圓錐曲線切線的一個(gè)定點(diǎn)伴隨定直線的性質(zhì)

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601) 偰永鋒

圓錐曲線作為高中數(shù)學(xué)里非常重要的一個(gè)內(nèi)容，有很多優(yōu)美的性質(zhì).很多圓錐曲線試題，往往背后都蘊(yùn)含著圓錐曲線一般性質(zhì).高考也往往從這些性質(zhì)出發(fā)設(shè)計(jì)出優(yōu)質(zhì)的試題，這就要求我們不僅要教會(huì)學(xué)生解題，還要加強(qiáng)對(duì)問題背后原理的探究.

筆者在高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)圓錐曲線時(shí)，遇到一個(gè)蘊(yùn)含了美妙的圓錐曲線切線性質(zhì)的題目.

圖1

題目如圖1，已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過l上一點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，若|PA|=3,

|PB|=4,則|PF|=.

記A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=2pt，y1y2=-2pn.又切線PA：y1y=p(x1+x)，PB：y2y=p(x2+x).

通過上述解題過程顯然可以得到拋物線的切線有如下的性質(zhì)：

性質(zhì)1 過拋物線y2=2px的準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)P作拋物線的切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，則切點(diǎn)弦AB恒過焦點(diǎn)F，且有PA⊥PB，PF⊥AB.

上述結(jié)論的逆命題也成立.

性質(zhì)2 過拋物線y2=2px的任意一條焦點(diǎn)弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別作拋物線的切線PA、PB，則兩條切線的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線上，且有PA⊥PB，PF⊥AB.

這兩條性質(zhì)可以作出進(jìn)一步推廣.通過探究發(fā)現(xiàn):改變弦AB所過定點(diǎn)M的位置，兩條切線PA與PB不一定垂直，但它們的交點(diǎn)P還在定直線上.PM與AB也不一定垂直，但當(dāng)AB斜率存在時(shí)，kPM·kAB為定值.

證明過程與上述問題解決過程類似，此處從略.

這個(gè)性質(zhì)在橢圓和雙曲線中還成立嗎？經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)仍然成立.于是，在橢圓中有

類似地，在雙曲線中有

橢圓和雙曲線中的性質(zhì)及推廣證明過程類似，下面證明推廣3，其余從略.