泰勒公式在一類導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

福建省泉州第五中學(xué) (362000) 王文佳 楊蒼洲

導(dǎo)數(shù)問題中參數(shù)范圍的確定、分類討論時(shí)界點(diǎn)的尋找，及如何恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)是導(dǎo)數(shù)部分的難點(diǎn)，也是高考及各級(jí)模擬考?？嫉碾y點(diǎn)和熱點(diǎn).其中，大多數(shù)時(shí)候我們對(duì)自己所構(gòu)造的函數(shù)有一種“不信任”，即不確定其是否會(huì)達(dá)到我們所預(yù)想的效果.究其原因是忽略了一元函數(shù)泰勒展式在解決含參數(shù)問題中的重要作用.本文以高頻出現(xiàn)的指數(shù)函數(shù)f(x)=ex為例，說明在一類問題中如何應(yīng)用泰勒公式快速的確定參數(shù)范圍，同時(shí)闡明此類問題中構(gòu)造函數(shù)的隱含理論支撐之所在.

1.函數(shù)f(x)=ex在x0處的泰勒公式

2.用泰勒展開式預(yù)測(cè)參數(shù)的取值范圍

例1 (2010新課標(biāo)全國(guó)理科21)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

評(píng)注：(ⅰ)關(guān)于構(gòu)造函數(shù)g(x)，由于原題目中最高次項(xiàng)為x2，所以只取函數(shù)y=ex的泰勒展式前三項(xiàng)，即到二次項(xiàng)；

(ⅱ)關(guān)于函數(shù)g(x)的值域，由其泰勒展式可知g(x)一定非負(fù)，所以可大膽證明g(x)≥0；

(ⅲ)關(guān)于參數(shù)在另一半取值不合題意的討論，主要就是尋找導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的問題，然后利用函數(shù)單調(diào)性說明此種情況不合題意.

例2 (北京四中2018-2019學(xué)年高三上學(xué)期理科期中考試)已知函數(shù)f(x)=e3x-1-3x-ax2，a∈R.

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0；

(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)記g(x)=f′(x)=3e3x-3-2ax，則g′(x)=9e3x-2a.

例3 (安徽屯溪一中高二理科期考)已知函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求證f(x)≥0；

(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí)，若不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)若x>0，證明(ex-1)ln(x+1)>x2.

解析：(Ⅰ)略；(Ⅱ)與前面例1幾乎完全一致，過程略；

綜合以上問題我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：

(ⅱ)泰勒公式為我們提供了用多項(xiàng)式替換超越式的思想及具體方法.

3.結(jié)束語

泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)處的信息描述其附近取值的情況的公式，其實(shí)是用可導(dǎo)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建多項(xiàng)式來近似函數(shù)在某點(diǎn)鄰域中的值，高中階段常用的即為本文開篇提到的函數(shù)f(x)=ex在x0處的泰勒公式或它們的變式，在構(gòu)造函數(shù)的過程中老師們也往往較為生硬的告訴學(xué)生只有這樣構(gòu)造才能做出來，導(dǎo)致一種學(xué)生只知其然，不知其所以然的局面.泰勒公式給我們的啟發(fā)之一是函數(shù)的構(gòu)造變得不再生硬，有血有肉；啟發(fā)之二是可以作為討論參數(shù)分界點(diǎn)的一個(gè)指導(dǎo).