神奇的e

高桂英

摘 ?要：眾所周知是一個無限不循環(huán)小數(shù)，其值約等于2.718281828459……，這是一個超越數(shù)。在科學(xué)技術(shù)中用得非常多，常見的是以為底的指數(shù)函數(shù)x和以為底的對數(shù)函數(shù)。而科學(xué)技術(shù)中一般不使用以10為底數(shù)的對數(shù)，而選擇以為底數(shù)，這樣做是因?yàn)樵S多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數(shù)”。該文簡明扼要地闡述了在生活中的應(yīng)用及在自然界的體現(xiàn)，并用不等式法通俗易懂地證明了重要極限。

關(guān)鍵詞：螺線 ?自然律 ?極限

中圖分類號：B516.46 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）06（b）-0169-02

1 ?生活中有趣的

在歷史上，自然對數(shù)的底與一個商人借錢的利息有關(guān)。它描述的是單位時間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長所能達(dá)到的極限值。通俗地講，就是現(xiàn)在講的復(fù)利計(jì)息的問題。也就是將利息并進(jìn)本金再生利息。但是本金與利息和的多少取決于你選擇的計(jì)息周期而定。假設(shè)有多種計(jì)息周期可供選擇：你可以選擇一年里只計(jì)一次利息;也可以選擇每半年計(jì)一次利息，一年里計(jì)兩次;同樣也可以選擇一個月計(jì)一次利息，這樣一年可以計(jì)12次;甚至還可以選擇1d、1h、1min計(jì)一次利息。很顯然計(jì)息周期越短，一年下來本金和獲得的利息總和就越多?，F(xiàn)舉例說明：如果某人將10000元存入銀行，為了計(jì)算方便，利息按10%計(jì)算，那么一年下來，所得利息為1000元，這樣一年后本金和利息的總和為11000元。但是如果假設(shè)不管存款時間的長短，利息始終保持不變，均按10%計(jì)利息。某人將存款存入銀行半年后取出，則所得的本金和利息總和為10500，然后此人將這10500作為本金再次存入銀行半年，這樣全年下來，此人共得本金10500+10500×10%×1/2=11025，顯然比按一年取一次的方式多獲利25元?？梢娪?jì)息周期越短，本金與利息總和就會越高，因此可以設(shè)想，如果計(jì)息周期無限制地縮短，比如每分鐘計(jì)一次，甚至每秒，或者更短每一瞬間（理論上來說），會出現(xiàn)什么狀況呢？本金與利息和會無限制地加大嗎？答案是不會，而且它的數(shù)值會穩(wěn)定下來，如果將這10000元記作一個單位，本金與利息將趨近于一極限值，就是我們提到的。

如今是互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)時代，人們可以隨時隨地使用智能手機(jī)操作自己銀行卡上存取款業(yè)務(wù)。特別是年輕人，有了零用錢不會讓它白白躺在靜無聲息的銀行卡上，而是借助手機(jī)銀行讓它動起來，進(jìn)而給自己帶來利益。如果隨著時間的縮短，本金和利息總和可以無限地增大，那將會出現(xiàn)一個什么樣的景象？所有人都會是低頭族，人們只要時時刻刻地操控自己的手機(jī)，就會帶來想要的收益。而現(xiàn)實(shí)是，無論選擇怎樣的計(jì)息周期，帶來的利益是有上限的。

當(dāng)然的最初出現(xiàn)應(yīng)該是觀察出來的，而不是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明得到的。因?yàn)楫?dāng)時還沒有極限的概念。第一次提到該常數(shù)是約翰·納皮爾在1618年在公布的，直到1727年或1728年歐拉在未發(fā)表的爆炸力論文中開始使用作為常數(shù)，一直到今天。

2 ?自然界的美也與息息相關(guān)

如果你是一個熱愛生活的人，你就會發(fā)現(xiàn)生活中處處都有美麗的曲線。比如，平靜的湖面上輕輕蕩開的漣漪、安靜的小村莊里傍晚時分升上藍(lán)天的一縷裊裊的炊煙、夏天小雨過后數(shù)只緩緩攀援在籬笆上的蝸牛留下的足跡，這些自然界美妙的曲線都是以渦形或螺線形的形式存在的。而這些螺線都是可以用或由經(jīng)過一定的變換得到的指數(shù)形式來表達(dá)。我們把或由經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是，是“自然律”的一種量的表達(dá)。“自然律”的形象表達(dá)是螺線。比如對數(shù)螺線、阿基米德螺線等。自然界中螺線相當(dāng)普遍，就像上面提到的生活中的美景，英國著名畫家和藝術(shù)理論家荷迦茲深深感嘆：渦旋形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。而渦旋形或螺線形是無所不在，一抬頭、一伸手都能觸摸得到，比如人的內(nèi)耳結(jié)構(gòu)是蝸旋狀的，我們的指紋、發(fā)旋也是蝸旋狀的。這是看得見的，還有看不見的。蛋白質(zhì)的多鈦鏈主要是螺旋狀的，核酸結(jié)構(gòu)也是螺旋狀的。誰能說清……給數(shù)學(xué)家?guī)矶嗌俜奖愫统晒?？人們贊揚(yáng)直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優(yōu)美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。是“自然律”的精髓，在數(shù)學(xué)上它是：當(dāng)n趨近無窮時，函數(shù)的極限。

3 ?重要極限

上面提到的復(fù)利計(jì)息，實(shí)際上就是這個重要極限的結(jié)果。當(dāng)n趨于正無窮或負(fù)無窮時，函數(shù)的極限就等于。這也是高等數(shù)學(xué)中的一個重要極限，符合型的冪指函數(shù)都可以使用這個重要極限計(jì)算。

證明這個極限的方法很多，一般高等數(shù)學(xué)教材中通過二項(xiàng)式展開放大來證明數(shù)列單調(diào)上升，并估計(jì)出上界為3，盡管這種方法很直接，但是很麻煩。

數(shù)學(xué)講求規(guī)律和美學(xué)，可是圓周率和自然對數(shù)一樣基本的常量卻是混亂，就如同兩個“數(shù)學(xué)幽靈”。但通過歐拉公式二者又相遇了。對任何實(shí)數(shù)x，有，這就是歐拉公式。將代入，有 ，即，這就是著名的歐拉恒等式。理查德·費(fèi)曼稱這恒等式為“數(shù)學(xué)最奇妙的公式”。它也是數(shù)學(xué)里最令人著迷的公式之一，它將5個最基本的常數(shù)聯(lián)系到了一起——兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底，圓周率，兩個單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。因此，數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式，我們只能看它而不能理解它”。

這就是神奇的數(shù)字，既熟悉又陌生，默默地參與到生活中，又有著自己特定的數(shù)值，還參與創(chuàng)造了無數(shù)個美的境界，這也正是的魅力之所在。

參考文獻(xiàn)

[1] 工科數(shù)學(xué)（供大學(xué)生參考）專輯（上）[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報雜志社，1993：27-29.

[2] 馮春.工科數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的實(shí)踐與研究[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2005.

[3] 樊映川.高等數(shù)學(xué)講義[M].北京：人民教育出版社，1964.