直覺與邏輯并行 推理與運(yùn)算共進(jìn)*
——兩道質(zhì)檢題引發(fā)的思考

●鄭 良

(靈璧第一中學(xué)，安徽 靈璧 234200)

1 問題提出

安徽省宿州市高二年級(jí)上學(xué)期期末考試如期進(jìn)行，其中理科第21題與第22題是學(xué)生得分的分水嶺.全年級(jí)學(xué)生的平均得分分別為3.03分與2.21分，均低于第1)小題的分值(滿分為4分).筆者對(duì)此思考：除了試題的位置(整卷的最后兩道題)與答題時(shí)間緊張等客觀因素外，學(xué)生在答題中還暴露出哪些問題，其根源是什么，如何應(yīng)對(duì)…….

2 案例剖析

例1 如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥CD．將△ABD沿BD折起，折起后點(diǎn)A的位置為點(diǎn)P，得到幾何體P-BCD(如圖2所示)，且平面PBD⊥平面BCD.

1)證明：PB⊥平面PCD.

圖1 圖2

(安徽省宿州市13所重點(diǎn)中學(xué)2018學(xué)年第一學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科試題第21題)

命題組給出第2)小題的參考答案如下：

2)解法1 由第1)小題知CD⊥平面PBD，即∠CPD為直線PC和平面PBD所成角，則

得

又△ABD∽△DCB，從而

故AB=2.

圖3

設(shè)平面PDC的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則

取n1=(1,0,-1);設(shè)平面PCE的法向量為n2=(x2,y2,z2),則

本題以圖形的折疊為背景，考查空間中直線與平面垂直的判定和性質(zhì)定理、平面與平面垂直的性質(zhì)、空間中直線與平面所成角、二面角的平面角等知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

對(duì)于第1)小題，學(xué)生的主要錯(cuò)誤有：

1)符號(hào)濫用.數(shù)學(xué)是一門語言，它擁有特定的符號(hào)及符號(hào)之間的關(guān)系、詞匯、文法與句法等.如少數(shù)學(xué)生滿篇把“平面”簡寫成“平”，把線面關(guān)系連接符號(hào)“?”寫成“∈”.根源在于學(xué)生沒有準(zhǔn)確理解(直線與平面均為空間的點(diǎn)的集合)集合間的關(guān)系.

2)丟三落四.運(yùn)用判定定理或性質(zhì)定理時(shí)丟三落四,導(dǎo)致無法推出正確的結(jié)論.如學(xué)生“由BD⊥CD直接得到CD⊥PB”或“由PB⊥PD直接推出PB⊥平面PCD”等，學(xué)生識(shí)記不準(zhǔn)源于教學(xué)缺乏結(jié)論的探究過程和必要的正反例思辨，學(xué)生不理解問題的來龍去脈，只能斷章取義.

3)無中生有.不少學(xué)生添加條件“AB=AD”強(qiáng)行建立空間直角坐標(biāo)系，表明學(xué)生空間想象能力弱，綜合法認(rèn)識(shí)不到位，只有“華山一條路”.先證后用是解題的基本規(guī)范，也是演繹推理的根基.

4)作繭自縛.部分學(xué)生在平面PBD內(nèi)作PF⊥BD后利用“平面PBD⊥平面BCD”關(guān)系，無異于放棄高速公路不走，修建羊腸小道蜿蜒前行，說明學(xué)生視野狹窄，審題能力有待提高.

對(duì)于第2)小題，學(xué)生的主要錯(cuò)誤有：

1)蒙混過關(guān).從求解目標(biāo)知需要求出AB或BD的長度(兩者相互依存)，多數(shù)學(xué)生嘗試將點(diǎn)P置于z軸(在平面PBD內(nèi)過點(diǎn)P作PO⊥BD于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)、OB，OP所在直線分別為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系)上，必須先確定AB的長度；若以命題組提供的答案的方式建立空間直角坐標(biāo)系，可先建系再求AB的長度.多數(shù)學(xué)生沒有正確解讀條件而無法求出AB的長度，直接使用“AB=2”或用“由平面幾何知識(shí)易得AB=2”來敷衍(在訪談中得以確認(rèn))，這與數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度相悖.如何確定AB的長度(即刻畫BD⊥CD)？由題設(shè)知∠BAD=∠BDC=90°，∠ADB=∠DBC，這恰是“△ABD∽△DCB”的判定條件，水到渠成.

4)思維無序.學(xué)生思維無序，表述混亂;部分學(xué)生用綜合法求解，總體得分不高.表明學(xué)生“立體幾何平面化”的化歸與轉(zhuǎn)化思想和(兩次)有序“隔離”的方法仍有待提高.

圖4

2)解法2 如圖4，在平面PBD內(nèi)，過點(diǎn)E作EH∥BP交PD于點(diǎn)H，則EH⊥平面PDC，且EH=DH=2λ，從而PH=2-2λ.在Rt△PDC中，過點(diǎn)H作HG⊥PC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，由三垂線定理可知∠EGH即為二面角D-PC-E的平面角.由△PHG∽△PDC，得

我第一次把我家后山和語文課本聯(lián)系起來是在我讀了杜牧的《山行》之后。我家就在岳麓山下，詩人寫的愛晚亭我也去過，但我看到的卻沒有他寫的這么美。自此以后，我常在學(xué)習(xí)之余爬山，或在陽光明媚的清晨，或在夕陽西下的傍晚，春夏秋冬，隨興而至，百看不厭。

圖5

1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2)求△F2DE面積的最大值.

(安徽省宿州市13所重點(diǎn)中學(xué)2018學(xué)年第一學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科試題第22題)

由點(diǎn)M(m,0)在∠F1PF2的平分線上，得

從而

于是

即

其判別式大于0.設(shè)D(x1,y1)，E(x2,y2)，則

因此

因?yàn)閥0≥1，所以

y1+y2<0，y1y2>0，

得

y1<0,y2<0，

從而S△F2DE=S△F1F2E-S△F1F2D=

本題以直線與雙曲線的位置關(guān)系為背景，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

對(duì)于第1)小題，學(xué)生的主要錯(cuò)誤有：.

1)張冠李戴.誤用橢圓的定義或性質(zhì)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)計(jì)算錯(cuò)誤.利用定義法(正向運(yùn)算)的學(xué)生基本無誤，而用待定系數(shù)法(逆向解方程組)的學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤率較高.

3)功虧一簣.正確求出a，b，c后，總結(jié)時(shí)把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫成橢圓的方程.

對(duì)于第2)小題，學(xué)生的主要錯(cuò)誤有：

3 教學(xué)思考

3.1 立足教材，適度拓展

教材是教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的載體.歷次考試表明：試題越接近教材，學(xué)生考得越差.例1第1)小題推理證明的依據(jù)及第2)小題建系的標(biāo)準(zhǔn)在教材中交代得清清楚楚，第2)小題求角的計(jì)算公式在教材中講得明明白白；例2中圓錐曲線的第一定義在教材中反復(fù)強(qiáng)化，通過具體案例抽象概括出圓錐曲線的第二定義(并在教材中用極坐標(biāo)方程進(jìn)行深化).教材是參天大樹的根，教學(xué)要避免一葉障目就要正本清源，抓住主干不放松.如三角形的內(nèi)角平分線定理作為正弦定理的重要應(yīng)用理應(yīng)及時(shí)滲透，并及時(shí)鏈接平面幾何法等證明方法；又如直角三角形的射影定理在“基本不等式”中有所提及，教師要及時(shí)跟進(jìn)并補(bǔ)充其應(yīng)用.

學(xué)生不重視教材由來已久，主要原因是其所遇試題(表面形式上)與教材“相距甚遠(yuǎn)”；多數(shù)教師思想上重視教材，卻沒有有效的行動(dòng)落實(shí).近年來，學(xué)案與教輔嚴(yán)重侵占學(xué)生的時(shí)間與空間.教師追求量而不核對(duì)質(zhì)，粗線條管理無法早期發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤并及時(shí)矯正.教師應(yīng)該研習(xí)并挖掘教材，通過對(duì)高質(zhì)量的交送作業(yè)(不少教師不以教材為藍(lán)本布置交送作業(yè)，而用教輔取而代之)和試卷的面批面改將學(xué)生處于萌芽狀態(tài)的錯(cuò)誤及時(shí)遏制；對(duì)教材中的閱讀、探究、課題等欄目要合理定位，力爭探究到位；對(duì)學(xué)生的疑惑進(jìn)行尋根之旅，揭開千變?nèi)f化形式下相對(duì)穩(wěn)定的本質(zhì)，切實(shí)感受到教材的力量.教師要對(duì)教材有敬畏之心、虔誠的學(xué)習(xí)態(tài)度，通過教材引領(lǐng)師生的行為規(guī)范.

3.2 強(qiáng)化直觀,邏輯跟進(jìn)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).如何獲取解題思路？固然離不開解題經(jīng)驗(yàn)，更需要感性與直觀的素材，它是合情推理的切入點(diǎn).教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生過于聚焦目標(biāo)而不善于探尋直觀的構(gòu)件.如處理幾何問題時(shí)沒有畫圖的意識(shí)和能力，探尋規(guī)律問題時(shí)沒有通過具體特例歸納結(jié)論的習(xí)慣等.數(shù)學(xué)家希爾伯特認(rèn)為：不管在哪個(gè)領(lǐng)域，公理化方法都是并且始終是一個(gè)合適的、不可缺少的助手.借助直觀想象獲得解決問題的方向，通過邏輯分析推進(jìn)或調(diào)整解題方案，合理組織論證，用規(guī)范性語言將看似零亂的、互不相關(guān)的知識(shí)，組成一個(gè)條理清晰的整體.在例1中，學(xué)生的邏輯混亂、思維不清晰、表達(dá)不連貫，表明學(xué)生對(duì)立體幾何的掌握不夠完善.

3.3 展示過程,精準(zhǔn)落實(shí)

反思基礎(chǔ)教育課程改革，基礎(chǔ)性研究做得不夠,學(xué)生認(rèn)識(shí)問題是從具體到一般，我們?cè)诮虒W(xué)中卻往往是先給出一般的東西，然后用具體的東西來闡述這個(gè)一般的東西，包括教學(xué)的呈現(xiàn)和教材的呈現(xiàn).這些問題應(yīng)該進(jìn)行長期的研究[1].教學(xué)中不少教師分析解題思路、抄錄解題的關(guān)鍵步驟，使得基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生跟不上教學(xué)節(jié)奏，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)教學(xué)可遠(yuǎn)觀而不能近玩.紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行，教師要先獨(dú)立解題，感知學(xué)生可能存在的問題，然后結(jié)合學(xué)生的解題情況稚化自己的思維，示以學(xué)生思維之道.如在例1中，教師可讓學(xué)生說出對(duì)第1)小題預(yù)期的證明過程，對(duì)第2)小題求AB長度的切入點(diǎn)及確定點(diǎn)E位置的推進(jìn)過程；又如在例2中，確定角平分線PN的方法、表達(dá)S的方式等，教師對(duì)學(xué)生提供的各種方案進(jìn)行分析，展示心路過程，讓學(xué)生看得見、想得清、學(xué)得來.

3.4 全局視角,一線串通

數(shù)學(xué)是一個(gè)統(tǒng)一的整體，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)則要分階段穩(wěn)步推進(jìn).蘇霍姆林斯基曾說：教師在關(guān)于教材的思考上使用的精力越少，則學(xué)生的腦力勞動(dòng)的效率越高.如果教師把全副注意力都用在自己關(guān)于教材的思考上，那么學(xué)生感知所教的東西就很費(fèi)力，甚至聽不懂教師的講述.因此，教師所知道的東西，就應(yīng)當(dāng)比他在課堂上要講的東西多10倍，多20倍，以便能夠應(yīng)付自如地掌握教材，到了課堂上，能從大量的事實(shí)中挑選出最重要的來講……一個(gè)好的教師，并不見得能明察秋毫地預(yù)見到他的課將如何發(fā)展，但是他能夠根據(jù)課堂本身所提示的學(xué)生的思維邏輯和規(guī)律性來選擇那唯一必要的路徑而走下去[2].

學(xué)生記憶的消退、認(rèn)知的遞進(jìn)性與教材的模塊化等特點(diǎn)決定了教學(xué)要循序漸進(jìn).教師只有站在學(xué)科教學(xué)的制高點(diǎn)，才能對(duì)教學(xué)作長期規(guī)劃與合理布局，教學(xué)時(shí)才能相機(jī)而動(dòng).內(nèi)容理解膚淺，則教學(xué)不見本質(zhì)，索然無味、不解其惑；反之，內(nèi)容過難則會(huì)曲高和寡，學(xué)生力不從心，無所適從，自然無法讓知識(shí)從容生長.教師要基于學(xué)情，因材施教.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立、又互相交融，是一個(gè)有機(jī)的整體，它需要學(xué)生對(duì)問題及時(shí)而持續(xù)地反思，進(jìn)而構(gòu)建整體結(jié)構(gòu)，理解蘊(yùn)含于其中的思想方法，進(jìn)而不斷地領(lǐng)悟并內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng).如推理與運(yùn)算相互滲透，彼此交融，良好的數(shù)形結(jié)合能力就是直覺與邏輯齊頭并進(jìn)的體現(xiàn).又如例1與例2分別為立體幾何、平面解析幾何問題，但終究為幾何問題.學(xué)生只有掌握了平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，才能對(duì)立體幾何、平面解析幾何問題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，才能?shí)現(xiàn)對(duì)幾何問題的融會(huì)貫通.