基于微課的立體幾何性質(zhì)定理探究

摘要傳統(tǒng)立體幾何推理證明思想的缺失引發(fā)我們思考如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密.以“平面與平面平行的性質(zhì)探究”為例，借助于“翻轉(zhuǎn)課堂”的模式，通過讓學(xué)生觀看微課視頻，帶著疑問和困惑進(jìn)入課堂，進(jìn)行“性質(zhì)”的展示、交流、探索活動(dòng).通過微課讓學(xué)生擁有更多更廣的空間加強(qiáng)自身的邏輯推理能力以及思維的嚴(yán)密性.關(guān)鍵詞微課教學(xué)；傳統(tǒng)推理；性質(zhì)定理；開放探究

1立體幾何的教育價(jià)值

立體幾何學(xué)作為世界文明史的一個(gè)科學(xué)體系和幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，雖經(jīng)歷各種曲折和磨難，卻顯得更加璀璨，其根本原因就在于立體幾何本身的價(jià)值決定了它具有無可替代的教育價(jià)值.立體幾何課程以幾條簡(jiǎn)單且清楚的公理為起點(diǎn)，以嚴(yán)格的邏輯順序進(jìn)行推理，得到一系列有用的、正確的定理和結(jié)論，讓人們真正看到了理性的力量、邏輯的魅力.立體幾何學(xué)作為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，精密的推理過程呈現(xiàn)在學(xué)生面前，有利于他們形成科學(xué)的世界觀和理性精神；立體幾何材料具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)，豐富的直觀背景和鮮明的認(rèn)知層次，是一種有效的訓(xùn)練手段，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣；立體幾何學(xué)是對(duì)思維進(jìn)行系統(tǒng)的﹑較為嚴(yán)格的訓(xùn)練的一門學(xué)科，是演繹推理系統(tǒng)自然發(fā)展的一部分，有利于發(fā)展學(xué)生演繹推理和邏輯推理能力.

2目前傳統(tǒng)立體幾何教學(xué)的缺失

縱觀目前的傳統(tǒng)立體幾何教學(xué)，筆者覺得現(xiàn)在的學(xué)生較之筆者自己讀書那會(huì)兒邏輯推理能力存在一定的缺失.當(dāng)然客觀的原因是新課程改革后，在某些程度上淡化了幾何的演繹推理，人教A版必修2傳統(tǒng)立體幾何中的很多定理的證明都刪去不作要求，有些內(nèi)容也進(jìn)行了精簡(jiǎn).引進(jìn)了空間向量，空間向量確實(shí)是一個(gè)非常好的工具，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)了空間向量之后，就把傳統(tǒng)立體幾何方法拋之腦后，認(rèn)為空間向量是萬能方法，使用起來也非常便捷，不需要繁瑣的推理證明.主觀原因是教師自身也存在偏向空間向量法的傾向，很多時(shí)候（特別是當(dāng)使用傳統(tǒng)方法比較繁瑣時(shí)）只講授空間向量方法就完事了，覺得只要問題解決了就可以了.在講授傳統(tǒng)立體幾何新課時(shí)，對(duì)于定理的證明教學(xué)（教材中要求的證明）也采用不講或者一筆帶過的態(tài)度.尤其對(duì)于“平行系統(tǒng)”的教學(xué)特別缺失，原因是高考中對(duì)“平行”的證明出現(xiàn)的較少，特別是涉及到“面面平行”的題目更少，大部分考題都落在“垂直系統(tǒng)”中，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“平行系統(tǒng)”相關(guān)定理印象淺薄，推理過程錯(cuò)誤百出.再?gòu)膫鹘y(tǒng)立體幾何整體證明書寫來看，學(xué)生的邏輯推理思維顯得混亂，漏洞百出，缺乏必要的嚴(yán)密性.

3基于微課的性質(zhì)定理探究

基于以上傳統(tǒng)立體幾何教學(xué)中存在的缺失，筆者覺得有必要加強(qiáng)傳統(tǒng)立體幾何的定理探究教學(xué)，尤其是性質(zhì)定理，因?yàn)樗^“性質(zhì)定理”就是已知“線面平行”、“面面平行”、“線面垂直”、“面面垂直”能得到哪些性質(zhì)？較之“判定定理”，“性質(zhì)定理”有更大的供學(xué)生探究的空間，能更好地發(fā)揮學(xué)生的想象力與推理能力.下面筆者以“平面與平面平行的性質(zhì)探究”為例，借助于“翻轉(zhuǎn)課堂”的模式，通過讓學(xué)生觀看微課視頻之后，帶著疑問和困惑進(jìn)入課堂，進(jìn)行“性質(zhì)”的展示、交流、探索活動(dòng).3.1依托翻轉(zhuǎn)，微課引領(lǐng)

制作微課視頻，將學(xué)生進(jìn)行同組異質(zhì)、異組同質(zhì)的分組，讓有條件的小組自己集中觀看探究微課視頻中的內(nèi)容，沒有條件的小組筆者創(chuàng)造條件讓小組成員集中學(xué)習(xí).

微課視頻內(nèi)容概要：

（1）溫故知新

之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系，又系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理以及直線與平面平行的性質(zhì)定理.微課視頻引領(lǐng)學(xué)生回顧這些知識(shí)，并啟發(fā)學(xué)生思考“判定定理”與“性質(zhì)定理”的作用分別是什么，進(jìn)一步對(duì)“平行系統(tǒng)”的定理和知識(shí)展開系統(tǒng)的梳理.

（2）引領(lǐng)探究

“平行系統(tǒng)”中還存在知識(shí)缺漏，需要學(xué)生將其補(bǔ)充完整.已知兩平面平行，我們可以得到哪些性質(zhì)？一般需要添加一些條件，可以是“直線”、“平面”等等.如何從公理體系的角度證明這些性質(zhì)？

（3）任務(wù)驅(qū)動(dòng)

以小組為單位，集思廣益，收集“平面與平面平行的性質(zhì)”，并思考在諸多性質(zhì)中以哪些性質(zhì)作為定理比較合適.并思考教材確定“平面與平面平行的性質(zhì)定理”的緣由.同時(shí)將在探究過程中碰到的疑問與困惑記錄下來，待課堂上與教師、同學(xué)們交流探討.3.2成果展示，集中探究

讓學(xué)生帶著探究成果進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，每個(gè)小組將各自探究出來的“平面與平面平行的性質(zhì)”展示出來，當(dāng)然這些成果中有些是重復(fù)的，所以筆者將其進(jìn)行整理，按照一定的體系重新展示出來.

（1）已知兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個(gè)平面；（2）已知兩平面平行，則分別包含在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面，不可能相交；（3）已知兩平面平行，和其中一個(gè)平面平行的直線和另一個(gè)平面平行，或包含在另一個(gè)平面內(nèi)；（4）已知兩平面平行，和其中一個(gè)平面相交的直線也和另一個(gè)平面相交；（5）已知兩平面平行，第三個(gè)平面和其中一個(gè)平面平行，則和另一個(gè)平面也平行；（6）已知兩平面平行，第三個(gè)平面和其中一個(gè)平面相交，則和另一個(gè)平面也相交；（7）已知兩平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，則交線平行；（8）已知兩平面平行，夾在這兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)相等；（9）已知兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等；（10）已知兩平面平行，一條直線垂直于其中一個(gè)平面，則也垂直于另一個(gè)平面；（11）已知兩平面平行，一條直線與這兩個(gè)平面斜交，則斜線與這兩個(gè)平面所成的角相等；（12）已知兩平面平行，第三個(gè)平面垂直于其中一個(gè)平面，則也垂直于另一個(gè)平面；（13）已知兩平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面斜交，則第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面所成的角相等.

其中（1）（2）（3）（4）涉及了直線與平面的位置關(guān)系，（5）（6）（7）涉及了平面與平面的位置關(guān)系，（8）涉及了距離，而（9）（10）（11）（12）（13）涉及了垂直關(guān)系，需留待學(xué)完“垂直關(guān)系”后再研究.所以課堂上主要針對(duì)（1）-（8）進(jìn)行詳細(xì)探究.3.3證明當(dāng)先，釋疑解惑

提出性質(zhì)或許具有猜想的成分，體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)想象能力與猜想能力，證明這些性質(zhì)就含有演繹數(shù)學(xué)的成分，估計(jì)學(xué)生可能會(huì)存在一定的困難.筆者在此環(huán)節(jié)充分挖掘?qū)W生的潛能，此小組提出的疑問讓彼小組回答.若是全班同學(xué)都存在疑問的知識(shí)點(diǎn)，筆者就引領(lǐng)大家一起探究.此環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的新課改精神.

學(xué)生1：我來說性質(zhì)（1），由定義可知，兩平面平行，則兩平面無交點(diǎn)，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面也無交點(diǎn)，由定義可知，直線與另一個(gè)平面平行.

學(xué)生2：我來說性質(zhì)（2），由定義可知，兩平面平行，則兩平面無交點(diǎn)，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線也無交點(diǎn)，所以兩直線的位置關(guān)系是平行或異面.

學(xué)生3：性質(zhì)（3）（4）（5）（6）我認(rèn)為肯定是成立的，但看似簡(jiǎn)單卻很難用現(xiàn)有的定理或定義證明.

教師：那不如先讓我們來看性質(zhì)（7），因?yàn)榻滩纳弦孕再|(zhì)（7）作為性質(zhì)定理.請(qǐng)大家用數(shù)學(xué)符號(hào)寫出“已知”與“求證”.

學(xué)生4：如圖1所示，已知平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b，求證：a∥b.

教師：誰來證明這個(gè)性質(zhì)？

學(xué)生5：因?yàn)棣痢桅?，所以α與β無公共點(diǎn)，

而aα，bβ，所以a與b也無公共點(diǎn).

又aλ，bγ，所以a∥b.

教師：非常好！現(xiàn)在讓我們回過頭來看（4）.

師生共同：如圖2所示，已知平面α∥β，直線c∩α=A，求證：直線c與平面β也相交.

證明在平面α內(nèi)過點(diǎn)A作直線a，再過相交直線a與c作平面γ，γ∩β=b.

因?yàn)棣痢桅拢杂尚再|(zhì)（7）得到a∥b.而直線a，b，c均在平面γ內(nèi)，且c∩a=A，所以c∩b=B.

又因?yàn)閎β，所以c∩β=B，即直線c與平面β也相交.

教師：在以上的證明過程中，大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生6：性質(zhì)（4）的證明用到了，性質(zhì)（7）.

教師：對(duì)于（3），有哪位同學(xué)有想法？

學(xué)生7：如圖3所示，已知平面α∥β，直線c∥α，求證：直線c∥β或cβ.

證明過直線c作平面γ∩α=a，γ∩β=b，

因?yàn)棣痢桅?，所以由性質(zhì)（7）可知a∥b.

又因?yàn)閏∥α，且過直線c作平面γ∩α=a.

所以由線面平行的性質(zhì)定理可知c∥a且a∥b.

所以c∥b.又bβ，若cβ 則由線面平行的判定定理得c∥β；否則有cβ（若直線c與平面β相交，則有性質(zhì)（4）可知直線c與平面α也相交，這與條件“直線c∥α”相矛盾.）

教師：很好！性質(zhì)（3）的證明同樣用到了性質(zhì)（7）.下面看性質(zhì)（5），哪位同學(xué)有高見？

學(xué)生8：如圖4所示，已知平面α∥β，且γ∥α，求證：γ∥β.

證明作平面δ∩α=a，δ∩γ=b，δ∩β=c，再作平面∩α=a′，∩γ=b′，∩β=c′，其中a與a′，b與b′，c與c′均為相交直線.

因?yàn)棣痢桅?，所以由性質(zhì)（7）a∥c，a′∥c′.

又因?yàn)棣谩桅?，所以由性質(zhì)（7）a∥b，a′∥b′.

所以由平行公理4得b∥c，b′∥c′.

所以由線面平行的判定定理可得b∥β，b′∥β且b與b′為相交直線，且bγ，b′γ.

所以由面面平行的判定定理可得γ∥β.

教師：性質(zhì)（5）的證明用到了性質(zhì)（7）、“平行公理4--平行的傳遞性”、“線面平行的判定定理”和“面面平行的判定定理”.讓我們繼續(xù)看性質(zhì)（6）.

學(xué)生9：如圖5所示，已知平面α∥β，γ∩α=a，求證：γ與β也相交.

證明（反證法）假設(shè)γ∥β，則有性質(zhì)（4）可知γ∥α.

這與條件γ∩α=a相矛盾，所以假設(shè)不成立，γ與β也相交.

教師：到此為止，我們證明了性質(zhì)（3）（4）（5）（6）（7），通過上面的證明，大家應(yīng)該能體會(huì)出教材為什么將性質(zhì)（7）作為性質(zhì)定理的緣由了吧.

學(xué)生10：因?yàn)樾再|(zhì)（3）（4）（5）（6）均可以由已學(xué)的定理加上性質(zhì)（7）共同證明.

教師：很好！在面面平行的眾多性質(zhì)中選擇合適的性質(zhì)作為定理很重要，我們可以看出，做出這樣的選擇不是隨意而盲目的，而是以一定的數(shù)學(xué)公理化思想為依據(jù).下面讓我們繼續(xù)探究性質(zhì)（8）.

學(xué)生11：我來證明性質(zhì)（8）.

如圖6所示，已知平面α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，求證：|AB|=|CD|.

證明因?yàn)锳B∥CD 所以AB與CD確定一個(gè)平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=BD.因?yàn)棣痢桅?，所以由面面平行的性質(zhì)定理可得AC∥BD.

所以四邊形ABDC是平行四邊形.所以|AB|=|CD|.

3.4梳理知識(shí)，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

“平面與平面平行的性質(zhì)”是“平行系統(tǒng)”的結(jié)語，為了給“平行系統(tǒng)”畫上一個(gè)完美的句號(hào)，需要讓學(xué)生對(duì)所學(xué)與“平行”有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行梳理，形成一條線索.這樣做不僅有利于對(duì)“平行”知識(shí)的回顧反思，而且還為接下來“垂直”知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊.引導(dǎo)學(xué)生為下面“平行系統(tǒng)”中知識(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行填空，以完善知識(shí)系統(tǒng).

學(xué)生12：第①個(gè)應(yīng)該是“直線與平面平行的判定定理”.

學(xué)生13：第②個(gè)應(yīng)該是“直線與平面平行的性質(zhì)定理”.

學(xué)生14：第③個(gè)應(yīng)該是“平面與平面平行的判定定理”.

學(xué)生15：第⑥個(gè)就是今天新學(xué)的“平面與平面平行的性質(zhì)定理”.

學(xué)生16：第⑤個(gè)好像沒有現(xiàn)成的定理，那就應(yīng)該連續(xù)使用“直線與平面平行的判定定理”和“平面與平面平行的判定定理”.

學(xué)生17：剩下的第④個(gè)好像也沒有現(xiàn)成的定理??！

教師：請(qǐng)大家回顧我們今天探究的平面與平面平行的性質(zhì)（1）——（8），其中哪一條可以放入④比較合適？

學(xué)生18：性質(zhì)（1）.

教師：對(duì)！性質(zhì)（1）的證明比較簡(jiǎn)單，所以在平時(shí)的證題中我們一般可以直接拿來用.

3.5自主編題，開放交流

較之教師給出例題讓學(xué)生解答，由學(xué)生自主命題的活動(dòng)更能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與主動(dòng)性，充分體現(xiàn)“生本”理念，讓學(xué)生體驗(yàn)命題的滋味，揭開命題的神秘感，克服面對(duì)考試的恐懼心理.組織學(xué)生以小組為單位，運(yùn)用本節(jié)課學(xué)習(xí)的“平面與平面平行的性質(zhì)”，當(dāng)然也可以結(jié)合之前學(xué)過的定理，自主編擬一些問題.

筆者給出編題載體：人教A版必修2第62頁(yè)A組題第8題：如圖8所示，直線AA′、BB′、CC′相交于點(diǎn)O，AO=A′O，BO=B′O，CO=C′O，求證：平面ABC∥平面A′B′C′.

引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)改變、添加條件或結(jié)論得到一些新的問題，并能使此新問題在解答過程中運(yùn)用今天新學(xué)的“平面與平面平行的性質(zhì)定理”.然后對(duì)于學(xué)生編制的一些質(zhì)量較好的題目，筆者將之展示出來請(qǐng)大家一起探討解答.

學(xué)生19：如圖9所示，平面ABC∥平面A′B′C′，直線AA′與直線BB′相交于點(diǎn)O.求證：AB∥A′B′.

教師：請(qǐng)哪個(gè)小組的成員來解答一下.

學(xué)生20：因?yàn)橹本€AA′與直線BB′相交于點(diǎn)O，所以直線AA′與直線BB′確定一個(gè)平面，

記作平面ABA′B′.

又因?yàn)槠矫鍭BC∥平面A′B′C′，且平面ABA′B′∩平面ABC=AB，

平面ABA′B′∩平面A′B′C′=A′B′，所以AB∥A′B′.

學(xué)生21：如圖8所示，平面ABC∥平面A′B′C′，△ABC與△A′B′C′是兩個(gè)全等的等邊三角形，直線AA′、BB′、CC′相交于點(diǎn)O.求證：AB′∥A′B，BC′∥B′C，AC′∥A′C.

學(xué)生22：因?yàn)橹本€AA′與直線BB′相交于點(diǎn)O，所以直線AA′與直線BB′確定一個(gè)平面，記作平面ABA′B′.

又因?yàn)槠矫鍭BC∥平面A′B′C′，且平面ABA′B′∩平面ABC=AB.

平面ABA′B′∩平面A′B′C′=A′B′，所以AB∥A′B′.

又因?yàn)椤鰽BC與△A′B′C′是兩個(gè)全等的等邊三角形，所以|AB|=|A′B′|，所以四邊形ABA′B′是平行四邊形.

所以AB′∥A′B. 同理可證BC′∥B′C，AC′∥A′C.

學(xué)生23：我也來編一題.如圖8所示，平面ABC∥平面A′B′C′，△ABC與△A′B′C′是兩個(gè)全等的邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，直線AA′、BB′、CC′相交于點(diǎn)O，|B′C|=4 ，|A′B|=23.求證：異面直線A′C′與AB′所成角為直角.

學(xué)生24：首先由前面那位同學(xué)的證明可知：四邊形ABA′B′是平行四邊形.

所以AB′∥A′B且|AB′|=|A′B|=23，

又|B′C|=4，△ABC與△A′B′C′是兩個(gè)全等的邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以由勾股定理得AB′⊥AC.

又由“平面與平面平行的性質(zhì)定理”可知：AC∥A′C′，

所以相交直線AC與AB′所成直角或銳角就是異面直線A′C′與AB′所成角.

所以異面直線A′C′與AB′所成角為π2.

作者簡(jiǎn)介俞昕，女；中教高級(jí)；主要研究方向：數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)校本課程等.