試談參考書例習題中的“嚴謹性”問題

【摘要】嚴謹性是數(shù)學(xué)的獨持之美，但具體問題只要稍有疏忽，便會導(dǎo)致教學(xué)上的失誤.這種“嚴謹性缺失”的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)參考書上也可發(fā)現(xiàn).譬如在一本有關(guān)2016年高考試卷的參考書中，我們就可以從其中一道浙江省理科高考向量題的答案中發(fā)現(xiàn)這種“嚴謹性缺失”的現(xiàn)象.所以如果對參考答案有疑問或者有異議的時候，一定要究其根本，弄清楚問題的來龍去脈，從而增加和完善自身對所涉知識點嚴謹性的認識.

【關(guān)鍵詞】嚴謹性；參考書；例習題；投影

嚴謹性是數(shù)學(xué)的獨特之美，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題上，就要求在邏輯推理的嚴密性、解答過程的條理性與完備性等方面，要注意保持嚴謹性.如果建議對學(xué)生加強在這方面的教學(xué)，每個數(shù)學(xué)老師都會贊同.但講講容易，做起來卻很難，碰到具體問題只要稍有疏忽，便會導(dǎo)致教學(xué)上的失誤.這種“嚴謹性缺失”的現(xiàn)象不僅在課堂教學(xué)中有，而且在數(shù)學(xué)參考書上也可找到.譬如，筆者最近發(fā)現(xiàn)，這種現(xiàn)象從一個高三同學(xué)提出的問題中就可見一斑.以下就是筆者相應(yīng)的教學(xué)處理.

1課堂教學(xué)實錄

1.1萬物始于微而后成——創(chuàng)設(shè)情境，引入問題[CX]

最近，有位同學(xué)看了一本有關(guān)2016年高考試卷的參考書，其中一道浙江省理科高考向量試題引起了他的關(guān)注，經(jīng)仔細探究之后發(fā)現(xiàn)其給出的參考答案的解法值得“商榷”，現(xiàn)敘述如下：

鑒于現(xiàn)在的高三教學(xué)情況，每一位高三同學(xué)都有兩本以上的數(shù)學(xué)參考書，其材料組織水平及內(nèi)容質(zhì)量均參差不齊.并且筆者在平常的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：有相當多的同學(xué)迷信于這些參考書，對于其中的解題技巧、記憶“捷徑”、答案展示都深信不疑.針對這種情況以及上述這位同學(xué)的問題，筆者認為是有目的性地上一節(jié)探究課的大好機會，于是就有了下面的教學(xué)情節(jié).

師：我知道每位同學(xué)都有兩本以上的復(fù)習參考書，并且每位同學(xué)都在充分地利用它們.下面是我們班某位同學(xué)的一本參考書上的問題及解答，而且這位同學(xué)有幾個疑問，我們能不能幫他解惑呢？請大家先獨立思考，然后再分組討論.

筆者把上面的題目、解答以及該同學(xué)的三個問題均展示出來.1.2討類知原尋緣由——回歸本源，尋求突破[CX]

不久之后，陸續(xù)有同學(xué)要求發(fā)言進行交流.

生1：第一個問題中，“可令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）”，我們小組覺得不是很恰當，因為既然是任意單位向量[WTHX]e[WTBX]，那么就不能給定一個單位向量后，再來解決問題，因為它可以在變化.

生2：我們小組與上面小組的觀點有所不同，我們認為事實上，

這三個向量除了模長沒有變化，其方向都可以在變化，所以我們可以指定一個向量為定向量，而其它兩個向量的方向是變化的.但是我們也不能十分確定上述說法是正確的.

筆者此時觀察到絕大多數(shù)同學(xué)都覺得相對于生1所在小組的觀點，生2所在小組的發(fā)言好像難以理解.這時筆者進行了點拔.

師：在物理學(xué)中，我們學(xué)習過“參照物”的概念.即在研究機械運動時，人們事先選定的、假設(shè)不動的，作為基準的物體叫做參照物.參照物的選擇是任意的，既可以選相對地面靜止的物體，也可以選運動的物體作為參照物.可本著便于研究的原則，選取合適的參照物.而參照物只是假定不動而不是真的不動，這便是參照物的假定性.大家能夠借鑒這一觀點嗎？

經(jīng)過這一類比提醒，很多同學(xué)作恍然大悟狀.

生3：哦，好象有一種“醍醐灌頂”的感覺.也就是說：雖然[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]與[WTHX]e[WTBX]這三個向量的方向都可以在變化，但是我們可以選取一個“參照物”——[WTHX]e[WTBX]，讓它處于一種相對靜止的狀態(tài)，即令[WTHX]e[WTBX]=（1，0）！然后在此基礎(chǔ)上考慮問題，就可能變得簡便易行了.

下面很多同學(xué)點頭對此表示贊成.筆者乘勢而下要求同學(xué)們思考第二個和第三個問題.于是就有了下面的發(fā)言.

生4： 我們認為“參照物”取好之后，第二個問題應(yīng)該就不成為問題了.因為[WTHX]e[WTBX]“靜止”的話，[WTHX]a[WTBX]、[WTHX]b[WTBX]這兩個向量就處于“相對運動”狀態(tài)，故“對一切實數(shù)α，β恒成立”這一條件就可以得到！

生5：我們小組認為第三個問題中，對α，β是否能取到?jīng)]有進行檢驗，這樣做顯然是不嚴謹?shù)?我們在運用基本不等式求最值時，反復(fù)強調(diào)要“一正二定三相等”，對不等式能否取到等號必須進行檢驗.這里也必須是這樣的.

在得到同學(xué)們的一致意見之后，筆者要求同學(xué)們對問題三中的“不嚴謹”之處進行糾正.

生6：我們小組得到了以下結(jié)論，但不知道是否正確，展示如下，與大家核對一下.

筆者觀察到下面很多同學(xué)的解法與生6所在小組解法大同小異，同時也非常興奮，于是趁熱打鐵，讓同學(xué)們對上面的討論結(jié)果進行一些必要的總結(jié)，教師在旁邊進行協(xié)助.

生7：我們小組覺得通過上面三個問題的解決說明，一方面，我們很多同學(xué)在一些問題的解決策略及方法上視野還比較狹窄，有待于進一步的擴展，而通過學(xué)習參考書上的知識是達到這一目的的途徑之一；另一方面，通過上面的學(xué)習，也說明了我們手中的參考書中的內(nèi)容和知識可能還存在著一定的缺陷，所以我們在利用它時，也應(yīng)該注意辨別，盡可能地做到“取其精華，剔除糟粕”，實在不清楚的地方，可以向今天提出問題的同學(xué)學(xué)習，即向老師或同學(xué)求助.

1.3觸類旁通凸特色——鞏固成果，強化重點[CX]

師：這兩點總結(jié)的很棒！當然，我們還可以“打破沙鍋問到底”，既然剛才絕大多數(shù)同學(xué)對這本參考書上的解法“不感冒”，認為它不常規(guī)，并且它的確也存在著疏漏之處，那么我們討論一下，有沒有比其更加漂亮，或者說更加易于接受的解法？

同學(xué)們經(jīng)過較長時間的獨立思考和討論、相互補充以及教師點撥后得到了下面的兩種解法.

解法2如圖所示：

師：通過上面的學(xué)習過程我們得到了另外兩種解法，我們能夠清楚地看出它們的特點.相比較而言，單純從解法的難度上看，解法2顯得似乎更加繁瑣一點，而解法3看起來具有 “流暢感”，也更襯托出數(shù)學(xué)的簡易之美；但從“親民”程度上而言，剛才從同學(xué)們的討論中可以看出：解法2顯得似乎更加“接地氣”，符合大家的認知水平，解法1好像有點與眾不同，理解起來有一定難度，而解法3雖說簡易，但仿佛顯得“高大上”.如果大家有這種感覺，說明我們對此題所涉及到的知識的系統(tǒng)性把握不夠，實際上，解法3所運用的也僅僅是三角不等式等知識而已，并沒有涉及到很高深的知識點.為了鞏固今天的成果，下面的問題就是今天的“每日一題”，明天我們來核對答案.

每日一題：（2016年浙江高考文科試題）已知平面向量

2關(guān)于如何處理參考書例習題中的“嚴謹性”問題

除數(shù)學(xué)期刊等參考書外，一般數(shù)學(xué)參考書大都分為四個部分：知識點、范例、練習、方法歸納和小節(jié)等，而根據(jù)筆者個人的經(jīng)驗，在范例、練習這兩個部分的題目及答案的呈現(xiàn)中，其科學(xué)性及嚴謹性更可能發(fā)生不足，除此之外，有些問題的答案從教師的眼光看起來似乎“很在理”，但也有可能會超出當前學(xué)生的認知水平，即不在他們的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)，從而導(dǎo)致他們看起來也是屬于“嚴謹性缺失”的范疇，從上面的答案展示中可以看出這一點.總之，以上這些問題都應(yīng)該引起我們的關(guān)注.

在平時的有關(guān)參考書使用的教學(xué)建議時，筆者往往強調(diào)以下觀點.對于參考書的范例與練習，學(xué)生不應(yīng)只是看，更重要的是做.在未做題之前先不要看答案，否則會由于先入為主的“慣性”思維，從而易缺乏對解題嚴謹性的審視.應(yīng)先拿出草稿紙先做題目.對于會做的題目一定要全身心的投入去做，從頭至尾把它完整地解答出來，認為沒有任何錯誤后，打開解答進行核對，錯誤時能夠及時糾錯，開闊思路，并且選一種比較好的方法加以吸收；另外，對于有難度的題目，應(yīng)靜心坐下來，絞盡腦汁地去想、去做，只有經(jīng)苦思冥想了再去看書上的解答過程，方如久旱逢雨，點滴吸收，這樣就又增加了新的知識和新的想法.這里需要強調(diào)的是，如果對參考答案有疑問或者有異議的時候，決不能裹足不前，輕易放過，一定要究其根本，弄清楚問題的來龍去脈，從而增加和完善自身對所涉知識點嚴謹性的認識.希望上面的示例能夠起到一定的示范作用.

作者簡介

黃加衛(wèi)（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高級，碩士學(xué)位，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué).近年來在省級期刊雜志上發(fā)表論文一百七十余篇.