巧用“組合坐標系”妙解復合函數(shù)的零點個數(shù)問題

浙江省寧波市第四中學 (315016) 蔣亞軍

隨著浙江省新課程改革的推進，從原來的文理分科到現(xiàn)在的7選3選課走班，隨之而來的每年學(選)考對數(shù)學高考復習的連貫性產(chǎn)生了不小的沖擊，使得數(shù)學知識的微專題教學備受關注，微專題以切口小、內(nèi)容精為兩大優(yōu)勢，能夠達到針對不同層次學生的精準教學.為此，浙江省寧波市的教研室開展了微專題教學設計比賽，筆者作為參賽選手，現(xiàn)將微專題教學設計整理成文，請同行批評指正！

1.內(nèi)容分析

復合函數(shù)的零點問題是高中數(shù)學教學的一個難點，也是高考、模擬考的一個熱點,通常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，不僅涉及到函數(shù)的各種性質(zhì),還蘊含著豐富的數(shù)學思想與方法，如函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸思想,同時還具有“內(nèi)”“外”兩層函數(shù)的特殊性,從而增添了解題所需的思維難度.如：

高考試題(2014年浙江省高考理科第14題)

學考試題(2011年11月學考第18題)

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，記集合A={x∈R|f(x)≤0},B={x∈R|f(f(x)+1)≤0}，若A=B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

A.[-4,4]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,4]

對于這類問題,學生普遍感覺難以把握,本設計試圖從復合函數(shù)的典型題例著手,歸納出一種通性通法——利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決復合函數(shù)的零點個數(shù)問題.

就上述兩個問題而言，學生已掌握函數(shù)與方程的關系、函數(shù)的零點、復合函數(shù)及分段函數(shù)等知識，能利用圖形解決一些簡單的零點問題；并對函數(shù)與方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化化歸等重要的數(shù)學思想的運用已有了初步體驗，但學生對復合函數(shù)理解不夠深入，特別是帶參數(shù)的零點個數(shù)問題缺乏一定的研究方法和信心.

2.教學策略及目標

本節(jié)課的學習是溫故知新，先從學生熟悉的復合函數(shù)零點個數(shù)出發(fā)，從代數(shù)的分類討論思想和幾何的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想加以解決，再提出建立一個“組合坐標系”的思想，優(yōu)化學生處理復合函數(shù)零點問題的方法，最后通過含參復合函數(shù)零點個數(shù)問題，使學生感受到建“組合坐標系”帶來的優(yōu)勢.由于本節(jié)課始終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，因此利用幾何畫板的動態(tài)演示，讓學生更加直觀的感受，并希望達到如下的目標：

(1)能利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決復合函數(shù)零點的問題；

(2)理解和掌握一種“組合坐標系”的建系方法，并能利用這一方法解決復合函數(shù)零點的問題，以及含參復合函數(shù)的零點個數(shù)討論問題；

(3)體驗函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸等重要的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

3.教學過程

3.1 判斷復合函數(shù)零點的個數(shù)

解法優(yōu)化：對于復合函數(shù)y=g(f(x))，設t=f(x)，則y=g(t)，先建立橫軸x正方向向右、縱軸t正方向向上的坐標系xot，作函數(shù)t=f(x)的圖像.然后在該坐標系左邊建立t軸正方向向上、y軸正方向向左坐標系toy，并使y軸和x軸在同一條直線上，兩個t軸單位一致.用這種方法建立的坐標系稱為“組合坐標系”，利用“組合坐標系”解決這類問題，比通常建兩個橫軸正方向都向右，縱軸正方向都向上的坐標系，更容易理解掌握.

圖2

設計意圖:考慮到y(tǒng)=f(x)為分段函數(shù)，故可利用分類討論的方法得到y(tǒng)=f(f(x))+1的表達式，結(jié)合函數(shù)與方程的關系，求得對應的零點，從而得到解法一.解法二則是通過換元和數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，讓學生直觀感受.解法三是解法二的優(yōu)化，將兩個坐標系中的圖形直接畫在一個“組合坐標系”中，再將交點做x軸的平行線，看其與右邊圖形象的交點，這些交點的個數(shù)就是該復合函數(shù)零點的個數(shù).

3.2 討論含參復合函數(shù)零點的個數(shù)

例2 (2006年湖北高考題)關于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0，給出下列四個命題：

(1)存在實數(shù)k，使得方程恰好有2個不同的實根；

(2)存在實數(shù)k，使得方程恰好有4個不同的實根；

(3)存在實數(shù)k，使得方程恰好有5個不同的實根；

(4)存在實數(shù)k，使得方程恰好有8個不同的實根；

求其中假命題的個數(shù).

圖3

3.3 與導數(shù)結(jié)合判斷函數(shù)零點的個數(shù)

例3 (2013年安徽高考題)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2，且f(x1)=x1，求關于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0不同實數(shù)根的個數(shù).

解：令t=f(x)=x3+ax2+bx+c，則原方程轉(zhuǎn)化為3t2+2at+b=0，構(gòu)造函數(shù)y=3t2+2at+b=f′(t)，作出圖像(圖4).因x1,x2是函數(shù)f(x)的極值點，且f(x1)=x1，當x1是函數(shù)f(x)的極大值時，過函數(shù)y=3t2+2at+b與橫軸t的垂線與t=f(x)的圖像共有3個交點，即方程有3個實數(shù)根；同理當x1是函數(shù)f(x)的極小值時，此時x1<0方程同樣有3個實數(shù)根.綜上所述，方程不同的實數(shù)根有3個.

圖4

3.4 反饋練習

1.(2016湖南衡陽一模)函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1]圖像如圖5所示，函數(shù)g(x)的定義域為

[-2,2]，圖像如圖5所示，方程f(g(x))=0有m個實數(shù)根，方程g(f(x))=0有n個實數(shù)根，則m+n=( ).

A.14B.12C.10D.8

圖5

3.(2017沈陽一模，2018鎮(zhèn)海中學?？?，2018廣東珠海六校聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=

A.4B.5C.6D.7

4.(2018年金華十校聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=2|x-2|+1，對任意實數(shù)a,b,c關于方程a[f(x)]2+bf(x)+c=0的解集不可能是( ).

A.{1,3}B.{1,2,3}

C.{0,2,4}D{1,2,3,4}

5.已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|，若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰好有七個不相同的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是( ).

A.(-2,0)B.(-2,-1)

C.(0,1)D.(0,2)

A.(2,8]B.(2,9]C.(8,9]D.(8,9)

A.當k>0時，有4個零點；當k<0時，有1個零點;

B.無論k為何值，均有2個零點;

C.當k>0時，有3個零點；當k<0時，有2個零點;

D.無論k為何值，均有4個零點.

設計意圖:反饋練習中設計了三類常見考點，如不含參的零點個數(shù)問題有1、2、3；含參二次函數(shù)復合型零點個數(shù)問題有4、5；已知零點個數(shù)討論參數(shù)范圍問題有6、7、8.

4.教學反思

上述問題的解答，告知我們，求函數(shù)零點的值，判斷函數(shù)零點的范圍或零點的個數(shù)以及已知函數(shù)零點求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當方程不易甚至不可能解出時，往往通過對圖形的分析構(gòu)造兩個函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解.在這里也要提醒同學們，不能單純依靠圖形得到答案，由于作圖的局限性，答案出錯且難以發(fā)現(xiàn)，如y=x2與y=2x的交點個數(shù)是2個還是3個問題(正確的是3個)，再如2014年高考數(shù)學天津卷理科第14題：

已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為.(答案：09).所以，在解這類問題時，一要做到作圖相對要準確；二要做到解方程或不等式的等價性，以及數(shù)形相結(jié)合的方法來處理這類問題.