利用旋轉(zhuǎn)法妙解一類解三角形問題*

●鄧 城

(增城中學(xué),廣東 廣州 511300)

高中數(shù)學(xué)中的解三角形問題一般利用正弦定理和余弦定理等方法來解決，其解題特點是充分利用已知條件建立等式，同時注重對各種量的處理，往往需要一定的變形化簡技巧，計算量有時較大.然而對于某些具有特殊幾何條件的解三角形問題，采用幾何中旋轉(zhuǎn)圖形的方法比用正余弦定理的方法更加簡捷直觀.現(xiàn)舉例展示如下：

圖1

例1 如圖1所示，點D是△ABC內(nèi)部的一點，AB=AC，∠BAC=90°，DB=3，CD=5，∠BDA=135°，求AD的長.

分析 題目從表面看屬于常規(guī)的解三角形問題，已知條件有邊有角，容易想到從正余弦定理的角度尋找關(guān)系式，通過一個或幾個方程來求出AD的長.

由于題目中條件DB=3,CD=5和∠BDA=135°并不是在同一個三角形中，這使得要使用正余弦定理的話還需再引入幾個量，并且要考慮好正余弦定理用在何處.

解法1 設(shè)AD=x，AB=y，∠BAD=θ,在△ABD中，由正弦定理得

(1)

由余弦定理得

y2=BD2+x2-2x·BD·cos 135°=

(2)

在△ADC中，由余弦定理得

CD2=CA2+AD2-2CA·AD·cos(90°-θ),

化簡得

25=x2+y2-2xy·sinθ,

(3)

將式(1)、式(2)代入式(3)，得

圖2

點評 以上解法需要想到添設(shè)∠BAD=θ和AB=y，并用了一次正弦定理和兩次余弦定理，有一定的思考難度和變形化簡難度，綜合性較強.但若注意到△ABC是等腰直角三角形，且∠BDA=135°是個特殊角，可以嘗試考慮旋轉(zhuǎn)三角形，將某些邊旋轉(zhuǎn)到不同位置，構(gòu)建新的幾何關(guān)系.

解法2 由于AB=AC，∠BAC=90°，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，如圖2所示.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得△ADE是等腰直角三角形，∠CEA=135°，從而

∠CED=135°-45°=90°，

于是

CD2=CE2+DE2.

又由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知CE=BD，得

CD2=BD2+DE2，

因為△ADE是等腰直角三角形，所以

DE2=2AD2，

故

CD2=BD2+2AD2，

點評 從上面解題過程可以發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)法非常巧妙，稍微旋轉(zhuǎn)一下居然就能扭轉(zhuǎn)乾坤，但細心之下不難發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)法的巧妙還是需要題目條件的“精心”配合.假如AB≠AC，旋轉(zhuǎn)起不到什么作用；假如∠BDA≠135°，則△CDE也不是直角三角形.另外，使用旋轉(zhuǎn)解法一定是要旋轉(zhuǎn)△ABD嗎？注意到AB可以逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AC，也可以由AC順時針旋轉(zhuǎn)90°到AB，因此也可以考慮旋轉(zhuǎn)△ACD.

圖3

解法3 將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，如圖3所示.然后證明△BDE是直角三角形，方法與解法2類似，在此不再贅述.

變式1 如圖4，點D是△ABC外部的一點，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDA=45°，DB=3，CD=5，求AD的長.

圖4 圖5

分析 與例1對比，點D在△ABC外，但∠BDA=45°，是個特殊角，仍然可以嘗試考慮旋轉(zhuǎn)法.類似例1的解法3，可將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE，如圖5所示.然后證明△BDE是直角三角形，過程與例1幾乎一樣.

變式2 如圖6所示，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.試確定AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系.

圖6 圖7

分析 注意到題目中的條件AB=BC以及∠D和∠B均為特殊角，可嘗試旋轉(zhuǎn)法.可將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，如圖7所示.易得

CE=BD，AE=AD， ∠EAD=60°，

從而△EAD是等邊三角形，于是

ED=AD， ∠EDA=60°.

因為∠ADC=30°，所以

∠EDC=∠EDA+∠ADC=90°，

故

CE2=ED2+CD2，

即

BD2=AD2+CD2.

由于△ABC是等邊三角形，因此采用旋轉(zhuǎn)法時還可以旋轉(zhuǎn)△BCD，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，后續(xù)解法大同小異.

圖8

分析 注意到題目條件中出現(xiàn)了邊長和垂直的條件，問的又是∠ABC變化時的情況，容易想到可從解三角形的思路入手，通過正余弦定理來解決.

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，

即

由正弦定理知

得

在△BCD中，

BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=

由上可見，對于一道填空題來說，解法1非常復(fù)雜，計算量也很大，因此,我們應(yīng)思考有沒有更加簡潔的解法.注意到AC=CD和AC⊥CD，可嘗試通過旋轉(zhuǎn)對角線BD所在的一個三角形來處理.

圖9

點評 在原來的題目背景中，點D的運動軌跡難以判斷，因此BD長度的最值問題通過三角解法直接處理比較麻煩.但是通過旋轉(zhuǎn)，將BD的長度等價轉(zhuǎn)化為EA的長度，點E是固定點，而點A又在圓上運動，此時EA的長度變化直觀明了.

圖10 圖11

分析 將△BCD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ECA，如圖11所示.類似例2的解法，容易得到BD=EA≤EB+BA=3+1=4.

從例1、例2以及它們的變式題可以發(fā)現(xiàn)：當看似解三角形的題目有邊長相等和出現(xiàn)特殊角的條件，并且用常規(guī)的三角解法比較麻煩時，不妨考慮旋轉(zhuǎn)三角形，通過轉(zhuǎn)換目標構(gòu)建新的幾何關(guān)系，巧妙解決問題.具體來說使用旋轉(zhuǎn)法的操作方法分為3步：第1步是選取擬旋轉(zhuǎn)的三角形.這個三角形的其中一邊必須是等腰三角形中的一條腰，第二條邊是所求的目標線段，第三條邊一般是已知長度條件的線段.例如在例1中考慮旋轉(zhuǎn)△ABD的原因是AB是等腰△ABC的一條腰，AD是所求邊長，BD是已知長度為3的線段.第二步是將選定的三角形繞一頂點旋轉(zhuǎn)題目中出現(xiàn)的特殊角度數(shù)(一般是題目條件中等腰三角形的頂角度數(shù))，使得旋轉(zhuǎn)后的一邊與原來的一條腰重合.如例1中將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，AB旋轉(zhuǎn)到AC的位置.第三步是尋找旋轉(zhuǎn)三角形后出現(xiàn)的新的幾何關(guān)系并用來解決題目的所求問題，如在例1中旋轉(zhuǎn)△ABD后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合已知條件發(fā)現(xiàn)△ABD是直角三角形，從而通過勾股定理解決問題.當然，從教學(xué)的角度來說，要先讓學(xué)生熟練掌握解三角形問題的常規(guī)方法，在這個基礎(chǔ)上，碰到符合上述特殊條件的解三角形問題時，可以進行一題多解的探究，讓學(xué)生在對比之中感悟不同方法的本質(zhì)和適用條件，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和靈活應(yīng)用方法的能力[1].