(yè),基本沒有時(shí)間進(jìn)行反思.反思需要時(shí)間,因此教師要注意留出時(shí)間,比如在課堂上解題后給出時(shí)間讓學(xué)生專門進(jìn)行反思,并給時(shí)間讓學(xué)生交流反思所得,體驗(yàn)快樂.課后,布置少一些題目,留出時(shí)間讓學(xué)生解題后進(jìn)行反思.

(三)引導(dǎo)學(xué)生撰寫反思記錄

撰寫反思記錄,可以記錄學(xué)生的反思過程,反思結(jié)果,讓學(xué)生體驗(yàn)成就感,進(jìn)一步提升反思的效果,同時(shí),也是督促學(xué)生切實(shí)進(jìn)行反思的有效措施,幫助學(xué)生逐漸養(yǎng)成解題反思習(xí)慣.為了鼓勵(lì)學(xué)生撰寫反思記錄,教師應(yīng)該評(píng)選優(yōu)秀反思記錄,進(jìn)行表?yè)P(yáng)激勵(lì).

總之,教師應(yīng)該多想辦法,多利用各種機(jī)會(huì),主動(dòng)創(chuàng)造條件讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題反思,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成解題反思的習(xí)慣.讓學(xué)生在反思中感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,在反思中感悟數(shù)學(xué)能力提升的成功體驗(yàn),在數(shù)學(xué)反思中不斷獲得自身的成長(zhǎng)!