有關(guān)向量上的投影的概念解讀

張浩

一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影是一個(gè)很重要的概念。一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，而這個(gè)實(shí)數(shù)的值與投影的長(zhǎng)度有關(guān)，也與投影的方向有關(guān).很多學(xué)生無(wú)法正確理解“向量上的投影”這個(gè)概念，對(duì)此，筆者對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的研究.

（1）代數(shù)定義：向量在向量方向上的投影為| | cos < ，? >=| ||0|?cos < ， 0 >=? ?0，其中 0是的單位向量.從投影的表達(dá)式 cos< ， >上看，當(dāng)? ≠ ，≠? 時(shí)，式中| |>0，cos < ， >可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，也可以是零，所以向量在向量方向上的投影可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，也可以是零，即下列2種情況：

①當(dāng)∈[0， ]時(shí)，cos < ， >∈[0，1]， 所以向量在向量方向上的投影為;

②當(dāng)∈（ ，π]時(shí)，cos < ， >∈-1，0，所以向量在向量方向上的投影為;

（2）幾何表示：已知和，向量在向量方向上的投影，可用圖1、2表示.

用一束垂直于向量所在直線的太陽(yáng)光去照射向量，則在向量所在的直線上留下的向量的影子--線段 MN，線段MN 就是向量在向量方向上的投影，其中點(diǎn)M 是向量的起點(diǎn)在直線上的投影，點(diǎn)N 是向量的終點(diǎn)在直線上的投影.

圖1 中，從 M 到 N 的方向與向量的方向一致，此時(shí)投影 MN 表示一個(gè)正數(shù).由投影的代數(shù)意義知，投影 MN = cos< ， >，我們將向量向下平移，使其與向量共起點(diǎn)，由銳角三角函數(shù)的定義知cos< ， >就表示線段 MN 的長(zhǎng)度，也就是說(shuō)，若從M 到 N 的方向與的方向一致，則投影MN 所表示的值等于投影 MN 的長(zhǎng)度.

圖2 中，從 M 到 N 的方向與向量的方向不一致，則向量在向量方向上的投影 MN 表示一個(gè)負(fù)數(shù).由于投影 MN = cos< ， >，而此時(shí)向量與向量的夾角< ， >是一個(gè)鈍角，該夾角的余弦值是負(fù)的，即cos < ， ><0，若夾角< ， >的補(bǔ)角為θ（θ為銳角），則 cos < ， >=-cos θ，即投影MN = ?（- cosθ）=-（cos θ）= -MN ，也就是說(shuō)，若從 M 到 N 的方向與的方向不一致，則投影 MN 的值等于投影 MN 的長(zhǎng)度值的相反數(shù).

綜上，可以得到由投影長(zhǎng)度求投影值的公式：

這里MN 是指投影 MN 的長(zhǎng)度.投影 MN 的值與線段 MN 的長(zhǎng)度相等或互為相反數(shù)，而投影 MN 的長(zhǎng)度是非負(fù)數(shù)，即MN ≥0，所以投影 MN 的長(zhǎng)度MN 是投影 MN 的絕對(duì)值，則由投影值求投影長(zhǎng)度的公式：

例1. ABCD -A′B′C′D′為單位正方體.（1）求向量 C A′在 C D 上的投影;（2）求向量 C A′在 D C 上的投影.

解析：（1）由于 A′D⊥DC，所以向量 C A′在 C D 上的投影是 CD，又從 C 到 D 的方向與 C D相同，所以所求投影 CD 的值就是線段 CD 的長(zhǎng)度，即投影為1;

（2）向量 C A′在 C D 上的投影仍然是 CD，但從 C 到 D 的方向與向量 D C 的方向相反，所以所求投影的值是線段 CD 長(zhǎng)度值的相反數(shù)，即投影為-1.

解答本題，需根據(jù)投影的長(zhǎng)度求投影的值.

例2.如圖3，已知點(diǎn)A 是空間內(nèi)一點(diǎn)，平面α 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P，向量為其法向量，點(diǎn) A 不在平面 α上，求點(diǎn) A 到平面α 的距離.

解析：作向量 P A，若 P A 與不共面，可以平移向量，使向量 P A與共面，過(guò) P 作直線 AA′的垂線，垂足為 A′，則 AA′為向量 P A在向量上的投影，點(diǎn) A到平面α的距離就是線段 AA′的長(zhǎng)度.由投影的概念可知，AA′=P A? n0， 因此點(diǎn) A 到平面α 的距離 d =P A? n0.

根據(jù)投影值與投影的長(zhǎng)度之間的關(guān)系可知，根據(jù)公式（1）可以由投影的長(zhǎng)度求投影值.而在解題時(shí)，通常需利用公式（2），由投影值的大小求出投影的長(zhǎng)度.

（作者單位：陜西省神木市第七中學(xué)）