概率的直觀性和嚴謹性

摘" 要：對概率直觀性和嚴謹性的考量體現(xiàn)在新版教材的改革中. 用質疑促進更深的嚴謹，用嚴謹促進理性的直觀，用直觀服務現(xiàn)實的生活. 數(shù)字化時代下概率統(tǒng)計的重要性不言而喻. 用辯證與質疑的眼光看待概率的直觀性和嚴謹性，既是教師專業(yè)素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是學生學習應有的態(tài)度.

關鍵詞：直觀性；嚴謹性；概率；質疑

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）04-0031-05

引用格式：楊磊. 概率的直觀性和嚴謹性：由教材上的一道概率例題談起［J］. 中國數(shù)學教育（高中版），2024（4）：31-35.

一、例題呈現(xiàn)

在蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）選擇性必修第二冊中，有這樣一道例題.

題目" 在一個人數(shù)很多的地區(qū)普查某種疾病，由以往經(jīng)驗知道，該地區(qū)居民得此病的概率為[0.1%]，現(xiàn)有1 000人去驗血，給出下面兩種化驗方法.

方法1：對1 000人逐一進行化驗.

方法2：將1 000人分為100組，每組10人. 對于每個組，先將10人的血各取出部分，并混合在一起進行一次化驗. 如果結果呈陰性，那么可斷定這10人均無此疾?。蝗绻Y果呈陽性，那么再逐一化驗.

試問：哪種方法較好？

教材通過比較兩種方法化驗次數(shù)的均值來衡量化驗方法的優(yōu)劣. 具體解答中，用如下方式得到了方法2的化驗次數(shù)均值：先求出每組化驗次數(shù)[X]的均值[EX]，再說100組化驗次數(shù)的均值為[100EX]. 由[100EX≈110]遠小于方法1的化驗次數(shù)1 000，得出方法2遠好于方法1的結論.

二、疑問探討

在分析方法2的解答的過程中，有學生提出疑問：“為什么求出每組化驗次數(shù)的均值，再乘以100就是1 000人化驗次數(shù)的均值？”

課后，筆者詢問多名教師. 有些教師覺得這是“顯然”的. 有些教師深思之后說：“感覺應該是這樣，想想似乎又不夠嚴謹，覺得還需要點理由，但暫時又想不到用什么知識來解釋較為合適.”

囿于學生階段性的認知水平和思維特點，高中階段對許多概率內(nèi)容的處理采用的是基于直觀經(jīng)驗、從特殊到一般的歸納推理方式，而不是大學階段的公理化體系，這使得有些問題的解決很難做到非常嚴謹. 這是可以理解的，也常常是不可避免的.

學生提出這個疑問，是件好事. 筆者認為有必要深究一下，但是發(fā)現(xiàn)以學生的認知水平和視角解釋這個“顯然”并非易事. 例題在教材中被安排在“離散型隨機變量的均值”內(nèi)容之后，之前學習的條件概率、全概率公式和離散型隨機變量的概率分布，都很難作為解釋這個疑點的依據(jù).

思來想去，筆者認為可以用以解釋這個疑點的知識是此后要學習的二項分布：將100組化驗看成100重伯努利試驗. 設[X]表示100組中只需要化驗1次的組數(shù)，[Y]表示100組中需要化驗11次的組數(shù)，令[p=][1-0.00110]，則[X ～ B100，p]，[Y ～ B100，1-p]. 根據(jù)二項分布的數(shù)學期望公式[EX=np]，可以得到[EX=100p]，[EY=][1001-p]，從而得到100組化驗的總次數(shù)為[1×EX+11×EY=100p+11001-p=1100-][1 000p≈110].

遺憾的是，上述解釋依賴后面的學習內(nèi)容，作為新授課的探討內(nèi)容并不適合.

當然，如果對上面用[1×EX+11×EY]表示100組的化驗總次數(shù)的嚴謹性表示質疑，也可以對上述解法作如下改進：將兩種化驗方法的優(yōu)劣標準定為“人均化驗次數(shù)的數(shù)學期望最小”，即比較兩種化驗方法中每個人的平均化驗次數(shù)，這是一個求數(shù)學期望的過程. 對于方法1，人均化驗次數(shù)為1. 對于方法2，由于每個人得病的概率是[0.1%]，所以每組混合血液化驗不出此病的概率為[1-0.00110]，化驗出此病的概率為[1-1-0.00110]. 化驗不出此病時，每個人的平均化驗次數(shù)為[110]. 化驗出此病時，需要對此組每個人再進行一次化驗，則每個人的平均化驗次數(shù)為[1110]. 由此得方法2的人均化驗次數(shù)[ξ]的分布列如表1所示.

所以，方法2的人均化驗次數(shù)的數(shù)學期望為[110×1-0.00110+11101-1-0.00110≈0.11]. 由[0.11lt;1]知，方法2的化驗方法更好.

如果使用上述改進的方法考查1 000人化驗次數(shù)的數(shù)學期望，對于檢驗方法2，每個人的化驗次數(shù)[ξ]的數(shù)學期望為[Eξ≈0.11]，則1 000人需化驗次數(shù)的數(shù)學期望即為[E1 000ξ=1 000Eξ≈110]. 再看教材例題中對檢驗方法2的分析：每組化驗次數(shù)[X]的均值[EX≈1.1]，則100組的化驗次數(shù)的均值為[E100X=100EX≈110.]

對比后發(fā)現(xiàn)這兩種方式本質上是一樣的，都是用一個隨機變量表示另一個隨機變量，然后用數(shù)學期望的簡單性質求解. 只是改進的方法換了一種衡量“方法好”的標準，避免了進一步利用性質求解（此性質在教材例題前并未給出）.

事實上，對于離散型隨機變量的數(shù)學期望，有一個基本的性質：對任意一個二維離散型隨機變量[ξ，η]，若[Eξ，Eη]存在，則對任意的實數(shù)[k1，k2]，[Ek1ξ+k2η]存在且[Ek1ξ+k2η=k1Eξ+k2Eη]. 這個性質可以推廣到[n]維隨機變量的場合. 這個結論雖然比較符合經(jīng)驗直觀，但作為性質還是需要推導的. 高中數(shù)學教科書上并沒有關于這個性質的論述，能否直接使用值得商榷.

三、直觀與嚴謹?shù)娜诤辖虒W

對比高中數(shù)學新舊版本的教科書就會發(fā)現(xiàn)，新版教科書概率部分的變化非常大：引進集合語言，用以表達概率研究的數(shù)學對象、問題和結果，在概率教學中滲透公理化思想，使得高中數(shù)學的概率內(nèi)容更具嚴謹性. 教師需要跟上這種變化，教學時多引導學生思考“為什么”，將直觀性和嚴謹性結合起來.

1. 用質疑促進更深的嚴謹

理性培養(yǎng)必然建立在嚴謹?shù)目茖W態(tài)度之上，而質疑是走向深層次嚴謹?shù)拇呋瘎?，更是?chuàng)造和創(chuàng)新的源泉.

舊版教科書更多地用自然語言引領學生理解和辨析概率問題，并試圖以此增強概率的直觀性，這種“跟著感覺走”的做法，使得對許多問題的探究和解決缺乏嚴謹性. 新版教科書則將概率扎根于集合論，用樣本空間的子集定義隨機事件，進而運用集合的思想和語言探討隨機事件之間的關系和運算，最終引出相關性質. 類似于用函數(shù)的性質解決函數(shù)問題，我們可以利用概率的性質簡化概率的求解，解決概率問題. 這樣的處理方式便是基于數(shù)學的嚴謹性.

教師帶領學生探討概率問題時，需要帶著質疑的精神和眼光看待問題，將學生的思維引向深入與縝密. 例如，對于獨立事件，教材必修第二冊有如下結論：[A，B]相互獨立[?][PAB=PAPB]. 這個結論是否可以推廣到[n][n∈N，ngt;2]個事件的情形呢？也就是說，如果事件[A1，A2，…，An]相互獨立，那么[PA1A2…An=][PA1PA2…PAn]. 這個結論從何而來呢？很多教師往往不會過多地質疑，也不會去追問原因. 這個結論從經(jīng)驗直觀上似乎很容易判定——相互獨立就是互不影響，既然[A，B，C]相互獨立，那么[A，B，C]之間就互不影響，所以[PABC=PABPC=PAPBPC.]

以上分析看似合情合理，實則需要仔細斟酌辨析：上述結論是建立在多個事件相互獨立的定義的基礎上的，沒有多個事件相互獨立的定義就不能判斷上述結論正確與否. 實際上，對于多個事件的獨立性，相互獨立與兩兩獨立并不等同：事件[A1，A2，…，An]相互獨立[?]事件[A1，A2，…，An]兩兩獨立，反之則不然. 在人教[A]版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第二冊中有相關敘述：當三個事件[A，B，C]兩兩獨立時，等式[PABC=PAPBPC]一般不成立. 并在之后的習題中給出了例證：設樣本空間[Ω=a，b，c，d]含有等可能的樣本點，且[A=a，b，B=a，c，C=a，d]，請驗證[A，B，C]三個事件兩兩獨立，但[PABC≠][PAPBPC].

如果教師不質疑、不辨析，怎么能發(fā)現(xiàn)這個結論的確切內(nèi)涵呢？更重要的是，教師可以用這個例子來鼓勵學生大膽質疑，使他們擁有更多的自我意識和獨立思考的精神，為創(chuàng)新、創(chuàng)造、變革提供基礎和保障.

2. 用嚴謹促進理性的直觀

學習概率的目的是在現(xiàn)實生活中進行理性決策，進而避免因盲目的直觀決策帶來的風險和損失. 相對其他知識，概率更貼近學生的生活體驗，也就更容易引起直觀的沖突.

例如，初次接觸問題“拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)一正一反算甲贏，出現(xiàn)兩個正面算乙贏，你覺得這個規(guī)則合理嗎？”時，學生很難辨識其是否合理. 只有當明確什么是等可能的樣本點，以及如何正確使用古典概型解決問題時，才能認清這個問題的本質. 這個過程就是用嚴謹促進理性的直觀的過程.

又如，在抽簽中，要不要爭取先抽，即先抽與后抽的概率一致嗎？拋10次硬幣，前5次均出現(xiàn)正面，那么是不是后5次出現(xiàn)反面的概率會更大一些？這些問題往往具有一定的“反直覺性”，它們與生活密切相關，能夠很好地激發(fā)學生的探索欲. 教師帶領學生用嚴謹、審慎的態(tài)度和眼光進行分析，就能夠很好地修正學生的經(jīng)驗直觀，優(yōu)化學生的感性認知，并促使學生將感性認知上升至理性認知.

3. 用直觀服務現(xiàn)實的生活

概率是什么？概率從哪里來？到哪里去？需要對概率進行這樣的“哲學三問”. 只有經(jīng)過這樣的追問和探索，才能明確教育教學的方向.

概率研究的是現(xiàn)實生活中隨機現(xiàn)象“變中不變”的性質. 在變化中尋求不變是人類探索的永恒主題，掌握和運用變化中的規(guī)律，就能做出更科學和理性的決策. 上至國家下到個人，時刻都在進行選擇，而選擇本身就蘊含著對概率的認知和理解. 理性的選擇離不開對概率知識的科學運用.

概率起源于生活，也必將作用和影響生活. 如果一個人懂得在抽簽中先抽與后抽的概率的一致性，就會在這種情形下坦然面對；如果一個人懂得已經(jīng)發(fā)生的事實與之后要發(fā)生的事件間存在獨立性，就不會失去理性沉迷于賭博；如果一個人懂得生活中每時每刻都在進行著選擇，我們能做的就是接受確定性的事實，努力放大有益事件出現(xiàn)的概率，減小不利事件出現(xiàn)的概率，那么，這個人就不會輕易出現(xiàn)過度焦慮；如果一個人懂得“智能推送”“智慧城市”等本身就是概率生活化的體現(xiàn)，就會更深一步體會概率的魅力和理性知識的力量.

總之，建立起理性的概率直觀，有益于增強理性認知，從而更好地服務現(xiàn)實生活.

四、幾點想法

1. 基于直觀性和嚴謹性的隨機現(xiàn)象

具體的就是直觀的，抽象的就是一般的，兩者相輔相成. 將具體與抽象結合起來可以更好地理解隨機性（隨機現(xiàn)象）. 學習概率的過程就是逐步認識隨機現(xiàn)象的過程，對隨機現(xiàn)象的理解是學習概率的核心.

知識源于經(jīng)驗和直觀. 認識和理解隨機現(xiàn)象，伴隨著直觀與理性的交織影響和提升. 首先，概率源自生活中的直觀感性經(jīng)驗，觀察分析生活中的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)除了確定性現(xiàn)象外，還充斥著隨機現(xiàn)象. 認識和探索這些隨機現(xiàn)象是概率的出發(fā)點. 其次，用數(shù)學理性嚴謹?shù)难酃夥治鲭S機現(xiàn)象，就產(chǎn)生了科學的概率分支.

高中階段，理解和分析隨機現(xiàn)象主要從以下三個方面著手. 一是理解概率與統(tǒng)計的關系. 統(tǒng)計的基本思想是用樣本估計總體，其首要步驟是科學合理的抽樣，抽樣的過程就是隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)的過程，隨機思想就是反映“總體”與“樣本”之間關系的核心思想，好的樣本必須能夠反映總體的特征和規(guī)律. 因此，嚴謹?shù)慕y(tǒng)計必須建立在科學的概率之上. 二是用函數(shù)的眼光看待隨機變量. 隨機變量是數(shù)學中繼常量和普通變量之后的又一個“量”，它的引入為用數(shù)學工具研究隨機現(xiàn)象奠定了基礎. 三是在集合觀點的加持下用概率模型理解隨機變量. 教材將隨機事件定義為樣本空間的子集，古典概型、兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布等均為常見的隨機現(xiàn)象下的概率模型，對它們的理解有助于培養(yǎng)概率的直觀性，深化理性嚴謹?shù)母怕仕枷?

2.“純數(shù)學”的直觀和嚴謹

概率隸屬于高中數(shù)學的“概率與統(tǒng)計”主題. 概率為統(tǒng)計提供理論支撐，統(tǒng)計為概率提供應用場景. 數(shù)據(jù)分析主要以概率統(tǒng)計為理論基礎，所以概率統(tǒng)計是提升學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)最重要的載體. 通過學習相關知識，使學生能夠形成較強的數(shù)據(jù)意識，具有一定的數(shù)據(jù)處理能力，同時提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學運算等素養(yǎng).

從圖1呈現(xiàn)的知識結構中，可以看出概率和統(tǒng)計的探究過程存在著本質上的聯(lián)系. 隨機變量是樣本點的數(shù)量化，隨機變量本身是一系列數(shù)據(jù)（個數(shù)可能有限也可能無限），為了能夠掌握這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，可以采用基于直觀的圖表法，也可以采用基于代數(shù)的數(shù)字特征法. 而在統(tǒng)計中，對抽取的樣本數(shù)據(jù)的分析，同樣采用了這兩種方式. 這就是數(shù)據(jù)分析的基本思路和方法. 因此，概率中的期望與統(tǒng)計中的均值及概率中的方差與統(tǒng)計中的方差，本質上是一致的. 這一點也可以由頻率穩(wěn)定到概率的事實得到解釋.

值得關注的是，務必要利用函數(shù)觀點看待隨機現(xiàn)象，深化對概率的理解. 主要集中在以下兩點. 一是對函數(shù)性質與概率性質探究的對比. 在函數(shù)的探究中，從函數(shù)的共性及運算關系中提取函數(shù)的性質，再利用這些性質來探索未知函數(shù)；在概率的研究中，同樣是從隨機事件的共性及運算關系中得到概率的性質，再利用這些性質簡化概率的求解. 二是明確隨機變量的本質與函數(shù)是一致的，研究的對象都是“變量”，離散型隨機變量與相應的概率之間是函數(shù)關系，連續(xù)型隨機變量則是把區(qū)間看成自變量，把落在區(qū)間內(nèi)的概率看成因變量（常用面積刻畫），由此可以用函數(shù)這個強有力的工具去研究隨機變量（研究表達過程同樣可以借助形的直觀和數(shù)的嚴謹）.

以上分析，可以認為是對概率“純數(shù)學”內(nèi)容聯(lián)系的分析，是一種“純數(shù)學”的直觀. 對此理解得越透徹，越有助于嚴謹深刻的數(shù)學思維能力的提升.

3. 直觀與嚴謹?shù)慕虒W平衡

數(shù)學教學離不開直觀和嚴謹，但直觀和嚴謹都有相對性. 高中階段對概率內(nèi)容的研究往往基于直觀，即利用類比、猜想、驗證等方式，輔以適當?shù)难堇[推理，得到一些結論或性質. 在實際問題中，我們經(jīng)常借助直觀判斷事件的獨立性，再用定義簡化積事件的概率計算. 在有些問題中，則需要用獨立性的定義來判斷事件的獨立性. 在概率教學中，教師要照顧到學生的認知能力，把握好教學中對直觀性和嚴謹性呈現(xiàn)的“度”. 與此同時，教師還要提升自己的專業(yè)素養(yǎng)，善于思考，在嚴謹性上對自己提出更高的要求，以便隨時應對學生的質疑.

例如，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中對正態(tài)分布的學習要求是通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量，而教學參考書給出的教學建議中也提到要通過誤差模型、借助直觀（如直方圖）認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義. 但有些教科書中引出的正態(tài)分布的實例模型并不是嚴格意義上的“誤差模型”，這就要求教師在使用教科書組織正態(tài)分布的教學時，要有自己獨立的思考，要深入理解數(shù)學（正態(tài)分布的來源、意義）、理解學生（明確學生的認知基礎）、理解教學（選擇合適的教學策略）.

又如，教材中有下列表述：若[X～Nμ，σ2]，則隨機變量[X]在[μ]附近取值的概率很大，在離[μ]很遠處取值的概率很小. 結合正態(tài)密度曲線，能夠感受到這個表述傳達的意思，但它并不嚴密，學生可能就此質疑：正態(tài)分布本身是連續(xù)型隨機變量的概率分布模型，[X]任意具體取值的概率均為0，所以隨機變量[X]在[μ]附近取值的概率都相等. 那么，教師就需要肯定學生的質疑行為，并對此探討改進辦法. 可以選擇用區(qū)間更嚴謹?shù)乇硎觯喝鬧X～Nμ，σ2]，則隨機變量[X]落在[μ]附近的等距區(qū)間[x-ε，x+ε]（[ε]為大于0的常數(shù)）內(nèi)的概率相對較大，落在離[μ]很遠處的等距區(qū)間[x-ε，x+ε]內(nèi)的概率相對較小，落在區(qū)間[μ-ε，μ+ε]內(nèi)的概率最大.

總之，在教學中，教師要根據(jù)知識和學情對概率教學的直觀性和嚴謹性予以權衡. 同時，在自己敢于質疑的同時，也要鼓勵學生合理的質疑行為. 要知道，只有敢于質疑和鼓勵質疑的教師，才能培養(yǎng)出善于思考且具有嚴謹求實的科學精神和創(chuàng)新意識的學生.

參考文獻：

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［3］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.