關(guān)于二次曲線三點(diǎn)共線的統(tǒng)一證明及思考 *

安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (725000) 趙臨龍 延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 (716000) 王 茜 劉彥靈

文[1]借助《幾何畫板》，分別對(duì)拋物線、橢圓、雙曲線給出相關(guān)結(jié)論，現(xiàn)將這些結(jié)論統(tǒng)一為命題1.

命題1 設(shè)圓錐曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)為F，相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F的直線交圓錐曲線E于A，B兩點(diǎn)，C是圓錐曲線E上的任一點(diǎn)，直線CA，CB分別與準(zhǔn)線l交于M，N兩點(diǎn)，則以線段MN為直徑的圓必過焦點(diǎn)F．

文[2]在文[1]基礎(chǔ)上，也通過《幾何畫板》，分別對(duì)拋物線、橢圓、雙曲線給出相關(guān)結(jié)論.

命題2 設(shè)拋物線E:x2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線E上的任一點(diǎn)，直線CA，CB分別與準(zhǔn)線l交于M，N兩點(diǎn)，若FC交拋物線與于D，則D、A、N三點(diǎn)共線，D、B、M三點(diǎn)共線．

我們完全可將命題2-4，統(tǒng)一為命題5，并統(tǒng)一給出證明.

命題5 設(shè)二次曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)為F，相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F的直線交二次曲線E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是二次曲線E上的任一點(diǎn)，直線CA，CB分別與準(zhǔn)線l交于M，N兩點(diǎn)，若FC交二次曲線與于D，則D、A、N三點(diǎn)共線，D、B、M三點(diǎn)共線．

1.知識(shí)準(zhǔn)備

引理[4]如圖1,完全四邊形ABCD的兩對(duì)角線AB、CD分別交對(duì)角線MN于E、G，則四點(diǎn)A、B、F、E，四點(diǎn)D、C、F、G，四點(diǎn)N、M、G、E均調(diào)和分割.

圖1 圖2

定義2[5]過點(diǎn)P(x0，y0)引二次曲線Γ：ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0的直線PAB交Γ于A、B兩點(diǎn)，若該直線上的4點(diǎn)A、B、P、Q滿足調(diào)和分割，則點(diǎn)Q(x，y)軌跡為點(diǎn)P關(guān)于Γ的極線l：ax0x+b(y0x+x0y)+cy0y+d(x0+x)+e(y0+y)+f=0，點(diǎn)P稱為Γ的極點(diǎn).

極線作圖已知二次曲線Γ內(nèi)一點(diǎn)F，作出Γ的極線l.

作法:如圖2.過點(diǎn)F作Γ的兩直線FAB、FCD，連接直線AC與BD交于點(diǎn)M，連接直線AD與CB交于點(diǎn)N，連接MN即得極點(diǎn)F的極線l.

證明：如圖2，設(shè)完全四邊形ABCD的對(duì)角線AB、CD分別交MN于E、G，則四點(diǎn)A、B、F、E和四點(diǎn)D、C、F、G調(diào)和分割，即直線EG(MN)為點(diǎn)F關(guān)于二次曲線的極線.

2.命題證明

圖3

e|x-xQ|?(x-c)2+y2=e2(x-xQ)2,即(1-e2)x2+y2-2(c-e2xQ)x+c2-e2x2=0.

在圖2中，不妨設(shè)直線CA和CB交于點(diǎn)M1，根據(jù)極線作圖方法，知道M1必在極線(準(zhǔn)線l)上，而直線AC與準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為M，即直線CA和CB交于極線l于點(diǎn)M，于是三點(diǎn)D、B、M共線，同理三點(diǎn)D、A、N共線．

3.解題反思

我們看到，射影幾何在揭示幾何內(nèi)部結(jié)構(gòu)方面，有著特殊的作用.但在實(shí)際中，射影幾何并沒有引起人們的高度重視.2011年11月17-18日，應(yīng)邀參加華中師范大學(xué)出版社召開的“高等院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革與教材建設(shè)研討會(huì)”，會(huì)議討論決定出版具有師范特色的相關(guān)課程教材，筆者提出可將反映師范特色的重要課程《高等幾何》列為出版計(jì)劃，得到與會(huì)教師的贊成.后在《高等幾何》教材編寫討論會(huì)上，相關(guān)參加編寫學(xué)校介紹《高等幾何》課程開設(shè)情況，包括華中師范大學(xué)、湖北第二師范學(xué)院、湖北工程學(xué)院、黃岡師范學(xué)院等在內(nèi)的學(xué)校都是將《高等幾何》作為選修課，唯獨(dú)安康學(xué)院將《高等幾何》作為師范專業(yè)的特色課程，這無不反映《高等幾何》在師范院校的地位，使許多師范生沒有學(xué)習(xí)高等幾何，或?qū)W習(xí)高等幾何下的功夫不夠，使高等幾何沒有成為研究初等幾何的重要工具.為此，筆者建議：

(1)師范院校盡可能將《高等幾何》作為必修課.正是《高等幾何》課程在師范院校的不良地位，致使很多學(xué)生未能很好學(xué)習(xí)它或根本就沒有學(xué)習(xí).為此，我們經(jīng)?？吹剑矛F(xiàn)代信息技術(shù)—幾何畫板探討幾何“新發(fā)現(xiàn)”的文章，然后利用初等的解析幾何，通過非常復(fù)雜的運(yùn)算，給出問題的結(jié)果，不僅浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，而且是在重復(fù)前人的研究“成果”.因而，我們呼吁師范院校應(yīng)該將《高等幾何》納入必修課，使師范生建立射影幾何的概念，形成“教師一桶水，學(xué)生一碗水”的幾何高觀點(diǎn)，真正利用高等幾何研究初等幾何，給出具有研究?jī)r(jià)值的成果.

(2)將高等幾何重要的理論方法向中學(xué)數(shù)學(xué)滲透.要解決初等幾何中重復(fù)研究的現(xiàn)狀，可以有意識(shí)將高等幾何中能被中學(xué)生接受的重要的理論和方法，滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中，使很多教師和學(xué)生學(xué)習(xí)和研究它，不斷提升幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)和應(yīng)用能力.其實(shí)，高等幾何問題已不斷出現(xiàn)在高考題中，如安徽省的高考題:

(Ⅰ)求橢圓C方程；

(Ⅰ)如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,4)，求此時(shí)橢圓C的方程；

(Ⅱ)證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

題1直接就是高等幾何極點(diǎn)與極線概念的反映；題2也是高等幾何極點(diǎn)與極線概念的應(yīng)用，可參見文[5-6].因此，隨著這些知識(shí)的研究和普及，高等幾何的基本知識(shí)將不斷被人們認(rèn)識(shí)和接受，逐步形成利用高等幾何觀點(diǎn)研究初等幾何的良好意識(shí)和習(xí)慣，真正給出有研究意義的“新成果”.