放縮法求函數(shù)的零點(diǎn) *

福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 黃永生 紀(jì)建靈 楊 丹

縱觀2015年至2018年全國(guó)Ⅰ卷解答題導(dǎo)數(shù)部分試題，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題一直倍受命題人青睞.為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡\(yùn)用零點(diǎn)存在性定理，標(biāo)準(zhǔn)答案經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)匪夷所思的取點(diǎn).本文嘗試從放縮法的尺度和方法入手，呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)答案中未呈現(xiàn)的取點(diǎn)過(guò)程，并形成可操作的有效方法，希望對(duì)讀者有所幫助.限于篇幅，本文僅關(guān)注試題的取點(diǎn)部分.

1.放縮法

要尋找f(x)<0的一個(gè)解，需將f(x)放大到g(x)，只要能找到g(x)<0的一個(gè)解即可；同理，要尋找f(x)>0的一個(gè)解，只需將f(x)縮小到g(x)，找到g(x)>0的一個(gè)解即可.

2.放縮原理

(1)存在x0∈R+,使得當(dāng)x>x0，有l(wèi)nx0);

(2)存在x0∈R+,使得當(dāng)0-xα(α<0);

(3)存在x0∈R-,使得當(dāng)x

注：上式中的α均可根據(jù)需要取值.

3.放縮法的尺度問(wèn)題

例1若函數(shù)f(x)=lnx-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：依題意，易知f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減.即fmax(x)=f(1)=-1-a.

若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)下列三個(gè)條件同時(shí)成立:

①f(1)=-1-a>0.②?x1∈(0,1),使得f(x1)<0.③?x2∈(1,+∞),使得f(x2)<0.

這里僅以條件③為例討論放縮法的尺度問(wèn)題.

放縮一：由于x∈(1,+∞)時(shí)，根據(jù)放縮原理(1)得lnx<2x.所以f(x)=lnx-x-a<2x-x-a=x-a.令g(x)=x-a<0，得x

兩種放縮都是將lnx進(jìn)行放大，但是得到的結(jié)論相去甚遠(yuǎn)，原因在哪？仔細(xì)分析，當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f(x)<0，g(x)>0，h(x)<0.放縮一得到函數(shù)g(x)改變了原有函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì)！據(jù)此，可以得到以下關(guān)于放縮法尺度問(wèn)題的一個(gè)結(jié)論：不論是將函數(shù)f(x)放大(縮小)，應(yīng)當(dāng)保證放大(縮小)得到的函數(shù)g(x)在自變量x趨向于定義域某端點(diǎn)時(shí)，具有與函數(shù)f(x)相同的變化趨勢(shì).所以，在將函數(shù)f(x)放縮之前，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用極限，判斷函數(shù)f(x)中各項(xiàng)的正負(fù)，并把握好函數(shù)f(x)的整體變化趨勢(shì).同時(shí)也可以明確要取的點(diǎn)的區(qū)間的大致范圍.基于此，例1條件③還可以有其它取點(diǎn)方法，例如：

4.放縮法的幾種技巧

(1)利用代數(shù)式的正負(fù)性，舍項(xiàng)放縮

例2 當(dāng)a>0時(shí)，請(qǐng)取一個(gè)數(shù)x∈(0,+∞)，使f(x)=ex+x2-ax>0.

分析：當(dāng)x→+∞,ex>0,x2>0，要將函數(shù)f(x)縮小，可將正數(shù)項(xiàng)舍去.

解：當(dāng)x→+∞,ex>0,x2>0，所以f(x)=ex+x2-ax>x2-ax，令x2-ax≥0，得x≥a.取x0=a，則f(x0)=f(a)=ea+a2-a2=ea>0.

評(píng)析：本例中ex>0,x2>0，要取一個(gè)數(shù)使f(x)>0，舍去ex,x2中哪一項(xiàng)都可以，只是保留x2得到的不等式更容易解.但是不能將ex,x2同時(shí)舍去，否則得到-ax就是一個(gè)負(fù)數(shù)，本質(zhì)上改變了函數(shù)f(x)在x→+∞時(shí)的變化趨勢(shì).

(2)利用放縮原理，調(diào)整放縮

例3 已知a<-1，取一個(gè)數(shù)x∈(1,+∞)，使得f(x)=alnx+x-a2>0.

分析：當(dāng)x→+∞,x>0,alnx<0，要將函數(shù)f(x)縮小，不能簡(jiǎn)單將alnx舍去.由于x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，可將alnx縮小.

評(píng)析：本例中為了將參數(shù)a消去，可取x0=ea，但此時(shí)x0=ea?(1,+∞).當(dāng)函數(shù)f(x)均存在正負(fù)項(xiàng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)在保證函數(shù)f(x)整體變化趨勢(shì)不變的前提下，根據(jù)放縮原理進(jìn)行局部的調(diào)整放縮.

(3)利用局部限制，放縮無(wú)窮小量

5.高考試題應(yīng)用舉例

例5(2016全國(guó)Ⅰ卷理21)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，試說(shuō)明已知a>0，fmin(x)=f(1)<0時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

分析：當(dāng)x→-∞，(x-2)ex為反向無(wú)窮小量，考慮局部限制放縮；當(dāng)x→+∞時(shí)，(x-2)ex>0，

a(x-1)2>0，考慮舍項(xiàng)放縮.

解：易知a>0時(shí)，f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減，在(1,+∞)單調(diào)遞增.

令(x-2)ex≥0，解得x≥2.取x0=2，則f(2)=a>0.

分析：當(dāng)x→+∞時(shí)，ae2x>0，(a-2)ex<0，-x<0，考慮根據(jù)放縮原理調(diào)整放縮；當(dāng)x→-∞，(a-2)ex為反向無(wú)窮小量，考慮局部限制放縮，ae2x>0，考慮舍項(xiàng)放縮.

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，0(a-2)ex-x=(a-2)-x.