對(duì)人教版“充分條件”與“必要條件”定義給出方式的商榷

季偉松　屈黎明

【摘要】教科書中“充分條件”與“必要條件”的概念是直接給出的，學(xué)生即不理解為什么要提出“充分條件”與“必要條件”的概念，也沒有經(jīng)歷概念形成的提煉過程，甚至對(duì)概念的表述也是一知半解，只能是死記硬背概念而不能靈活運(yùn)用。本文通過創(chuàng)設(shè)情境，對(duì)教學(xué)進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)概念的形成過程，體會(huì)概念的內(nèi)容以及其名稱的合理性，也算是一次對(duì)概念教學(xué)的嘗試.

【關(guān)鍵詞】概念的提出；概念的形成；概念的表述；教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)教科書《人教版A版選修21》中的“充分條件與必要條件”這一節(jié)對(duì)“充分條件”與“必要條件”的定義是按照如下方式給出的：

前面我們討論了“若p ，則q”形式的命題，其中有的命題為真命題，有的命題為假命題.例如，下面兩個(gè)命題中：

（1）若x>a2+b2，則x>2ab，（2）若ab=0，則a=0，

命題（1）為真命題，命題（2）為假命題.一般地，“若p ，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可以推出q，記作pq，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件.

上面的命題（1）是真命題，即x>a2+b2x>2ab，所以“x>a2+b2”是“x>2ab”

的充分條件，“x>2ab”是“x>a2+b2”的必要條件.

在平時(shí)的教學(xué)中，大部分教師基本上也是按照以上方式給出“充分條件”與“必要條件”的定義，少數(shù)教師略有改進(jìn)，但大同小異.筆者以為，以上方式有諸多不妥之處，值得商榷.

1 為什么要提出“充分條件”與“必要條件”的概念——概念的提出

每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有其自身的背景，有的背景比較簡單，有的背景十分豐富.數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生大致有以下五種背景：（1）從現(xiàn)實(shí)模型直接得來；（2）經(jīng)過多級(jí)抽象概括得來；（3）從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來；（4）把客觀事物理想化和純粹化得出；（5）根據(jù)有理論上存在的可能性而提出.愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)更重要.因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步”.忽視對(duì)概念提出原因的教學(xué)將不利于學(xué)生創(chuàng)造力和科學(xué)鉆研精神的培養(yǎng)，也不利于學(xué)生接受新知識(shí).不少教師在概念教學(xué)中，完全忽視概念產(chǎn)生的背景，經(jīng)常突如其來地告訴學(xué)生一個(gè)新概念.至于為什么要提出這個(gè)概念，學(xué)生缺乏心理和知識(shí)的準(zhǔn)備，覺得一頭霧水，讓學(xué)生只知其然，不知其所以然.“充分條件與必要條件”的知識(shí)來源于《邏輯學(xué)》，《邏輯學(xué)》是關(guān)于思維規(guī)律的學(xué)說.有時(shí)我們說某個(gè)人講話“沒有邏輯”，人們?cè)谒伎荚鯓邮刮覀兊谋硎鼍哂羞壿嬓裕⑸仙嚼碚摳叨葘?duì)其進(jìn)行研究時(shí)，就提出了“充分條件”與“必要條件”的概念.因此，為了讓學(xué)生理解為什么要提出“充分條件”與“必要條件”的概念，我們可以創(chuàng)設(shè)實(shí)際生活中關(guān)于語言表達(dá)是否具有邏輯性的情境，使學(xué)生理解提出“充分條件”與“必要條件”概念的必要性.

2為什么要取“充分條件”與“必要條件”這樣的名稱——概念的形成

教科書中“充分條件”與“必要條件”的概念是直接給出的，學(xué)生沒有經(jīng)歷概念形成的提煉過程，只感知到了冷冰冰的形式化的概念，不知道為什么pq，p就稱為q的充分條件，q稱為p的必要條件.有人可能會(huì)說這就是定義沒什么為什么，如果我們這樣給學(xué)生解釋只能說我們是“庸師”，概念的內(nèi)容以及其名稱的給出肯定有其合理的原因，我們需要設(shè)置情境讓學(xué)生理解其合理性，否則，學(xué)生只能是死記硬背概念而不會(huì)靈活運(yùn)用.概念的形成就是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性，從而形成概念.“充分條件”與“必要條件”的概念其實(shí)質(zhì)是描述條件對(duì)結(jié)論的制約程度.教師應(yīng)該抓住這一實(shí)質(zhì)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生體會(huì)概念的形成過程，體會(huì)概念的內(nèi)容以及其名稱的合理性.

3結(jié)論怎么又變成了條件，到底誰是條件，誰是結(jié)論——概念的表述

教科書“充分條件”與“必要條件”的概念是在一起定義的，顯得簡潔明了.但是，對(duì)于初學(xué)的學(xué)生而言極易引起混淆.他們對(duì)pq，p稱為q的充分條件好理解，但q稱為p的必要條件往往不能理解.因?yàn)樵趯W(xué)生看來，pq明明p是條件，怎么q稱為p的必要條件，q又變成了條件.事實(shí)上q作為條件是對(duì)“若p ，則q”的逆命題而言的.“若p ，則q”的逆命題為：“若q ，則p”.因?yàn)閜q，即qp，所以q稱為p的必要，但在學(xué)生初次接觸概念時(shí)我們這樣講解，學(xué)生是極易引起混淆的，只會(huì)被越講越糊涂.因此，筆者以為“充分條件”與“必要條件”的概念應(yīng)通過兩個(gè)命題引出，分開表述，條件就是條件，結(jié)論就是結(jié)論，不要在條件與結(jié)論之間轉(zhuǎn)變.

針對(duì)以上三個(gè)方面的問題，筆者對(duì)“充分條件與必要條件”這一節(jié)的教學(xué)進(jìn)行了精心的設(shè)計(jì)，該設(shè)計(jì)方案與傳統(tǒng)方案有較大不同，也算是一次對(duì)概念教學(xué)的嘗試，難免有不妥之處，請(qǐng)同行指正.本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)是概念的給出，因此，本文對(duì)概念的應(yīng)用鞏固，課堂小結(jié)等略去不述.

4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

4.1概念的提出

問題1：在日常生活中，有時(shí)我們會(huì)說某人說話沒有邏輯，前言不搭后語，例如：“若甲的年齡比乙大，則甲是乙的父親”.這句話“有邏輯”嗎？它的條件和結(jié)論分別是什么？

問題2：當(dāng)一句話沒有邏輯時(shí)，是指什么？要使我們的表述具有邏輯性我們需要研究什么問題？

師：當(dāng)一句話沒有邏輯時(shí)，是指由條件無法保證結(jié)論成立.要使我們的表述具有邏輯性，我們需要研究命題的條件與結(jié)論的關(guān)系，這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的“充分條件與必要條件”.事實(shí)上，前人很早以前就開始研究有關(guān)“邏輯”的問題.對(duì)“邏輯”的研究，最早可以追溯到古希臘的亞里士多德，經(jīng)過后人的發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展為一門學(xué)科——《邏輯學(xué)》.到底命題的條件與結(jié)論具有哪些關(guān)系呢？我們一起來看下面的問題.

4.2概念的形成

師：前面我們討論了“若p，則q”形式的命題，其中有的命題為真命題，有的命題為假命題.一般地，“若p ，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可以推出q，記作pq；“若p ，則q”為假命題，是指由p通過推理不能得出q.這時(shí)，我們就說，由p不能推出q，記作p≠>q.

問題3：對(duì)于一個(gè)一般的“若p ，則q”形式的命題，請(qǐng)用符號(hào)“”與“≠>”表示條件p與結(jié)論q之間的所有可能關(guān)系.

生：條件p與結(jié)論q之間有下列四種關(guān)系：

（1）pq，p<≠q；（2）p≠>q，pq；（3）pq，pq；（4）p≠>q，p<≠q

問題4：用以上p與q的四種關(guān)系填寫下表：

問題5：思考以上命題（1）、（2）的條件p對(duì)保證結(jié)論q的成立所起的作用.

師：在命題（1）中，pq，也就是說條件p： 張三是高中生，有“足夠”的理由保證結(jié)論q： 張三是中學(xué)生成立.在數(shù)學(xué)中，對(duì)于這里的“足夠”人們習(xí)慣用它的同義詞“充分”來稱呼，因此，我們稱p是q的充分條件.一般地，若pq，則稱p是q的充分條件.

師：在命題（2）中，p≠>q，也就是說條件p沒有充分的理由保證結(jié)論q成立，我們稱p為q的不充分條件.

師：在命題（2）中，p≠>q，條件p沒有充分的理由保證結(jié)論q成立，但是我們發(fā)現(xiàn)在命題（2）中，pq，這說明p與q之間應(yīng)該是有一些邏輯聯(lián)系的，條件p對(duì)結(jié)論q有著怎樣的影響呢？

師：在命題（2）中，如果甲的年齡不比乙大，則甲一定不是乙的父親，也就是說，“甲的年齡比乙大”是“甲是乙的父親”成立所“必須”的條件.我們把這樣的條件稱為結(jié)論的必要條件，即，p是q的必要條件.一般地，若pq，則稱p是q的必要條件.這里的“必要”是必不可少的意思.

師：在命題（1）中，p<≠q，能否稱p是q的不必要條件呢？

師：在命題（1）中，“張三是高中生”不是“張三是中學(xué)生”所必不可少的條件，如“張三是初中生”也能得到“張三是中學(xué)生”.因此，我們稱p是q的不必要條件.

師：綜上分析知：一般地，若pq，則稱p是q的充分條件；p≠>q，則稱p為q的不充分條件；若pq，則稱p是q的必要條件；p<≠q，則稱p為q的不必要條件.

問題6：命題“若p ，則q”的條件p與結(jié)論q具有如下幾組關(guān)系，請(qǐng)完成下表：

師：要使我們的表述具有邏輯性，一句話的條件p與結(jié)論q應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？

生：條件p應(yīng)是結(jié)論q的充分條件.

（概念的應(yīng)用鞏固，課堂小結(jié)等略去不述）

5教學(xué)反思

通過對(duì)“充分條件與必要條件”這節(jié)課的設(shè)計(jì)與思考，筆者對(duì)如何上好概念課有如下想法：

5.1用教材而不是教教材

“充分條件與必要條件”這是一節(jié)比較難上的概念課.在平時(shí)的教學(xué)中我們往往過多地依靠課本所提供的思路，在教學(xué)設(shè)計(jì)上難以有所突破，使得設(shè)計(jì)思路不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.教材往往把某一節(jié)的知識(shí)比較系統(tǒng)化、理論化地呈現(xiàn)出來.我們不能照本宣科，教師所要做的就是依靠教材，把這些生硬的知識(shí)通過自己的設(shè)計(jì)，生動(dòng)淺顯地呈現(xiàn)給學(xué)生.教材只是我們備課時(shí)參考的諸多素材中最主要的一種，我們要用教材而不是教教材.

5.2概念教學(xué)不可忽視的兩個(gè)環(huán)節(jié)

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要經(jīng)歷背景分析（概念的提出）、內(nèi)涵提煉（概念的生成）、外延辨別（概念辨析）和實(shí)際運(yùn)用幾個(gè)環(huán)節(jié).當(dāng)前，概念教學(xué)常常采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的方式.在概念的背景引入上著墨不夠，在概念的內(nèi)涵提煉上，沒有給學(xué)生提供充分的概括概念本質(zhì)特征的機(jī)會(huì).認(rèn)為讓學(xué)生直接記住概念，節(jié)省時(shí)間出來多做幾道題目更實(shí)惠.很多教師都忽視了“概念的提出”與“概念的生成”這兩個(gè)環(huán)節(jié).這導(dǎo)致了教師的概念教學(xué)枯燥無味，學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)死記硬背，不求甚解.學(xué)生在沒有理解概念的情況下匆忙去解題，這使得他們只會(huì)模仿教師解決某些典型例題的解法，一旦遇到新的題目就束手無策.筆者以為，“概念的提出”與“概念的生成”這兩個(gè)環(huán)節(jié)是概念教學(xué)的“血”和“肉”，抽象的形式化的概念是概念教學(xué)的“骨”.在概念教學(xué)中沒有了“血”和“肉”，只剩下“骨”當(dāng)然就干癟無味了.在概念教學(xué)中把“血”和“肉”與“骨”結(jié)合在一起，才能使我們的教學(xué)鮮活生動(dòng).另外，從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、探究意識(shí)、鉆研精神、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí)的角度來說，這兩個(gè)環(huán)節(jié)更加重要.在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，每一個(gè)概念的提出、概念的生成都經(jīng)歷了很長時(shí)間的積累，包涵著無數(shù)數(shù)學(xué)家的智慧，這里正是一個(gè)展示數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)家的鉆研精神和睿智的好場所.因此，我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)切不可忽視這兩個(gè)環(huán)節(jié).否則，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空.以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正.

作者簡介季偉松（1975—），男，浙江寧海人，中學(xué)一級(jí)教師. 研究方向：數(shù)學(xué)教育.

屈黎明（1979—）， 男，湖北漢川人，中學(xué)一級(jí)教師. 研究方向：數(shù)學(xué)教育.