一道競(jìng)賽填空題的一題多解與拓展

新疆實(shí)驗(yàn)中學(xué) (830049) 晏 鴻

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容多，學(xué)生天天在做題，老師天天在講題，好像數(shù)學(xué)題永遠(yuǎn)做不完，那么有沒(méi)有一種行之有效的學(xué)習(xí)方法？如果現(xiàn)在還沒(méi)有，不妨嘗試一下一題多解.可能有人會(huì)認(rèn)為，追求一題多解，會(huì)加重負(fù)擔(dān).本人認(rèn)為不盡然，因?yàn)橐活}多解是用多種方法解決同一道問(wèn)題，在解決問(wèn)題的同時(shí)復(fù)習(xí)鞏固多項(xiàng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，熟練多項(xiàng)解題技能，積累各種解題經(jīng)驗(yàn).實(shí)際上就是跳出題海，通過(guò)有限的訓(xùn)練達(dá)到掌握多種方法的目的.本文以一道新疆初賽填空題為例說(shuō)明.

思路2：在考慮選用代數(shù)方法解決問(wèn)題時(shí)，三角代換也是常用的方法，直接代換不行，但觀察不等式發(fā)現(xiàn)分母有x,a-x，就可以考慮給它倒過(guò)來(lái)相加，再除以a就可以得到常數(shù)1，順利引進(jìn)正余弦平方和公式，把整個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角方面的運(yùn)算，這種想法的關(guān)鍵在于要有轉(zhuǎn)化思想.

圖1

思路4：前面的幾種想法本質(zhì)都是在轉(zhuǎn)化，那能不能直接用不等式解決這個(gè)問(wèn)題?由于是競(jìng)賽題，可以考慮選用常規(guī)的結(jié)論“平方平均值大于等于調(diào)和平均值”來(lái)入手.

評(píng)注:以上四種解法，基本上選用的是解決高考題的常規(guī)方法，在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，熟練技巧，理解方法的本質(zhì)、功能，增強(qiáng)解題思維能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)實(shí)效性.

思路5：一般情況下，競(jìng)賽題用解決高考題的常規(guī)方法去做會(huì)比較麻煩，但如果選用解決競(jìng)賽題的非常規(guī)思路去想，用均值不等式，柯西不等式以及柯西不等式的變形來(lái)做，就方便多了.

思路6：把解法5的不等式(*)進(jìn)行變形，把分子處理掉，變成更簡(jiǎn)潔的形式，與題目條件直接對(duì)接，立馬解決問(wèn)題.只要繼續(xù)往下做，就可以發(fā)現(xiàn)這種想法是可行的.

評(píng)注:后兩種解法，選用的是非常規(guī)方法，優(yōu)點(diǎn)是解題速度快，缺點(diǎn)是需要記住的中間結(jié)論多，很難想到,因此在平常的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)哪一種方法的重要性，而是要理解題意，分析條件，因題施策，出奇制勝，提高練習(xí)的實(shí)戰(zhàn)性.六種解法各有特點(diǎn)，都值得仔細(xì)研究.

此題可作如下推廣：

推廣1 若0

總之，本題在具體的課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生們反應(yīng)熱烈，課堂氣氛活躍，大多數(shù)同學(xué)都能提出自己的想法，因此老師有意識(shí)，有目的的進(jìn)行了引導(dǎo)，誘發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力，激發(fā)他們的探索求知欲望，使他們精神飽滿(mǎn)，心情舒暢地漸入“解題境界”.仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智.一題多解主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度、不同側(cè)面去思考問(wèn)題,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),拓展解題空間，是讓學(xué)生跳出題海的一件法寶.