淺析立體幾何的直觀性與課堂的高效性

劉仁明

[關(guān)鍵詞：立體幾何;直觀性;高效性]

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐A1-BC1D內(nèi)切球的表面積為4π，求正方體外接球的體積。

立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力的有效途徑，直觀性原則更是讓學(xué)生學(xué)習(xí)錦上添花。如何引導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)、解決、激發(fā)興趣，培養(yǎng)能力呢？需要善于捕捉信息，適時拓展，讓學(xué)生迸發(fā)出思維的火花。

一、規(guī)范的圖形使思維活躍、空間位置關(guān)系直觀清晰

正確做出直觀圖形，如圖1。

通過圖形發(fā)現(xiàn)三棱錐A1-BC1D為正四面體，它的中心就是正方體的中心且到頂點的距離就是外接球的半徑。

結(jié)論：若錐體頂點為長方體頂點則錐體外接球即為長方體外接球。

二、靈活確定底面，有利于求出有關(guān)需要的長度

由于正四面體可以用任何一個面為底面，擺正圖形，如圖2.根據(jù)直觀圖明確球心就是正四面體的中心，既是內(nèi)切球又是外切球的球心，通過構(gòu)建相關(guān)的直角三角形可解出相關(guān)線段關(guān)系。

三、加深理解，提高效率

在圖2中，設(shè)正四面體邊長為a，∴BE=[32a]，

O1為△BC1D中心，∴BO1=[33a]，

[A1O1=AB2-BO12=a2-13a2=63a]

在Rt△BO1O中，[BO2=BO12+OO12=13a2+63a-OB2]

OB=[64a]∴[A1O∶A1O1=3∶4]即[OO1∶OA1=1∶3]

通過計算，我們發(fā)現(xiàn)外接球半徑和內(nèi)切球的半徑之比為3∶1。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，享受成功的愉悅。

四、問題探究，激發(fā)興趣

創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生獨立思考的興趣，通過開放式問題設(shè)置，培養(yǎng)學(xué)生的思考的深度，通過對解題策略的探究，在反思中提升思考能力。

解決立體幾何問題一個重要思想即將立體問題平面化，類比三角形內(nèi)切圓半徑r，面積S，周長C之間的關(guān)系我們知道半徑[r=2SC]，四面體中是否也有這樣的關(guān)系呢？

正四面體的內(nèi)切球的半徑與它的體積之間有什么關(guān)系？讓學(xué)生思考觀察得到：

[V=4?13S△BC1D?r=13S△BC1D?A1O1]

∴r∶h=1∶4，則內(nèi)切球和外接球半徑為1∶3。

結(jié)論：四面體內(nèi)切球半徑r，體積V，表面積S間的關(guān)系即：[r=3VS]。

通過比較，使學(xué)生掌握結(jié)論的形成過程及不同途徑，從而激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。

五、巧用載體，理解關(guān)系

高效的課堂使知識理解掌握達到事半功倍的效果，能夠利用適當(dāng)?shù)妮d體會使學(xué)習(xí)輕松有效。讓學(xué)生做出四棱錐A1-BC1D的三視圖如圖3。

從而悟出三視圖與幾何體之間的內(nèi)在聯(lián)系：可通過恰當(dāng)?shù)妮d體轉(zhuǎn)換，讓三視圖的理解進一步提高。

課堂是一門學(xué)問，更是一種藝術(shù)，如何使學(xué)生在知識的海洋遨游，享受學(xué)習(xí)的樂趣呢？充分利用直觀形象的感知，巧設(shè)問題，讓課堂更高效。