善用數(shù)形結(jié)合 提升思維品質(zhì)

摘" 要：數(shù)形結(jié)合思想包含以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個(gè)方面：將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；將形的問題借助數(shù)來思考，分析其代數(shù)含義. 將數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合，通過形的直觀性和數(shù)的精確性尋找解題思路. 在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合的策略被廣泛采用，其核心在于精確構(gòu)建圖形、辨識(shí)數(shù)量關(guān)系，以及運(yùn)用恰當(dāng)?shù)倪壿嬐评矸椒? 這種策略能夠拓展數(shù)學(xué)思維的深度與廣度，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的思維方式.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；直觀理解；邏輯推理

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）04-0059-06

引用格式：柏任俊，李錚錚，賈春花. 善用數(shù)形結(jié)合" 提升思維品質(zhì)［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（4）：59-64.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力.” 鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科固有的抽象本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得舉足輕重——它如同一座橋梁，將那些看似遙遠(yuǎn)與復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題巧妙地轉(zhuǎn)化為直觀明了、富有生氣的畫面，不僅照亮了理解的路徑，也激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)之美的感知與追求. 通過數(shù)形結(jié)合思想的引領(lǐng)，我們能夠更加全面、深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題. 本文主要從“形”的多姿、“形”的直觀、“形”的深化、“數(shù)”的表征這四個(gè)方面闡述數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

一、“形”的多姿

數(shù)形結(jié)合的根基在于精確作圖，而非隨意勾畫. 隨意作圖可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的判斷. 因此，準(zhǔn)確作圖是進(jìn)行邏輯推理的關(guān)鍵. 在數(shù)形結(jié)合的過程中，重要的是深入挖掘圖形的幾何特征，觀察圖形的變化趨勢和增長速度. 同時(shí)，要平衡對數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的關(guān)注，確保從數(shù)到形和從形到數(shù)的雙向思考，避免因圖形不準(zhǔn)確而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

例1" 方程[2x=x2]的解的個(gè)數(shù)是（" " ）.

（A）[0]" " " " " （B）[1]

（C）[2] " " " （D）[3]

解析：此題所給方程是超越方程，只需要判斷解的個(gè)數(shù)而不需要求出具體的根，故而畫出函數(shù)[y=x2]和[y=2x]的圖象，確定兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可. 關(guān)鍵在于兩個(gè)圖象間的關(guān)系要準(zhǔn)確地體現(xiàn)出指數(shù)函數(shù)幾何增長的特點(diǎn). 在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)[y=x2]和[y=2x]的圖象，如圖1所示，可以確定答案選D.

此題的易錯(cuò)點(diǎn)在于學(xué)生只看到當(dāng)[x=2]時(shí)，指數(shù)函數(shù)[y=2x]的圖象與二次函數(shù)[y=x2]的圖象的第二次相遇，沒有注意到當(dāng)[x=4]時(shí)，指數(shù)函數(shù)[y=2x]的圖象與二次函數(shù)[y=x2]的圖象的第三次相遇，畫圖如圖2所示，最終錯(cuò)選選項(xiàng)C.

變式：方程[ex=x2]的解的個(gè)數(shù)是（" " ）.

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

解析：此題與例1類似，只是想說明量變引起質(zhì)變. 學(xué)生求解的難點(diǎn)在于不易判斷兩個(gè)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是否有交點(diǎn). 數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在當(dāng)形不易判斷時(shí)，便需要借助數(shù)的邏輯力量. 我們可以從平均變化率的角度分析：在區(qū)間[0，1]上，[y=ex]的平均變化率為[e1-e01-0=e-1]，[y=x2]的平均變化率為[12-01-0=1]，故[y=ex]的增長速度比[y=x2]的增長速度快；在區(qū)間[1，2]上，[y=ex]的平均變化率為[e2-e12-1=e2-e]，[y=x2]的平均變化率為[22-122-1=3]，故[y=ex]的增長速度比[y=x2]的增長速度快；在區(qū)間[2，3]上，[y=ex]的平均變化率為[e3-e23-2=e3-e2]，[y=x2]的平均變化率為[32-223-2=5]，故[y=ex]的增長速度比[y=x2]的增長速度快，并且[y=ex]的增幅越來越大. 由于指數(shù)函數(shù)[y=ex]最后呈爆炸式增長，故我們可以判斷指數(shù)函數(shù)[y=ex]在第一象限內(nèi)的增長速度一直比[y=x2]的增長速度快，由此可以判斷函數(shù)[y=ex]和[y=x2]在第一象限內(nèi)沒有交點(diǎn)，結(jié)合圖3，可以判斷方程[ex=x2]的解的個(gè)數(shù)是[1]. 故答案選B.

例2" 方程[lgx+4=10x]的根的情況是（" " ）.

（A）僅有一個(gè)根

（B）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根

（C）有兩個(gè)負(fù)根

（D）沒有實(shí)數(shù)根

解析：此題仍然需要將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題求解，關(guān)鍵在于對交點(diǎn)位置的判斷，判斷的依據(jù)是對相關(guān)數(shù)值大小的比較. 如圖4，在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)[y=lgx+4]和[y=10x]的圖象，可以確定答案選C.

此題的易錯(cuò)點(diǎn)之一是作圖不準(zhǔn)確. 如圖5，在圖象與[y]軸交點(diǎn)的作圖處出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)選選項(xiàng)B. 正確的思路是要考慮當(dāng)[x=0]時(shí)兩個(gè)函數(shù)值的大小，得到一個(gè)是[y=lg4]，另一個(gè)是[y=100=1]，且容易判斷出[lg4lt;1]，從而確定函數(shù)[y=10x]的圖象與[y]軸的交點(diǎn)在函數(shù)[y=lgx+4]的圖象與y軸的交點(diǎn)的上方.

此題的易錯(cuò)點(diǎn)之二是認(rèn)為函數(shù)[y=lgx+4]的圖象完全在指數(shù)函數(shù)[y=10x]的下方，錯(cuò)誤作圖如圖6所示，進(jìn)而錯(cuò)選選項(xiàng)D. 學(xué)生要體會(huì)到“指數(shù)函數(shù)不僅增得快，降得也快”. 當(dāng)[x=-1]時(shí)，兩個(gè)函數(shù)值一個(gè)是[y=lg3]，另一個(gè)是[y=10-1=0.1]，且能夠通過指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算，確定這兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，將[0.1]寫成同底的對數(shù)，[110=lg10110]，易判斷[10110lt;3]，通過比較真數(shù)的大小，判斷出兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-1，0]內(nèi)必存在一個(gè)交點(diǎn).

此類問題的本質(zhì)在于考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求解過程中要關(guān)注函數(shù)值的變化幅度，判斷函數(shù)圖象的位置關(guān)系，通過數(shù)的運(yùn)算、不等關(guān)系的確定，比較一些數(shù)值的大小，判斷出交點(diǎn)存在的區(qū)間，本質(zhì)是變化率和數(shù)的級(jí)別問題.

二、“形”的直觀

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有許多看似普通的題目，但實(shí)際上卻是我們熟悉的圖形的代數(shù)表達(dá). 挖掘并識(shí)別這些圖形的幾何特征，對于解決問題、適應(yīng)問題的變化，以及深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，都具有極大的促進(jìn)作用，我們先看下面兩道例題.

例3" 證明：[lnx≤x-1].

證明：設(shè)[hx=lnx-x+1][xgt;0]，

則[hx=1x-1].

令[hx=0]，得[x=1].

當(dāng)0 lt; x lt; 1時(shí)，[hx]gt; 0；當(dāng)x gt; 1時(shí)，[hx]lt; 0，

所以函數(shù)[hx]在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，+∞]單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x = 1時(shí)，[hx]取得最大值[h1=0].

所以[hx≤0]，

即[lnx≤x-1].

例4" 設(shè)函數(shù)[fx=ex-lnx+2]，證明：[fxgt;0].

證明：由題意，得[fx=ex-1x+2].

顯然[fx=ex-1x+2]在區(qū)間[-2，+∞]上單調(diào)遞增.

因?yàn)閇f-1=e-1-1lt;0]，[f0=12gt;0]，

所以[fx]在[-2，+∞]上有唯一零點(diǎn)[x0]，[x0∈][-1，0]，即[fx0=0].

當(dāng)[-2lt;xlt;x0]時(shí)，[fxlt;0]，

所以[fx]在區(qū)間[-2，x0]上單調(diào)遞減.

當(dāng)[xgt;x0]時(shí)，[fxgt;0]，

所以[fx]在區(qū)間[x0，+∞]上單調(diào)遞增.

故[fxmin=fx0=ex0-lnx0+2].

因?yàn)閇fx0=ex0-1x0+2=0]，

所以[ex0=1x0+2].

兩邊取以[e]為底的對數(shù)化簡，得[x0=-lnx0+2].

所以[fx0=ex0-lnx0+2=1x0+2+x0=x0+12x0+2gt;0]，

即[fxmingt;0].

所以[fxgt;0].

顯然，這種證法對學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算能力的要求比較高. 那么，有沒有更簡單的方法呢？例3和例4之間有沒有關(guān)聯(lián)呢？例3的結(jié)論對解決例4有何啟示呢？下面我們對例3進(jìn)行深入分析，充分挖掘其代數(shù)結(jié)論背后的幾何背景，以此展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想中蘊(yùn)含的豐富價(jià)值和深刻內(nèi)涵. 這樣的探索不僅能提升解題能力，還能深化對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用.

拓展1：曲線間的位置關(guān)系.

[lnx≤x-1]表示的圖象的含義是：除點(diǎn)[1，0]外，函數(shù)[y=lnx]圖象上的點(diǎn)都在點(diǎn)[1，0]處的切線[y=x-1]的下方，如圖7所示. 此外，還能得到如下一些相關(guān)不等式的結(jié)論.

結(jié)論1：[ex≥x+1].

推導(dǎo)過程：用[x+1]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx+1≤x]，化為指數(shù)式后得到：[ex≥x+1]. 它表示的圖象含義是：除點(diǎn)[0，1]外，函數(shù)[y=ex]圖象上的點(diǎn)都在點(diǎn)[0，1]處的切線[y=x+1]的上方，如圖8所示.

結(jié)論2：[lnx≥1-1x].

推導(dǎo)過程：用[1x]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx≥1-1x]. 它表示的圖象含義是：當(dāng)[xgt;0]時(shí)，除點(diǎn)[1，0]外，函數(shù)[y=lnx]圖象上的點(diǎn)都在曲線[y=1-1x]的上方，如圖9所示.

拓展2：借助拓展1的結(jié)論，可以跨越指數(shù)函數(shù)與切線、對數(shù)函數(shù)與切線直接構(gòu)成指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間的多個(gè)結(jié)論.

結(jié)論3：[exgt;lnx+2].

推導(dǎo)過程：用[x+2]代替[lnx≤x-1]中的[x]，整理后得到[lnx+2≤x+1]，由結(jié)論1可知[ex≥x+1]，故[ex≥x+1≥lnx+2]. 因?yàn)榈忍?hào)取得條件不一致，所以當(dāng)[xgt;-2]時(shí)，[exgt;lnx+2]成立，對應(yīng)圖象如圖10所示. 這正好就是例4要解決的問題.

類似地，我們還可以得到以下幾個(gè)結(jié)論.

結(jié)論4：當(dāng)[xgt;0]時(shí)，[ex-1gt;lnx+1]. 對應(yīng)圖象如圖11所示.

結(jié)論5：當(dāng)[xgt;0]時(shí)，[ex≥ex≥elnx+1]. 對應(yīng)圖象如圖12所示.

綜上所述，從例3這個(gè)簡單的導(dǎo)數(shù)問題出發(fā)，通過拓展1，我們發(fā)現(xiàn)了一系列熟悉的函數(shù)圖象關(guān)系，由拓展2，我們發(fā)現(xiàn)了例4實(shí)際上就是例3的變形. 借助這種思路，我們還可以開拓更加豐富的圖形和代數(shù)命題. 這種探究方式，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑.

代數(shù)式背后可能隱藏著豐富的幾何意義，而幾何圖形又能展現(xiàn)多樣的代數(shù)結(jié)構(gòu). 這樣的轉(zhuǎn)換使得抽象問題變得具體，復(fù)雜問題變得簡單. 正所謂“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合思想不僅能夠深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，還能構(gòu)建一個(gè)充滿變幻的數(shù)學(xué)世界. 靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能夠提升思維品質(zhì)，還能增強(qiáng)數(shù)學(xué)技能.

三、“形”的深化

在處理圖象和圖形問題時(shí)，單一的屬性通常不足以描繪完整的圖象. 例如，根據(jù)角度，三角形可以細(xì)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；直角三角形又可以進(jìn)一步分為等腰直角三角形和非等腰直角三角形. 因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們不僅需要積累模型和經(jīng)驗(yàn)，還應(yīng)該敏銳地捕捉不同個(gè)體之間的細(xì)微差異.

在導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用中，對函數(shù)單調(diào)性的研究是十分重要的. 但是，僅研究單調(diào)性而忽略圖形的差異，也有可能導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.

例5" 求函數(shù)[fx=xex]的圖象與直線[y=1]交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

下面給出兩名學(xué)生的不同解法.

生1的解法：由題意，得[fx=exx+1].

令[fx=0]，得[x=-1].

當(dāng)[xlt;-1]時(shí)，[fxlt;0]；

當(dāng)[xgt;-1]時(shí)，[fxgt;0.]

所以函數(shù)[fx]在區(qū)間[-∞，-1]上單調(diào)遞減；在區(qū)間[-1，+∞]上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)[fx]的最小值是[f-1=-1elt;0]. 如圖13，函數(shù)[fx=xex]的圖象與直線[y=1]有兩個(gè)交點(diǎn).

生2的解法：令[xex=1]，解得[ex]=[1x]，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[y=ex]和[y=1x]圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù). 由圖14可知，函數(shù)[y=ex]和[y=1x]的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

以上得到了兩種不同的結(jié)論，顯然生2的答案是正確的. 其實(shí)，生1得到的函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最小值是正確的，只是在畫函數(shù)圖象的示意圖時(shí)想當(dāng)然地認(rèn)為函數(shù)圖象的單調(diào)遞減就是“從天而降”，單調(diào)遞增就是“一怒沖天”，而忽略了指數(shù)函數(shù)[y=ex]在[x→-∞]時(shí)[ex→0]的特點(diǎn)，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤.

實(shí)際上，[fx=xex]只在x = 0處存在一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)[xgt;0]時(shí)，函數(shù)[fx=xexgt;0]恒成立，且函數(shù)無最大值，其圖象與直線[y=1]必有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)[xlt;0]時(shí)，函數(shù)[fx=xexlt;0]恒成立，其圖象與直線[y=1]無交點(diǎn). 也就是說，圖13中[y]軸左側(cè)的圖象是錯(cuò)誤的，[fx=xex]的圖象不能夠穿過[x]軸，即其在[y]軸左側(cè)的圖象表現(xiàn)為“上不來”“不穿軸”，函數(shù)[fx=xex]正確的示意圖應(yīng)該如圖15所示，所以函數(shù)[fx=xex]的圖象與直線[y=1]只有一個(gè)交點(diǎn).

對于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，僅研究單調(diào)性是不夠的，還需要增加關(guān)于函數(shù)變化趨勢的研究，尤其是與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)相關(guān)的初等函數(shù)，[y=ex]，[y=lnx]，[y=1x]等函數(shù)的圖象受漸近線的影響，會(huì)改變走勢，故不能夠仿照二次函數(shù)、三次函數(shù)的圖象畫示意圖.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制訂解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合思考的習(xí)慣. 解題時(shí)先想圖，再以圖輔助解題. 用好數(shù)形結(jié)合思想，能收到事半功倍的效果.

四、“數(shù)”的表征

數(shù)學(xué)以其公理化和形式化的特性而著稱，我們有必要理解那些抽象符號(hào)和多樣的代數(shù)表達(dá)式所蘊(yùn)含的幾何意義，這樣才能利用圖形和圖象有效地解決問題.

例6" 某棵果樹前[n]年的總產(chǎn)量[Sn]與[n]之間的關(guān)系如圖16所示，從目前記錄的結(jié)果來看，前[m]年的年平均產(chǎn)量最高，則[m]的值為（" " ）.

（A）[5] （B）[7]

（C）[9] （D）[11]

解析：年平均產(chǎn)量即[Snn]，也就是圖形中的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率. 明確了這一點(diǎn)，對此題的求解就只需要由原點(diǎn)出發(fā)作直線（如圖17），在圖上各點(diǎn)之中找到斜率最大的點(diǎn)即可. 故答案選C.

此題背景簡單，敘述簡潔，既是應(yīng)用題，又是創(chuàng)新題，考查的知識(shí)與數(shù)列的和密切相關(guān)，雖然沒有數(shù)值運(yùn)算，但是考查了最值的發(fā)生時(shí)刻. 解題時(shí)可以代入[n=1，2，3]求解，以理解年平均產(chǎn)量[Snn]的概念；也可以借助數(shù)的特征快速求解. 解題方法比較靈活，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì).

例7" 已知函數(shù)[fx=log2x+1]，且[agt;bgt;cgt;0]，則（" " ）.

（A）[faagt;fbbgt;fcc]

（B）[fccgt;fbbgt;faa]

（C）[fbbgt;faagt;fcc]

（D）[faagt;fccgt;fbb]

解析1：構(gòu)建函數(shù)[gx=fxx=log2x+1x]，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，這樣做的缺點(diǎn)是運(yùn)算量較大.

解析2：我們可以將[faa， fbb， fcc]分別看成[fa-0a-0， fb-0b-0， fc-0c-0]，它們分別表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)[Aa，fa，Bb，fb，Cc，fc]與原點(diǎn)連線的斜率. 如圖18，通過作圖定性分析可以發(fā)現(xiàn)[kOCgt;kOBgt;kOA]，所以[fccgt;fbbgt;faa]. 故答案選B.

通過對比容易看出，利用數(shù)形結(jié)合求解直觀且容易接受，避免了復(fù)雜的求導(dǎo)變形，也減少了計(jì)算量，更容易讓學(xué)生接受.

用函數(shù)解析式、函數(shù)方程、函數(shù)不等式來表達(dá)圖象的性質(zhì)，進(jìn)而利用這些性質(zhì)對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和解答，可以避免直譯和直接代入進(jìn)行運(yùn)算. 數(shù)形結(jié)合對數(shù)學(xué)問題求解具有重要價(jià)值，需要認(rèn)真作圖、識(shí)圖，掌握數(shù)學(xué)的基本特征，尋找運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)鍵時(shí)刻位置.

解決數(shù)學(xué)問題通常是一個(gè)多層次、多角度的思維過程，每個(gè)人對問題的理解都有差異. 數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)思想方法，更是一種重要的思維方式，它能夠讓抽象的問題變得直觀，讓復(fù)雜的問題變得簡單. 因此，在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們應(yīng)該恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)思維的深度與廣度，享受數(shù)學(xué)帶來的樂趣.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.