數(shù)學(xué)教學(xué)的思維特征

蔣文彬

【摘要】數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)是思維，要為思維而教.數(shù)學(xué)教學(xué)是思維活動的教學(xué)，是鍛煉和發(fā)展人的多種思維能力的“智力體操”， 數(shù)學(xué)教學(xué)要充分暴露思維過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更多的需要“思而知之”.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；思維方法；思維活動；暴露思維過程；思維能力；抽象思維；形象思維

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，離不開思維，可以說數(shù)學(xué)的本質(zhì)特性就是思維.數(shù)學(xué)概念的引入，定理的發(fā)現(xiàn)，規(guī)律的探求等諸多認識活動的過程中，是什么促使你能一步一步向前走，又是什么使你的智慧逐步提升？那就是數(shù)學(xué)思維的作用.通過什么途徑與方法將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)方法解決這些實際問題，數(shù)學(xué)家做了大量的探索和研究.他們借助于試驗、分析、抽象和概括等思維方法形成了一套較為完整的數(shù)學(xué)理論體系，這套理論體系的形成就是通過數(shù)學(xué)思維來實現(xiàn)的.那么，數(shù)學(xué)教學(xué)的思維特征是什么呢？張乃達先生認為：數(shù)學(xué)思維就是以現(xiàn)實的數(shù)學(xué)問題為研究對象，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的形式，達到對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的一般性的認識的思維過程.

多年的教學(xué)實踐與思考告訴我們：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動的教學(xué)是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)思維活動的教學(xué)，充分暴露思維過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心原則，要為思維而教.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視智力因素的核心——思維能力的作用，不斷提高學(xué)生的智力水平，充分挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能；要重視非智力因素的動力、定向、維持、調(diào)節(jié)、控制和強化作用，要努力幫助學(xué)生樹立遠大的理想、濃厚的興趣、頑強的意志、豐富的情感和剛毅的性格，以激發(fā)學(xué)生為數(shù)學(xué)拼搏的豪情.除使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識外，主要是為了讓學(xué)生變得智慧，變得堅毅.數(shù)學(xué)教學(xué)主要應(yīng)激發(fā)學(xué)生思考的潛能，使學(xué)生想思考，會思考，善思考，會“數(shù)學(xué)的思維”.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)使學(xué)生接受數(shù)學(xué)精神、思想和數(shù)學(xué)方法的薰陶，提高思維能力，鍛煉意志品質(zhì)，并把它們遷移到學(xué)習(xí)、工作和生活的各個領(lǐng)域中去.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動（思維活動）的教學(xué).”而不僅是數(shù)學(xué)知識（數(shù)學(xué)結(jié)果）的教學(xué).現(xiàn)代教學(xué)論則認為，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)應(yīng)該是形成和發(fā)展具有思維特點的智力活動結(jié)構(gòu).

1數(shù)學(xué)是人類思維高原上開出的燦爛花朵

“千姿百態(tài)的幾何圖形，變幻無窮的數(shù)的世界，卻能被為數(shù)極少的幾條公理所窮竭；成千上百條定理、公式在它的基礎(chǔ)上令人信服地展現(xiàn)在眼前，怎能不叫人驚奇；看起來完全不同的對象卻有著本質(zhì)上的一致；無關(guān)的事物之間有著深刻的聯(lián)系；復(fù)雜、多變、形態(tài)各異的式子、圖形存在著不變的規(guī)律和簡捷的結(jié)果.”（引自《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論》李玉琪）

搜索枯腸，絞盡腦汁，千轉(zhuǎn)百回……驀然，靈犀一點、心氣一縷，神光一閃……“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處！”這不是數(shù)學(xué)思維中的一種常見意境嗎？

1.1數(shù)學(xué)活動的教學(xué)是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)思維活動的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識的教學(xué).這里所說的數(shù)學(xué)活動是按照下列3個階段進行的思維活動.

①經(jīng)驗材料的數(shù)學(xué)組織化.即借助觀察、試驗、歸納、類比、概括積累事實材料.

②數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化.即由積累的材料中抽象出原始的概念和公理體系，并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上演繹地建立理論.

③數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅教給學(xué)生已發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)理論，更重要的還要教給學(xué)生如何進行數(shù)學(xué)活動.要教給學(xué)生如何像數(shù)學(xué)家那樣去活動，那樣去思維.

辛格（V·Singh）認為的數(shù)學(xué)的效用主要是“發(fā)展思維功能和掌握復(fù)雜情況的能力”[1].

卡米查爾（R.Carmichael）說：“數(shù)學(xué)是一個思想領(lǐng)域，它為我們提供了有關(guān)清晰、精確思維的必要和明確的知識”[1].馮·諾意曼（V.Neuman）更稱“數(shù)學(xué)處于人類智能的中心領(lǐng)域”[2].由于思想是人類智慧的核心，這就肯定了數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維方面，具有其它學(xué)科無法替代的功能.

更確切地說，數(shù)學(xué)教學(xué)（或?qū)W習(xí)）才是鍛煉和發(fā)展人的多種思維能力的“智力體操”.

1.2數(shù)學(xué)是培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力的傳統(tǒng)學(xué)科.

這一點在歐氏幾何中體現(xiàn)的尤為突出.丁石孫先生在《數(shù)學(xué)與教育》一書中進行過精辟的分析：“有時面對一個幾何證明題，乍看似乎結(jié)論明顯成立，但要證明它卻不得不費一番分析，在這種情況下，人的耐心受到很好的訓(xùn)練；有時，面對一個看來結(jié)論簡直不能成立的命題，通過引幾條巧妙的輔助線，可以很快解決問題.巧妙地借用其他手段，解決復(fù)雜問題，人類不就是這樣生存的嗎？歐氏幾何還能訓(xùn)練人的敏銳的洞察力[3]……

1.3數(shù)學(xué)又具有開發(fā)非邏輯思維與合情推理的功能.這是隨著思維科學(xué)、心理學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究與實踐的不斷發(fā)展，而為人們所逐漸認識的.邏輯推理固然是數(shù)學(xué)論證必不可少的的關(guān)鍵步驟，但數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新一刻也離不開觀察、實驗、類比、聯(lián)想、不完全歸納、猜測、想象、直覺等“合情推理”.由于在當前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，右半腦的功能還常常受到壓抑，并表現(xiàn)為想象力貧乏，不善于靈活運用數(shù)學(xué)知識，缺乏探索性和創(chuàng)新性……一言蔽之，缺乏形象思維能力.一代大師錢學(xué)森建議“把形象思維作為思維科學(xué)的突破口”.徐利治先生更認為，對數(shù)學(xué)和右腦思維的研究“有可能使數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育獲得新的動力”[4].因此對非邏輯思維的訓(xùn)練，應(yīng)受到更多的重視.我們?yōu)槭裁床灰瞾黻J闖這個新天地呢？

1.4數(shù)學(xué)還發(fā)展出許多特有的思維方法和技巧.

通過數(shù)學(xué)教學(xué)方法論的橋梁，能轉(zhuǎn)化為一般的思維方法.這方面的實例，可參閱文[1]，相信讀者從中得到有益的啟迪.

有人認為，通過數(shù)學(xué)教學(xué)（學(xué)習(xí)）可以基本涉及人類思維的各個側(cè)面，這是有一定道理的，事實上，作為一個更完整的認識，數(shù)學(xué)的教育功能還不僅僅是“訓(xùn)練思維的體操”.至少我們還應(yīng)看到：數(shù)學(xué)在培養(yǎng)、提高人的文化素質(zhì)（思維品質(zhì)）也有它獨到的功效.數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)乃至科學(xué)技術(shù)中的美麗花朵，只要我們用心去領(lǐng)悟它，運用它，一定會結(jié)出豐碩的果實.

了解數(shù)學(xué)思維，做一個明白的人；

懂得數(shù)學(xué)思維，做一個聰明的人；

掌握數(shù)學(xué)思維，做一個具有創(chuàng)新能力的人.

2數(shù)學(xué)思維是一種高層次文化現(xiàn)象

“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是數(shù)字、符號、公式，而且還有浸潤其中的數(shù)學(xué)文化.只有把抽象的、邏輯的、嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)，即冰冷的數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)化為生動的、人文的、思考的數(shù)學(xué)，即火熱的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)課堂才是人才陶冶的爐膛.”張奠宙先生的這段話生動地說出了“數(shù)學(xué)可以塑造人的靈魂”的道理.

中科院院士王梓坤教授撰寫的《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》一文.總結(jié)了數(shù)學(xué)在四個方面的巨大作用，其中一條就是“對全體人民的科學(xué)思維與文化素質(zhì)的哺育”[5]“數(shù)學(xué)文化具有比數(shù)學(xué)知識體系更為豐富和深邃的文化內(nèi)涵.數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)知識、技能、能力和素質(zhì)等概念的高度概括”[6].也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是為了獲取知識，更主要的是接受數(shù)學(xué)精神、思想和數(shù)學(xué)方法的薰陶，提高思維能力，鍛煉意志品質(zhì)，并把它們遷移出去.

數(shù)學(xué)教學(xué)要開發(fā)學(xué)生潛能，當從數(shù)學(xué)文化開始.“數(shù)學(xué)文化就是要‘文而化之”.這是張奠宙、趙小平先生發(fā)表在《數(shù)學(xué)教學(xué)》2007年第4期上的文章的題目.原文如下：

[JZ]數(shù)學(xué)文化就是要‘文而化之[HTSS]

近來，于丹的《論語心得》大火特火.十博士聯(lián)名發(fā)起攻擊，措辭激烈，不過大多數(shù)群眾還是喜歡于丹.這使我們聯(lián)想到數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)如同國學(xué)，也有其象牙塔部分，學(xué)術(shù)性很強，外人很難弄懂.即使是中小學(xué)校里的數(shù)學(xué)，也不大招人喜歡.我們的數(shù)學(xué)教育為什么非要板著面孔講數(shù)學(xué)呢？數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，能否也能夠大眾化一些，使得一部分的數(shù)學(xué)，也如“心靈雞湯”那樣可口呢？

所謂文化，按照于丹的說法，“文化是一個流動、生長的形態(tài)，重要的是‘文而化之，進入人的內(nèi)心世界”（2007年3月19日《文匯報》第四版）數(shù)學(xué)文化何嘗不是如此？

數(shù)學(xué)是人創(chuàng)造的，必然打上社會的烙印.數(shù)學(xué)是人們觀察世界的一種立場、觀點和方法，具有很強的人文特征.在形式化了的數(shù)學(xué)背后，有生動活潑的思維過程、樸素?zé)o華的思想方法乃至引人深思的人生故事.

教育形態(tài)的“大眾數(shù)學(xué)”，應(yīng)該區(qū)別于具有學(xué)術(shù)形態(tài)的“形式化數(shù)學(xué)”.數(shù)學(xué)教學(xué)“既要講推理，更要講道理”.這些道理包括數(shù)學(xué)文化底蘊.舉一個例子.平面幾何課程里有“對頂角相等”，這是一眼就可以看出其正確性的命題.教學(xué)目的，主要不是為了掌握這一事實本身，關(guān)鍵在于：為什么希臘人要證明這樣顯然正確的命題？為什么中國古代算學(xué)沒有“對頂角相等”的定理？理性思維的價值在哪里？如能聯(lián)系古希臘的奴隸主和民主政治加以剖析，則可以感到其中更深刻的文化韻味.反之，如果依樣畫葫蘆，只是“因為、所以”地在黑板上把教材上的證明重抄一遍，那就是“文而不化”，沒有文化味了.

學(xué)學(xué)于丹，讓我們把數(shù)學(xué)也“文而化之”，使之進入人們的內(nèi)心世界.讓孩子們喜歡數(shù)學(xué)、親近數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué).[HTSS]

3數(shù)學(xué)教學(xué)可以教人聰明

“聰明”似乎是一個易于領(lǐng)會而難以言傳的概念.漢語詞典對“聰明”的解釋：智力發(fā)達，記憶和理解能力強.這是人們可以接受但又不會完全認同的.但無論如何，聰明與思維品質(zhì)是聯(lián)系在一起的.細心的觀察、深入的思考、良好的記憶、豐富的想象、準確的判斷、靈活的應(yīng)變……，這些優(yōu)秀的品質(zhì)無一不與思維有關(guān)、不與文化素養(yǎng)有關(guān).從這個意義上看，數(shù)學(xué)即能鍛煉思維，又可以提高人的文化修養(yǎng).因此把它稱為“教人聰明的學(xué)問”是十分形象與恰當?shù)?

我們這里所說“數(shù)學(xué)是一門教人聰明的學(xué)問”，這個教，并不專指教師在課堂上的教，更重要的是學(xué)習(xí)者自己的思考和領(lǐng)悟，這正如培根所說：“學(xué)問本身不教人如何用它們，這種動用之道乃是學(xué)問之外，學(xué)問以上的一種智能，是由觀察體會才能得到的”.

數(shù)學(xué)教學(xué)活動是充分暴露數(shù)學(xué)思維活動的過程.盡管數(shù)學(xué)知識是思維的結(jié)果，但學(xué)得這些知識卻不是對思維結(jié)果的簡單接收，學(xué)習(xí)者必須把新知識消化、吸收、納入自己的知識系統(tǒng).數(shù)學(xué)知識不可能像語文那樣隨著社會閱歷的增長而增長，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備“數(shù)學(xué)頭腦”即會用“數(shù)學(xué)思維”思考問題，把新知識轉(zhuǎn)化為自己的思維結(jié)果.如果說文科知識可以讀而知之的話，那么，數(shù)學(xué)知識更多地需要“思而知之.”[7]

數(shù)學(xué)思維之所以呈現(xiàn)以上特征有賴數(shù)學(xué)思維的以下特點：3.1抽象性

在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)學(xué)家往往拋棄研究對象的特性，只保留事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式.如數(shù)學(xué)中點是沒有大小的，線是沒有粗細的，即這些點、線不同于現(xiàn)實中的點、線，而是一種抽象的“事物”.又如集合A={x|p}、函數(shù)y=f（x），它們不是指具體意義的集合、函數(shù)，而是指一般抽象之后的集合、函數(shù).這些例子說明，在數(shù)學(xué)思維過程中，舍去了思維對象非本質(zhì)的屬性，而是抽取出具有一般意義的數(shù)學(xué)量來研究的.可見，抽象之后的數(shù)學(xué)內(nèi)容具有高度的概括性，深化了對事物的本質(zhì)和規(guī)律的認識.3.2嚴密性

表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維過程中邏輯性和精確性.數(shù)學(xué)思維是按照一定的形式和方法進行的，它的理論是按照嚴格的邏輯推得的.如幾何的推理過程要求步步有理，言必有據(jù).此外，數(shù)學(xué)思維要求定量把握事物間的量的關(guān)系，要求具有一定的精確性.愛因斯坦曾這樣描述數(shù)學(xué)：“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊的尊重，一個理由是，它的命題是絕對可靠和無可爭辯的.”可以這樣講，沒有數(shù)學(xué)的科學(xué)是不可靠和不完善的.

3.3探索性與創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)來源于實際問題，同時又用來解決這些實際問題.數(shù)學(xué)思維總是圍繞解決某一問題而展開，如數(shù)學(xué)概念的建立，一個定理的推證，一種新的算法的形成都是通過數(shù)學(xué)思維尋找、探索其解決問題的方法來實現(xiàn)的.因此，數(shù)學(xué)思維就被賦予探索的性質(zhì).探索的結(jié)果，必然有新的聯(lián)系的產(chǎn)生，新的規(guī)律的出現(xiàn)，這就是創(chuàng)新的結(jié)果，潛能開發(fā)必在其中.3.4統(tǒng)一性

統(tǒng)一性是指數(shù)學(xué)思維有本質(zhì)上的一致性.許多數(shù)學(xué)知識，表面上看沒有明確的聯(lián)系，

但通過深入的分析和研究，發(fā)現(xiàn)它們是有一定的內(nèi)在聯(lián)系性的.如數(shù)與形之間的聯(lián)系，數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，形與形之間的聯(lián)系，可以從不同的角度作不同層次的抽象，經(jīng)過一定層次的抽象之后，往往經(jīng)歷（或產(chǎn)生）相同或相似于其它已有的數(shù)學(xué)模式，然后用已有的模式及方法解決問題.

因此，可以說數(shù)學(xué)從它的內(nèi)容、方法、工具到結(jié)論都是抽象的，都伴隨著思維活動.離開了思維，數(shù)學(xué)教學(xué)活動將無法進行.

數(shù)學(xué)思維活動包括宏觀和微觀兩個方面，宏觀上，數(shù)學(xué)思維乃是生動活潑的策略創(chuàng)造，其中包括直覺歸納、類比聯(lián)想、觀念更新、頓悟、技巧等許多方面；微觀上，要求數(shù)學(xué)思維步步為營，言必有據(jù)，進行嚴謹?shù)倪壿嬔堇[.這兩方面的有機結(jié)合，才是數(shù)學(xué)思維的特征[8].

綜上所述：數(shù)學(xué)教學(xué)活動是思維活動的教學(xué).

參考文獻

[1]王慶人譯.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1989年.

[2]丁石孫等.數(shù)學(xué)與教育[M].長沙：湖南教育出版社， 1989年.

[3]查有梁等.數(shù)學(xué)智慧的橫向滲透[M].成都：四川教育出版社， 1990年.

[4]伊?xí)? 形象思維、數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1993（2）.

[5]中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部.今日數(shù)學(xué)及應(yīng)用[J].自然辯證法研究，1994（1）.

[6]黃泰安.略論數(shù)學(xué)教育的文化背景[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1995（6）.

[7]郭思樂.思維與數(shù)學(xué)文化[M].北京：人民教育出版社，1991年.

[8]張奠宙等.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1991年.