數(shù)論知識融入高考試題成新熱點(diǎn)

【摘要】數(shù)論知識在近年悄然滲透到高考數(shù)學(xué)之中，命題者編制出不少典型且巧妙的試題，使高考數(shù)學(xué)與自主招生甚至競賽數(shù)學(xué)拉近了距離.文章從取整函數(shù)、不定方程、奇數(shù)與偶數(shù)、倍數(shù)與余數(shù)、同余與剩余幾個(gè)方面，介紹數(shù)論常被考查到的知識點(diǎn)，探究融入數(shù)論知識的高考數(shù)學(xué)試題的解題方法與策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)論；取整函數(shù)；不定方程；奇偶分析；同余

數(shù)論知識原是數(shù)學(xué)競賽內(nèi)容，近年悄然融入到高考數(shù)學(xué)試題之中，先是在選擇填空題中占一席之地，后來登堂入室解答題甚至壓軸題，與數(shù)列、函數(shù)、不等式知識聯(lián)袂出現(xiàn)，蔚然成為高考數(shù)學(xué)的新熱點(diǎn).這類試題覆蓋面廣、構(gòu)思精巧、難度較大，深入研究這類試題很有必要.本文試圖通過數(shù)論知識分類，探討此類試題的解題思想與解題方法.1取整函數(shù)

取整函數(shù)也稱為高斯函數(shù)，用符號[x]表示，定義為不大于x的最大整數(shù)； 取整函數(shù)?？疾榈降闹R點(diǎn)與性質(zhì)有：

2不定方程

變量取整數(shù)的方程稱為不定方程，不定方程是數(shù)論中一個(gè)十分重要的課題[1].一般多元一次不定方程用輾轉(zhuǎn)相除法.其他不定方程的類型很多，解題大多用到奇偶分析法、因式分解法、分類討論法、換元法、構(gòu)造法、無窮遞降法、不等式估計(jì)法、同余法等.不少不定方程求解難度很大，甚至成為世界難題.

例2（2007年高考湖北理科數(shù)學(xué)第21題）已知m，n為正整數(shù)，

綜上，不定方程的解只有n=2，3.

評注求解不定方程用到了不等式估計(jì)法與分類討論法.第（Ⅲ）題是埃斯柯特問題的一個(gè)特例.我國數(shù)學(xué)家柯召與孫琦曾經(jīng)研究了更一般的不定方程：xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n，獲得了較重要的成果[2].

3奇數(shù)與偶數(shù)

4倍數(shù)與余數(shù)

設(shè)a，b∈[WTHZ]Z[WTBX]，存在唯一的整數(shù)對（q，r），使a=bq+r，其中0

（1）a|b且b|ca|c；（2）a|b，a|ca|xc+yb（x， y∈[WTHZ]Z[WTBX]）；（3）（a，b）=1，且

a|c，b|cab|c；（4）若（a，b）=1，a|bca|c.

例4（2015年高考北京理科數(shù)學(xué)第22題）已知數(shù)列{an}滿足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*，a1≤36，且an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，2an-36 ，an>18，[JB）]（n=1 ，2 ，…）

.記集合M={an|n∈[WTHZ]N[WTBX]*}.

（Ⅰ）若a1=6，寫出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；

（Ⅲ）求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

解（Ⅰ）由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]可知：a1=6，a2=12，a3=24，a4=12， 所以M={6，12，24}.

（Ⅱ）因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)，由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]，可用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意n≥k，an是3的倍數(shù).當(dāng)k=1時(shí)，M中的所有元素都是3的倍數(shù)；如果k>1時(shí)，因ak=2ak-1或2ak-1-36， 所以3|2ak-1，又（2，3）=1，于是3|ak-1，即ak-1是3的倍數(shù).類似可得，ak-2，…，a1都是3的倍數(shù)，從而對任意n≥1，an是3的倍數(shù).因此，M的所有元素都是3的倍數(shù).

（Ⅲ）由于M中的元素都不超過36，由a1≤36，易得a2≤36，類似可得an≤36，其次M中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù)，由an的定義可知，第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，由定義可知，an+1和2an除以9的余數(shù)一樣.

（1）若{an}中有3的倍數(shù)，由 （Ⅱ）知，所有的an都是3的倍數(shù)，所以an除以9的余數(shù)是3，6，3，6，…，或6，3，6，3， …，或0，0，0，0，….而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12，除以9余6且是4的倍數(shù)只有24，除以9余0且是4的倍數(shù)只有36，則M中的數(shù)從第3項(xiàng)起最多2項(xiàng)，加上前面的2項(xiàng)，最多4項(xiàng).

（2）{an}中沒有3的倍數(shù)，則 an都不是3的倍數(shù)，對于a3除以9的余數(shù)只能是1，4，7，2，5，8中的一個(gè)，從a3開始an除以9的余數(shù)是1，2，4，8，7，5；4，8，7，5，1，2；…，不斷的6項(xiàng)不依次序重復(fù)出現(xiàn)（可能從2，4，8，7，或5開始），從而知除以9的余數(shù)只能是1，2，4，5，7，8且為4的倍數(shù)（不大于36），只有28，20，4，16，32，8，所以M中的項(xiàng)加上前面2項(xiàng)最多有8項(xiàng).而a1=1時(shí)，M={1，2，4，8，16，32，28，20}，項(xiàng)數(shù)為8，所以集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值是8.

評注第（Ⅲ）題也可以用窮舉法來解，因?yàn)閍1≤36，討論還不算太繁雜.發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}的周期性，是解決這一問的關(guān)鍵.討論數(shù)列{an}每一項(xiàng)被9除的余數(shù)，使解題過程化繁為簡.5同余與剩余類

同余的定義：設(shè)m≠0，若m|（a-b），即a-b=km，則稱a同余于b模m，b是a對模m的剩余，記作a≡b（mod m）.剩余類定義：設(shè)m∈[WTHZ]N[WTBX]+，把全體整數(shù)按其對模m的余數(shù)r（0≤r≤m-1）歸于一類，記為Kr.每一類Kr（r=0，1，2，…，m-1）均稱為模m的剩余類.同一類中任一數(shù)稱為該類中另一數(shù)的剩余.K0，K1，…，Km-1是模m的完全剩余類.這里常被考查到的結(jié)論有：（1）a≡b（mod m），b≡c（mod m）a≡c（mod m）；（2）a≡b（mod m），c≡d（mod m）a+c≡b+d（mod m）；（4）a≡b（mod m），c≡d（mod m）ac≡bd（mod m）.例5（2015年高考江蘇數(shù)學(xué)第23題）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n}（n∈[WTHZ]N[WTBX]*），Sn={（a，b）|）a整除b或b整除a，[JB（]a∈X，b∈Yn[JB）}]，令f（n）表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù).

（1）寫出f（6）的值；

（2）當(dāng)n≥6時(shí)，寫出f（n）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解（1）根據(jù)題意按a分類計(jì)數(shù)：a=1，b=1，2，3，4，5，6；a=2，b=1，2，4，6；a=3，b=1，3，6；共13個(gè)，所以，f（6）=13.

綜上所述，結(jié)論對一切滿足n≥6的正整數(shù)n均成立.

評注第（2）題按命題者的意愿，要求考生先由不完全歸納法得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，但這樣要求，反而限制了學(xué)生的思維發(fā)散.

從上面的例題可以看到，數(shù)論知識在高考試題中的滲透比較深，不少題難度比較大.如果從來沒有進(jìn)行過數(shù)論知識的培訓(xùn)，不了解數(shù)論中的方法與技巧，學(xué)生要想在這些題上拿到高分是很不容易的.因此，我們在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該注意使用好選修教材《初等數(shù)論》，開闊學(xué)生的視野，做到有備無患.

參考文獻(xiàn)

[1]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1998.

[2] 柯召，孫琦.關(guān)于方程xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1962（2）：9-18.

作者簡介

郝保國（1958—），男，湖南祁東人，數(shù)學(xué)高級教師；主要研究方向是課程、教材、教法、競賽等；華南師大校外碩士生導(dǎo)師，廣東省優(yōu)秀教師；在《數(shù)學(xué)傳播》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等刊物共發(fā)表論文86篇，輔導(dǎo)學(xué)生獲國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌1人次.