●黃慧軍

(瑞安中學(xué),浙江 瑞安 325200)

前不久，筆者觀摩了兩節(jié)同課異構(gòu)，內(nèi)容是“兩角差的余弦公式”第一課時(shí)，其中甲與乙兩位教師不同的教學(xué)設(shè)計(jì)折射出不同的教學(xué)理念，引起了聽課教師的爭(zhēng)論.筆者重新研究課程標(biāo)準(zhǔn)與教材編寫意圖，得到一些思考與啟發(fā)，與大家分享.

1 案例背景

“兩角和與差的余弦公式”是本章的起始課，是三角恒等變換的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦、正切的知識(shí)基礎(chǔ)和方法源泉.這節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)是兩角和與差的余弦公式的產(chǎn)生和推導(dǎo).

2 案例概述

案例1

問題1 填空求值：

α0°30°45°60°90°sin αcos α

問題2 cos 15°能求嗎？

學(xué)生想到cos 15°=cos(60°-45°)，猜想:

發(fā)現(xiàn)不對(duì).教師甲未加評(píng)析，顯示問題3：

問題3 如何用α,β的正、余弦值來表示cos(α-β)？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生想到用單位圓中的三角函數(shù)線來表示.由于學(xué)生不了解公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，無法進(jìn)行下一步推進(jìn)，陷入僵局.然后教師使出“全身招數(shù)”，學(xué)生一路“磕磕碰碰”.教師甲用了半個(gè)多小時(shí)完成了公式的推導(dǎo)，然后告訴學(xué)生公式只能在α,β,α-β都是銳角，且α>β的情況下才成立的,要想推廣到任意角，還得做不少的工作.最后教師甲用不到5分鐘的時(shí)間匆匆地介紹了教材上的向量推導(dǎo)法，下課的鈴聲就響起來了.

圖1

案例2 教師乙通過教材必修4中的習(xí)題引入：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心、單位長(zhǎng)度為半徑的圓上有兩個(gè)點(diǎn)A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ),試用點(diǎn)A,B的坐標(biāo)表示∠AOB的余弦值？

得cos∠AOB=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

教師乙追問：

問題1 請(qǐng)你利用本題的結(jié)論求cos 15°？

問題2 當(dāng)α,β為任意角時(shí)，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ還成立嗎？

學(xué)生找到了關(guān)系∠AOB=α-β-2k1π或∠AOB=α-β+2k2π，其中k1,k2∈Z,從而cos(α-β)=cos∠AOB=cosαcosβ+sinαsinβ成立.

得出公式后，教師乙通過數(shù)學(xué)史，找價(jià)值、看證明,介紹了2世紀(jì)古希望天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密利用托勒密定理得到的相當(dāng)于兩角和與差的正、余弦公式的結(jié)果，制作了現(xiàn)存最早的弦表(從0°到90°每隔半度比較精確的正弦函數(shù)值).接著介紹了3世紀(jì)末古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》中為三角公式的證明提供的幾何模型，最后講解例題，對(duì)公式進(jìn)行應(yīng)用.

3 案例評(píng)析

案例1是從如何求cos 15°引出，遺憾的是教師甲沒有進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)cos(60°-45°)的展開式進(jìn)行猜想，更不說一般性的猜想了.這樣一來，學(xué)生就不清楚公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，導(dǎo)致推導(dǎo)一般情況時(shí)思維受阻，教學(xué)進(jìn)度受影響.另外，采用的幾何法讓學(xué)生倍感突兀，很難接受.因?yàn)閺慕滩牡木帉憗砜矗m然教材之前介紹了三角函數(shù)的幾何表示，但是后續(xù)涉及很少，導(dǎo)致學(xué)生很難想到將某個(gè)角的三角函數(shù)值用單位圓中的線段來表示.從教學(xué)效果來看，教師甲顯然沒做到精準(zhǔn)教學(xué).

案例2是從教材上的一道習(xí)題引入，突出了“向量的數(shù)量積公式”，讓學(xué)生體會(huì)到向量方法的作用及向量與三角函數(shù)的關(guān)系，為后續(xù)的公式推導(dǎo)提供了方法.在公式推導(dǎo)成功后，教師乙再向?qū)W生梳理了兩角差余弦公式的產(chǎn)生與發(fā)展過程，讓學(xué)生感受到兩角差余弦公式產(chǎn)生的必要性.把教材中的幾何法(帕普斯模型)穿插在數(shù)學(xué)史中由師生共同來完成，讓學(xué)生明白教材中之所以先選用幾何證法是符合差角公式的歷史發(fā)展順序的，是人們認(rèn)識(shí)差角公式的歷史發(fā)展寫照，整個(gè)教學(xué)過程有比較濃厚的文化氣息.不過，本節(jié)是公式探究課，要讓學(xué)生體驗(yàn)和感受公式發(fā)現(xiàn)的過程，因此在引入部分要給學(xué)生思維的空間，不能把向量方法看成唯一的思路，這是案例2的遺憾之處.

4 案例反思

目前隨著核心素養(yǎng)的提出，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教育追求的真諦.而數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是相互關(guān)聯(lián)、相互促進(jìn)的，滲透數(shù)學(xué)文化教育是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該以數(shù)學(xué)文化作為抓手，把數(shù)學(xué)文化滲透在課堂中，挖掘背后的思想與思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).但我們大部分一線教師在教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)文化的重視程度不夠，擔(dān)心在課堂中融入數(shù)學(xué)文化會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度，更關(guān)鍵的是缺乏對(duì)數(shù)學(xué)文化應(yīng)有的認(rèn)識(shí)，并且缺少相關(guān)的素養(yǎng).而“兩角差的余弦公式”一課就蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)文化，如何在教學(xué)中進(jìn)行滲透呢？

4.1 展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的文化背景

三角學(xué)起源于天文學(xué)中的測(cè)量問題，兩角差的余弦公式被稱為平面三角學(xué)的基本公式之一，伴隨著三角學(xué)的誕生而誕生，有關(guān)的歷史素材豐富多彩.教師可向?qū)W生梳理兩角差余弦公式的產(chǎn)生與發(fā)展過程，了解數(shù)學(xué)家托勒密、麥克肖恩、帕普斯與威塞爾等為公式證明所作的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生感受到“方法之美”.

4．2 在問題情境創(chuàng)設(shè)中滲透數(shù)學(xué)文化

圖2

著名的數(shù)學(xué)家黎曼有一句名言：每個(gè)數(shù)學(xué)公式背后，都有一個(gè)反映其本質(zhì)的幾何模型.我們可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境來引導(dǎo)學(xué)生猜想cos(α-β)的展開式：圖2是來自我國(guó)一位數(shù)學(xué)愛好者編寫的《無字證明集錦》，你有何發(fā)現(xiàn)？

本圖是由學(xué)生熟悉的矩形和直角三角形構(gòu)成，能清晰直觀地展示出公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，有助于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

4．3 在公式推導(dǎo)中感受數(shù)學(xué)文化

要追求公式證明方法的多元化，既要尊重教材提供的證明方法，又要引導(dǎo)學(xué)生探索其他證明方法.通過一題多證來拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，下面展示幾種方法:

方法1 1941年，美國(guó)數(shù)學(xué)家麥克肖恩應(yīng)用三角形全等以及兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行推導(dǎo).如圖3所示，易得△DOA≌△BOC,由|AD|=|BC|,得

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖3 圖4

方法2 應(yīng)用余弦定理推導(dǎo).如圖4，設(shè)P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ),則

|PQ|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=

2-2(cosαcosβ+sinαsinβ).

在△POQ中，

|PQ|2=|OQ|2+|OP|2-2|OQ||OP|cos(α-β)=

2-2cos(α-β),

從而

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖5

方法3 利用三角形面積公式推導(dǎo).上世紀(jì)80年代，我國(guó)中科院院士張景中先生有感于學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的困難，萌生了對(duì)傳統(tǒng)平面幾何教材加以改造的念頭，以便讓學(xué)生學(xué)得容易些.他敏銳地觀察到可以使用面積法，將通常只作為一種特殊解題技巧的面積法擴(kuò)展成一般方法，成為學(xué)生解幾何題的一把快刀.如圖5，由S△ABC=S△ABD+S△ADC，得

化簡(jiǎn)得 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

總之，不管是哪種方法，其背后都有不同的巧妙構(gòu)思.教師讓學(xué)生體會(huì)各種證法的特色，體驗(yàn)美的享受，從而揭示數(shù)學(xué)家追求真善美的人文精神，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維與數(shù)學(xué)推理能力.

4．4 在公式運(yùn)用中感悟數(shù)學(xué)文化

公式是一種新的運(yùn)算，對(duì)于新的運(yùn)算不僅要正用，還要逆用、變用，增強(qiáng)運(yùn)算的靈活性與多向性，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思想方法相結(jié)合，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng).

4.4.1 公式的正用

它不僅是公式的直接運(yùn)用，關(guān)鍵是讓學(xué)生體會(huì)這些誘導(dǎo)公式都是兩角差余弦公式的特例，體現(xiàn)一般到特殊的思想.

4.4.2 公式的逆用

練習(xí)2 1)求：cos 13°cos 47°+cos 43°sin 167°;

很多學(xué)生受思維定式的影響，對(duì)公式的逆用少之又少.教師要引導(dǎo)學(xué)生反思公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，養(yǎng)成主動(dòng)對(duì)公式進(jìn)行逆用的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

4.4.3 公式的變用

通過這道題可讓學(xué)生深刻理解配角法的本質(zhì)與優(yōu)勢(shì)，體會(huì)代換引起的三角函數(shù)形式的變化，從而有助于學(xué)生熟練、靈活地駕馭公式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸思想及整體意識(shí)非常有益.

文化的傳播和發(fā)展需要積累與沉淀，除了要重視課堂上的滲透外，還要重視課后的延續(xù).像高斯函數(shù)、阿波羅尼斯圓、角谷猜想等出現(xiàn)在教材習(xí)題中，祖暅原理、劉徽割圓術(shù)、斐波那契數(shù)列等出現(xiàn)在教材“閱讀與思考”欄目中，我們可引導(dǎo)學(xué)生課后借助網(wǎng)絡(luò)對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行深入了解.同時(shí)要利用好以數(shù)學(xué)文化為背景的高考試題與模擬題，有的數(shù)學(xué)文化試題以著名圖形為背景，如趙爽弦圖、楊輝三角等，有的出自我國(guó)經(jīng)典古名著，像《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)綜》《數(shù)書九章》等，有的則出自數(shù)學(xué)名題，像勃羅卡點(diǎn)、將軍飲馬問題、米勒問題、皮克定理等.教師可通過讓學(xué)生做這類題，加深對(duì)數(shù)學(xué)文化知識(shí)的理解.

李善良博士說：“要讓學(xué)生欣賞、體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化成為一種時(shí)尚，成為一種常態(tài).”我們要把文化理念包含在教學(xué)活動(dòng)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的作用，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，讓他們主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，從而真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).