基于度量角度整體把握數(shù)的運算教學(xué)

董文彬

摘? ?要：文章嘗試跳出教材的編排順序，將小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算、度量兩大核心內(nèi)容聯(lián)系起來，在厘清認(rèn)識的前提下，基于對“單位”的認(rèn)識，系統(tǒng)論述了小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何從度量的角度整體把握數(shù)的運算教學(xué)，闡明度量的基本思想在數(shù)的運算教學(xué)中的價值體現(xiàn)，以及對實際教學(xué)的思考與啟示，以期能夠從整體上理解數(shù)學(xué)課程理念、掌握數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、認(rèn)識數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、設(shè)計教學(xué)內(nèi)容主線，最終幫助教師從整體上把握小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)。

關(guān)鍵詞：度量;數(shù)的運算;單位運作;整體把握;教學(xué)研究

中圖分類號：G623.5? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? 文章編號：1671-0568（2019）22-0014-04

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有些學(xué)習(xí)內(nèi)容因為承載著數(shù)學(xué)中永恒不變的核心本質(zhì)思想而一直備受關(guān)注，比如運算、度量等。但長期以來，不少教師因為慣性的思維認(rèn)知將這些核心內(nèi)容的教學(xué)割裂開來，認(rèn)為運算就是運算，更多的是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，度量就是度量，更多的是“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容。其實，這些看似“天各一方”的核心內(nèi)容之間是有天然聯(lián)系的，有時我們要跳出教材的編排順序，跳出教與學(xué)的方式，去思考這些核心內(nèi)容之間存在的本質(zhì)聯(lián)系，打通這些相通的必然的聯(lián)系，才能從整體上理解數(shù)學(xué)課程理念、掌握數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、認(rèn)識數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、設(shè)計教學(xué)內(nèi)容主線，最終從整體上把握小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)。

一、厘清認(rèn)識

在從度量的視角整體審視運算教學(xué)的前期，我們主要思考以下兩個問題：

1. 什么是度量？一提到“度量”，我們立刻會想到有關(guān)它的很多核心本質(zhì)與永恒不變的東西，如兩個核心要素（度量單位、單位的個數(shù)即度量值）、三條基本性質(zhì)（運動不變性、合同性、有限可加性）、度量的本質(zhì)是比，等等。度量總體上分為可直接度量和不可直接度量兩部分，可直接度量包含工具度量、公式度量和轉(zhuǎn)化度量。貨幣單位、質(zhì)量單位、時間單位、長度單位、面積單位和體積單位等這些基本的度量單位的認(rèn)識和建立可通過工具度量，角度、周長、面積和體積等這些度量值的獲取可通過公式計算來度量，這是度量教學(xué)的核心部分，多集中在“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”兩個領(lǐng)域內(nèi)（主要在前者）。有一些度量則不能通過工具或公式計算獲取，而需把不規(guī)則的物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則的物體來度量，如用“水測法”度量一個土豆的體積，在等量替換中保證兩個量的守恒，這樣的度量我們可稱之為轉(zhuǎn)化度量，因一般通過實驗進(jìn)行，暫可納入“綜合與實踐”領(lǐng)域。而有一些量是不可直接度量的，需要通過兩個可以直接度量的量的比值來間接運作刻畫，比如速度可通過路程與時間的比值來刻畫，密度可通過質(zhì)量與體積的比值來刻畫等。

2. 度量與運算教學(xué)共通的核心主線是什么？吳正憲老師說過，小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于“單位”這件事無論怎么重視都不為過。度量內(nèi)容的教學(xué)深刻體現(xiàn)了這一點，度量教學(xué)的核心是讓學(xué)生經(jīng)歷單位的產(chǎn)生和發(fā)展過程、單位的累加過程（數(shù)出度量單位的個數(shù)），建立和形成單位的觀念，積累度量的學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗。而在數(shù)與運算教學(xué)中，建立計數(shù)單位的概念，感悟數(shù)及數(shù)的運算就是單位個數(shù)的運作變換過程（累加或遞減）是教學(xué)的關(guān)鍵。由此可見，無論是度量教學(xué)還是運算教學(xué)，其核心的東西都是“單位”，其本質(zhì)都是“單位的運作和轉(zhuǎn)換”，度量中的實際量（包含生活中的量、物理量、幾何量）的單位，運算中的計數(shù)單位，“單位”成為核心詞貫穿于這兩大核心內(nèi)容教學(xué)的主線。如此，我們能否從度量的角度來幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)與運算呢？能否從度量方面幫助學(xué)生體會“單位化”的思想，進(jìn)一步理解數(shù)的運算的核心本質(zhì)呢？

二、度量的基本思想在數(shù)的運算教學(xué)中的價值體現(xiàn)

數(shù)的運算主要是指加、減、乘、除四個維度的數(shù)學(xué)運算，同時又可劃分為整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三種不同數(shù)類的運算。那么，度量的思想在數(shù)的運算中是如何體現(xiàn)的呢？

1. 從度量的角度認(rèn)識加減法。

（1）整數(shù)加減法運算。如“8+6”，如圖1所示，在這條簡單的數(shù)尺上，數(shù)與格（點）一一對應(yīng)，往右表示累加，得到“8+6”唯一結(jié)果的操作就是基于這種“一一對應(yīng)”，數(shù)出計數(shù)單位的過程，從8開始，以“1”為單位，連續(xù)累加6次，就得到14這個結(jié)果。這個運算的過程就是度量單位（計數(shù)單位）累加的過程。同樣，運算“8+6”，如圖2，10格為1檔，從8開始，以“1”為單位，先累加2次到“10”，遇“10”停頓，再累加4次，進(jìn)入下一檔，孕伏“滿十進(jìn)一”，產(chǎn)生新的度量單位（計數(shù)單位）“十”。

照此，借助于數(shù)軸并沿著數(shù)軸往右，可以1個1個地數(shù)，也可以10個10個地數(shù)，還可以100個100個地數(shù)……在這樣不斷地以計數(shù)單位累加中，就會產(chǎn)生“一”“十”“百”……更大的新的計數(shù)單位，在度量單位的不斷累加運算中，方便和滿足了數(shù)量級擴展后大數(shù)加減法的開展。

因為減法與加法是互為逆運算的關(guān)系，因此從度量的角度認(rèn)識減法就不難理解。如“239-118”，如圖3所示，在這條數(shù)線上，往左表示“遞減”，從239開始，先以“百”為單位遞減1次，再以“十”為單位遞減1次，再以“一”為單位遞減8次，即得到“239-118”的結(jié)果（度量值）121。在運算的過程中，先減幾個百，再減幾個十、幾個一，這正是一種度量思想的體現(xiàn)，從計數(shù)單位運作變換的角度幫助學(xué)生直觀理解數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，進(jìn)而理解運算的意義。

（2）小數(shù)加減法運算。由于小數(shù)和整數(shù)運算的核心本質(zhì)是天然相通的，都是十進(jìn)位值制，因此，從度量的角度理解小數(shù)加減法運算順理成章。

從圖4不難看出，無論是元角分單位、方格紙直觀模型，還是豎式的不同運算表征方式，其運算的本質(zhì)都是相同計數(shù)單位（度量單位）的累加或遞減（數(shù)出度量單位的個數(shù)）的運作過程，只不過從整數(shù)到小數(shù)，度量單位、數(shù)量級向微觀擴充。這也說明，從度量的角度去認(rèn)識和理解加減法，小數(shù)加減法與整數(shù)加減法是一脈相承的。

（3）分?jǐn)?shù)加減法運算。分?jǐn)?shù)加減法的意義同整數(shù)、小數(shù)加減法的意義是一樣的，分?jǐn)?shù)加減法、特別是同分母分?jǐn)?shù)加減法的運算也是相同度量單位（分?jǐn)?shù)單位）的累加或減少，即相同度量單位的運作，這里不再贅述，但異分母分?jǐn)?shù)加減法需要特殊說明。

異分母分?jǐn)?shù)加減法是小學(xué)數(shù)學(xué)中加減法運算的高級階段，它與整數(shù)、小數(shù)加減法運算有異也有同?！巴斌w現(xiàn)在：只有度量單位（計數(shù)單位或分?jǐn)?shù)單位）相同后，度量單位的個數(shù)才能運作（累加或減少）;“異”體現(xiàn)在：整數(shù)、小數(shù)因十進(jìn)位值制都有明確的度量單位，而對于兩個異分母分?jǐn)?shù)來說，它們的度量單位取決于它們各自的分母，它們在進(jìn)行加減法運算時首先需要一個對二者來說都能獲取度量值的一個新的度量單位，即新的分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生。因此，通分的目的也就非常明確了，實際上就是在尋找一個新的分?jǐn)?shù)單位，這個新的單位就像一把通用的“尺子”，以此為“標(biāo)準(zhǔn)”來度量兩個異分母分?jǐn)?shù)，把度量的結(jié)果進(jìn)行運作（累加或減少），就是兩個異分母分?jǐn)?shù)的和或差。

2. 從度量的角度認(rèn)識乘除法。

（1）整數(shù)乘除法。如圖5，這是乘法中“幾個幾”意義的運算內(nèi)容。結(jié)合數(shù)尺模型與算式表征，解決“小青蛙一共跳了多少格”就是求“4個3是多少”。其中的4表示跳了幾次，3表示每次跳幾個，可以看作是以“3”為單位，度量了4次的結(jié)果。

如圖6，這是除法中“包含除”意義的運算內(nèi)容。解決“20元可以買幾輛玩具車”就是求“20里面有幾個5”。其運算的過程，即在數(shù)線上以20作為起點，按照一定的“步伐”回到原點的過程。這個過程可看作以“5”為單位去度量數(shù)20，正好度量數(shù)了4次。說到底，其本質(zhì)還是對度量單位的運作，即對計數(shù)單位的處理。

（2）小數(shù)乘除法。小數(shù)乘法運算包括小數(shù)乘整數(shù)和小數(shù)乘小數(shù)。例如，運算“0.2×4”，以“0.2”為單位（圖7中2個小條）去度量并數(shù)出4次，0.2連續(xù)累加4次，算式表征為0.2×4=0.2+0.2+0.2+0.2，即獲得運算的結(jié)果0.8。同樣借助方格紙運算0.02×4，可以“0.02”為單位（圖8中2個小塊）去度量并數(shù)出4次，0.02連續(xù)累加4次，算式表征為0.02×4=0.02+0.02+0.02+0.02，即獲得運算的結(jié)果0.08。

由此可見，小數(shù)乘整數(shù)的運算其本質(zhì)還是小數(shù)計數(shù)單位的累加，即度量單位的運作。而小數(shù)乘小數(shù)的運算遇到了與前述異分母分?jǐn)?shù)加減法類似的問題，即尋找新的度量標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)生新的計數(shù)單位。如運算“0.3×0.2”，顯然用0.1作單位去度量已行不通，這就需要尋找一個新的度量單位，而這個單位是相對隱性化的，可借助于操作方格紙直觀模型來實現(xiàn)。如圖9所示，在方格紙上分一分，畫一畫，先表示出0.3，即把“1”平均分成10份，取其中3份，0.2×0.3就是0.3的2/10，即把0.3再平均分成10份，取其中的2份。這時，新的計數(shù)單位0.01就產(chǎn)生了，用這個新的計數(shù)單位0.01作為標(biāo)準(zhǔn)去度量運算的結(jié)果，需要數(shù)6次，算式表征為0.01×6=0.06。由此可見，從度量的角度看，小數(shù)乘小數(shù)的運算核心，即新的更小的度量單位的產(chǎn)生、數(shù)度量單位的個數(shù)。說到底，度量單位的轉(zhuǎn)換與運作依然是小數(shù)乘小數(shù)運算的本質(zhì)。

如何從度量的角度理解小數(shù)除法的運算呢？如“買3袋牛奶花了10.2元，每袋牛奶多少元？”如圖10，借助人民幣實物模型先表示出10.2，然后動手分，邊分邊用式子記錄分的過程。在分的過程中會遇到問題：先分完9個1元，剩下1個1元和2角沒法直接平均分成3份怎么辦？所以把“元”轉(zhuǎn)化成“角”之后再分（1元=10角，10角+2角=12角，12÷3=4角），最后獲得運算結(jié)果（3元+4角=3.4元）。同樣，如圖11，借助方格紙模型表示出10.2，先分完9個1（9÷3=3），剩下1個1和2個0.1沒法直接平均分成3份，所以把“1”轉(zhuǎn)化成“0.1”之后再分（1=10個0.1，10個0.1+2個0.1=12個0.1，“12個0.1”÷3=4個0.1），最后獲得運算結(jié)果（3+4個0.1=3.4）。

通過以上兩個過程，從實物模型走向直觀模型，從“計量”走向“計數(shù)”，體會小數(shù)除法與整數(shù)除法在算理方面的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，即都是轉(zhuǎn)化平均分計數(shù)單位的過程，當(dāng)高一級的單位不夠分時，需轉(zhuǎn)化為低一級的計數(shù)單位繼續(xù)分，最終獲得運算結(jié)果。不難看出，小數(shù)除法的本質(zhì)從度量的角度看，是計數(shù)單位的“逐級細(xì)分”過程，即新的更小的度量單位的產(chǎn)生，數(shù)度量單位的個數(shù)，即平均分的份數(shù)——除數(shù)。

（3）分?jǐn)?shù)乘除法。分?jǐn)?shù)乘法包括分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的運算與小數(shù)乘小數(shù)的運算意義相同，本質(zhì)相通，只不過這里的度量單位由計數(shù)單位變成了分?jǐn)?shù)單位。同樣，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的運算核心也是尋找新的度量單位（新的分?jǐn)?shù)單位）的產(chǎn)生，這里均不再贅述。

三、從度量的角度整體把握數(shù)的運算教學(xué)的意義

1. 從度量到運算，對數(shù)學(xué)核心思想承襲的深度重視。從度量到運算，“單位”與“單位的個數(shù)即度量值”是貫穿兩大內(nèi)容共通的核心要素和教學(xué)主線?？梢哉f，雖然領(lǐng)域不同，但運算教學(xué)是對度量教學(xué)中“度量思想”的深度承襲。從度量的角度認(rèn)識數(shù)與運算，不僅是對數(shù)與運算意義本質(zhì)的深度認(rèn)知與理解，更是對度量思想的深度再認(rèn)識。從度量的角度認(rèn)識數(shù)與運算，就要緊緊抓住“單位”這個核心知識，形成“牽一發(fā)而動全身”的效果，才能從整體上把握數(shù)學(xué)學(xué)科中最本質(zhì)的知識和問題，把握小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容的教學(xué)。

2. 從抽象到直觀，對幾何直觀模型選用的不可或缺。在數(shù)與運算教學(xué)中，建立計數(shù)單位的概念，感悟數(shù)及數(shù)的運算就是單位個數(shù)的運作變換過程（累加或遞減）是教學(xué)的關(guān)鍵。而“計數(shù)單位”的數(shù)學(xué)概念是抽象的，“單位個數(shù)的運作”的數(shù)學(xué)過程更是抽象的，我們需要幫助學(xué)生找到適合的理解方式，變抽象為直觀。因此，從度量的角度整體把握數(shù)與運算的教學(xué)，自始至終離不開幾何直觀模型的支撐。小棒、計數(shù)器、小方塊、數(shù)線（數(shù)尺、數(shù)軸）、方格紙、點子圖等都是小學(xué)階段重要的幾何直觀模型，它們能將抽象的數(shù)與運算變得簡明、直觀、可操作，但在實際教學(xué)中需適時、適當(dāng)選用。

3. 從計量走向計數(shù)，對數(shù)與運算意義的本質(zhì)回歸。從度量的角度認(rèn)識數(shù)與運算是深度學(xué)習(xí)的一種價值體現(xiàn)，其本質(zhì)既是對計數(shù)單位、數(shù)位、十進(jìn)位值制、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等核心概念的認(rèn)識，又是對加、減、乘、除四則運算意義的豐富認(rèn)識與理解，而計數(shù)單位（分?jǐn)?shù)中有分?jǐn)?shù)單位）、十進(jìn)位值制等核心概念恰恰是理解數(shù)與運算意義及算理最核心的內(nèi)容，而從度量的角度去認(rèn)識數(shù)與運算正是對數(shù)與運算意義的本質(zhì)回歸。在實際教學(xué)中，因數(shù)與運算的概念的高度抽象性，所以除了幾何直觀模型的必要支撐外，還應(yīng)幫助學(xué)生在解決簡單的實際問題中從計量走向計數(shù)，讓他們更深層次地從度量的角度認(rèn)識和理解數(shù)與運算的學(xué)習(xí)。