數(shù)學(xué)高考中的核心素養(yǎng)分析及反思*

●林 榮

(溫州第二高級中學(xué),浙江 溫州 325007)

1 問題的提出

黨的十九大提出“教育立德樹人的根本任務(wù)，全面發(fā)展素質(zhì)教育，培育學(xué)科核心素養(yǎng)”的目標(biāo)[1].數(shù)學(xué)作為一門重要的學(xué)科，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面有著舉足輕重的作用.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合表現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)明確提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.與實(shí)驗(yàn)版相比，容易發(fā)現(xiàn)在提出核心素養(yǎng)的前提下，《新課標(biāo)》尤其強(qiáng)調(diào)了學(xué)業(yè)質(zhì)量和考試評價的重要性，在內(nèi)容上專門增加了“學(xué)業(yè)質(zhì)量”的內(nèi)容，這章內(nèi)容主要就是描述如何評價核心素養(yǎng)，并在附錄中提出了每個核心素養(yǎng)的3個評價水平.這說明《新課標(biāo)》的制定者充分注意到了測試評價在落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)過程中的重要性.要想落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，就要先解決如何評價核心素養(yǎng)的問題，歸根到底就是核心素養(yǎng)怎么考的問題.李尚志老師在《數(shù)學(xué)通報》2018年連續(xù)5期發(fā)表了系列文章“核心素養(yǎng)怎么考(一)～(五)”，以大學(xué)自主招生試題為引子給出了測試評價核心素養(yǎng)的具體實(shí)例，給了我們很多啟發(fā).從中可以看出對核心素養(yǎng)的測試評價需要教師的精心設(shè)計(jì)，不僅要有意識地命制測試評價核心素養(yǎng)的試題，而且還要在試題的形式上有所創(chuàng)新，甚至在試題的順序編排上都要有所設(shè)計(jì).作為高中生學(xué)業(yè)水平的終結(jié)性評價，也是高等院校選拔人才的重要途徑，高考需要把學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的水平作為重要的評價內(nèi)容納入到測試評價之中.因此，從核心素養(yǎng)的角度重新審視現(xiàn)有的高考試題、研究現(xiàn)有高考試題中對核心素養(yǎng)的評價狀況以及在此調(diào)查的基礎(chǔ)上思考“如何測試評價核心素養(yǎng)”將是一項(xiàng)有益的工作.

2 核心素養(yǎng)視角下的高考數(shù)學(xué)試卷

以2016—2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷為對象，分析試卷對核心素養(yǎng)的評價狀況.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價屬于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價的范疇，《新課標(biāo)》將每一個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為3個水平，每個水平都通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)和體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的4個方面進(jìn)行表述，這4個方面包括：情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思.而劃分的3個水平分別對應(yīng)高中學(xué)生3種不同的層次水平，即高中畢業(yè)水平、高考水平、拓展水平.文獻(xiàn)[2]分析了《新課標(biāo)》中的評價模型，結(jié)合了布魯姆模型、PISA模型、SOLO模型等成熟的學(xué)習(xí)評價模型，提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成源于知識的理論，由此提出把數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)水平劃分為“知識理解”“知識遷移”“知識創(chuàng)新”，明確了3個水平劃分的標(biāo)準(zhǔn)，具有可操作性.這里我們采用喻平老師提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價框架，把6個核心素養(yǎng)都劃分為3個水平，如表1，對研究對象進(jìn)行分析.

表1 學(xué)科核心素養(yǎng)評價框架

把核心素養(yǎng)與知識的獲取及應(yīng)用結(jié)合起來是比較合理的做法，因?yàn)閷W(xué)生核心素養(yǎng)的生成離不開知識的學(xué)習(xí)，而對核心素養(yǎng)的評價離不開對學(xué)生所學(xué)知識的考查.這種結(jié)合可以把核心素養(yǎng)落實(shí)到實(shí)處，使核心素養(yǎng)的考查成為有本之木、有源之水.為使每一個水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)更明確，喻平老師還對各級水平的具體表現(xiàn)進(jìn)行了描述.

知識理解作為學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)的一級水平，具體表現(xiàn)為：1)了解知識產(chǎn)生的緣由；2)理解知識形成的結(jié)果；3)解決數(shù)學(xué)的基本問題.

知識遷移作為學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)的二級水平，具體表現(xiàn)為：1)有基本的類比推理能力，能夠?qū)⒅R遷移到不同情境中去，解決與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情境問題、數(shù)學(xué)內(nèi)部不同情境問題、不同學(xué)科情境問題；2)能夠理解知識之間的邏輯關(guān)系，掌握知識結(jié)構(gòu)，掌握與知識相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，能夠判斷知識遷移的準(zhǔn)確性和有效性；3)能夠解決需要多種知識介入、多種方法運(yùn)用的常規(guī)性復(fù)雜問題.

知識創(chuàng)新作為學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)的三級水平，具體表現(xiàn)為：1)具有探究問題的意識；2)具備探究問題的能力；3)具備解決非常規(guī)數(shù)學(xué)問題的能力，能夠靈活運(yùn)用知識和方法解決非常規(guī)性問題；4)形成數(shù)學(xué)思維.

根據(jù)該評價框架，筆者對2016—2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷的全部試題進(jìn)行了分析，舉例如下：

( )

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第2題)

該題考查雙曲線焦點(diǎn)的概念，屬于直接回憶概念就可以解決的，分值為4分，因此標(biāo)定為A1-4.

圖1

例2 函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖1所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是

( )

A. B. C. D.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖2

該題考查學(xué)生圖形的直觀想象能力，需要學(xué)生在掌握知識的前提下有一定的邏輯思考能力，分值為4分，因此標(biāo)定為I2-4.

例3 如圖2，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．

1)證明：CE∥平面PAB；

2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

該題的第1)小題需要學(xué)生利用空間直線與平面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)來證明線面平行的問題，主要是考查學(xué)生的邏輯推理能力，標(biāo)定為R2-5.第2)小題涉及到空間的線面角的計(jì)算，考查學(xué)生對立體圖形的直觀想象以及空間幾何量的計(jì)算，重點(diǎn)在于圖形的直觀想象，因此標(biāo)定為I3-6，C2-4.

圖3

1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示)；

2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

以上對核心素養(yǎng)的標(biāo)定方法參考了朱先東、吳增生老師在文獻(xiàn)[3]中的標(biāo)定方法，而文獻(xiàn)[3]主要分析了中考試題，高考試題要比中考試題更加綜合、更加復(fù)雜，因此在標(biāo)定過程中有一些與中考題不同的情況，主要表現(xiàn)在高考試題考查得比較綜合，有的題目往往不止考查單一的核心素養(yǎng)，尤其是解答題.遇到這種情況，若是客觀題則采用重點(diǎn)考查的素養(yǎng)進(jìn)行標(biāo)定，若是解答題則以考查核心素養(yǎng)的比重進(jìn)行標(biāo)定.核心素養(yǎng)標(biāo)定的分?jǐn)?shù)以題目的卷面分?jǐn)?shù)為主要依據(jù)，但不等同于試卷的評卷分?jǐn)?shù).因?yàn)楦呖荚u卷需要考慮的因素比較復(fù)雜，評卷分?jǐn)?shù)不能反映試題考查核心素養(yǎng)的比重，所以最終在該題目總分不變的情況下，根據(jù)考查核心素養(yǎng)的比重標(biāo)定分?jǐn)?shù)(比如例3和例4).按照以上方法，筆者對2016—2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到試卷中不同的核心素養(yǎng)不同水平的權(quán)重，如表2所示：

表2 試卷中不同的核心素養(yǎng)不同水平的權(quán)重 %

年份素養(yǎng)水平C1C2C3CI1I2I3ID1D2D3D20165.3316.6716.0038.007.339.333.3320.000.000.000.000.00201710.6718.679.3338.675.334.6710.6720.670.002.670.002.6720185.3317.3316.6739.336.676.002.6715.330.002.670.002.67平均7.1117.5614.0038.676.446.675.5618.670.001.780.001.78

從表中數(shù)據(jù)可以看出數(shù)學(xué)抽象的權(quán)重為18.89%，邏輯推理的權(quán)重為18.67%，數(shù)學(xué)建模的權(quán)重為3.33%，數(shù)學(xué)運(yùn)算的權(quán)重為38.67%，直觀想象的權(quán)重為18.67%，數(shù)據(jù)分析的權(quán)重為1.78%.從整體上看，浙江省的高考試題在考查學(xué)生核心素養(yǎng)方面還是比較全面的，重點(diǎn)考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).其中數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的權(quán)重偏低是與浙江省考試內(nèi)容的要求有關(guān)系的，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)內(nèi)容不做解答題要求，另外浙江省一直注重考查數(shù)學(xué)的本質(zhì)，很少考查應(yīng)用題，所以在這兩項(xiàng)核心素養(yǎng)的考查上明顯偏低.這種測試評價實(shí)際上也會直接反饋到日常的教學(xué)之中，比如在高三復(fù)習(xí)過程中就經(jīng)常會有教師糾結(jié)：函數(shù)模型的應(yīng)用、三角函數(shù)模型的應(yīng)用、解三角形的應(yīng)用等等內(nèi)容要不要復(fù)習(xí)？而現(xiàn)實(shí)中確實(shí)存在考試不考教師就不教的情況，尤其是在課時緊張的情況之下.另外從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，數(shù)學(xué)運(yùn)算的權(quán)重偏高，筆者認(rèn)為這是正常現(xiàn)象，實(shí)際上高中數(shù)學(xué)比初中數(shù)學(xué)在運(yùn)算能力要求上有所提高，不僅運(yùn)算的復(fù)雜程度提高，對運(yùn)算方法和思想都提出了更高的要求，而實(shí)際上運(yùn)算能力的差別也是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力差別的主要原因.另外高中的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中也蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象這些核心素養(yǎng)，它是學(xué)生綜合素養(yǎng)的一種表現(xiàn).

3 核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)試題命制的嘗試

新一輪的課程改革圍繞核心素養(yǎng)展開，對核心素養(yǎng)的測試評價將直接影響核心素養(yǎng)的落實(shí).《新課標(biāo)》的編制者史寧中、鮑建生等人多次在不同的場合中鼓勵一線教師參與到核心素養(yǎng)的測試評價中來.一線教師結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐和長期解題命題的經(jīng)驗(yàn)，在核心素養(yǎng)測試評價的探索中是大有所為的.

在核心素養(yǎng)背景下命制數(shù)學(xué)試題，題型應(yīng)該更加創(chuàng)新，可以設(shè)計(jì)多選題、邏輯題、數(shù)據(jù)分析題、舉例題、開放題等形式[4].比如，2018年北京市數(shù)學(xué)高考卷中就出現(xiàn)了舉例題：

例5 能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0.2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是______．

(2018年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

(2018年北京市數(shù)學(xué)高考文科試題第11題)

這種問題沒有唯一的答案，讓學(xué)生有更大的發(fā)揮空間，考查學(xué)生對概念的理解能力以及數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力，能更有效地反映學(xué)生的核心素養(yǎng)水平.

在核心素養(yǎng)背景下命制試題，應(yīng)考慮試題考查的主要核心素養(yǎng)有哪些、如何考查出學(xué)生不同水平的核心素養(yǎng).問題設(shè)計(jì)可以更加開放一些，比如：

例7 一根直桿為什么能從彎曲的洞中通過？

一條直鐵棍固定在一個可以旋轉(zhuǎn)的Γ型支架上，并與Γ型支架的橫臂垂直.Γ型支架的豎臂可以繞著桌面的一個定點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中保持橫臂與桌面平行，同時桌面上有一個與桌面垂直的且經(jīng)過點(diǎn)O的平面α.當(dāng)直鐵棍與桌面不垂直的情況下，要使整個旋轉(zhuǎn)過程中直鐵棍能夠無障礙地穿過平面α，則必須在平面α上挖一個怎樣的洞？

試題說明 本題考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).雖然看上去有點(diǎn)超綱，但是只要是學(xué)過立體幾何、圓錐曲線和三角函數(shù)知識的學(xué)生都是有能力解決這個問題的，關(guān)鍵是怎么將這些知識綜合運(yùn)用起來，而對知識的創(chuàng)造性應(yīng)用正是核心素養(yǎng)三級水平的要求.

圖4

解 如圖4所示，動直線m繞定直線l旋轉(zhuǎn)，直線m與直線l所成的角為定值φ0，它們之間的距離為定值a，設(shè)經(jīng)過直線l的豎直平面為α，直線m∩α=P，求點(diǎn)P的軌跡.

下面給出證明：過點(diǎn)O作OM⊥直線m于點(diǎn)M，OM⊥直線l于點(diǎn)O，則OM=a，即點(diǎn)M在以O(shè)為圓心、半徑為a的圓上運(yùn)動.設(shè)這個圓所在的平面為β，以平面α與平面β的交線為x軸、直線l為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)P(x,y)，記∠MOx=θ，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則PH⊥β，又OM⊥MP，得OM⊥MH，從而

又由PH∥l，得∠MPH=φ0，從而

于是

故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.

素養(yǎng)分析 本試題在考查學(xué)生核心素養(yǎng)方面有不同的表現(xiàn)形式，如果只考查較低水平的核心素養(yǎng)，那么可以設(shè)計(jì)為選擇題.另外，不同水平的核心素養(yǎng)在本題中都有所體現(xiàn)(如表3)：

表3 不同水平的核心素養(yǎng)在例7中的體現(xiàn)

核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)測評實(shí)踐研究是一個不斷探索的過程，它必須建立在原有測評手段的基礎(chǔ)之上.浙江省數(shù)學(xué)高考命題水平是有目共睹的，其對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)最深刻的魅力，這些試題在任何時候都不會過時.核心素養(yǎng)的提出對數(shù)學(xué)測評也提出了新的要求，數(shù)學(xué)試卷中適當(dāng)?shù)卦黾右恍┪淖置枋?，多一些現(xiàn)實(shí)背景，也是數(shù)學(xué)測評的一個趨勢.教師應(yīng)把握新的機(jī)會，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評研究中大顯身手.