談一道質(zhì)檢理科壓軸試題的命題方法*
——直觀想象素養(yǎng)下的試題命制

●楊蒼洲 ●林京榕

(泉州第五中學(xué)，福建 泉州 362000)(尤溪第一中學(xué)，福建 三明 365100)

在數(shù)學(xué)解題中，擁有較高直觀想象素養(yǎng)的人，應(yīng)善于利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，善于建立形與數(shù)的聯(lián)系，善于構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型．解題如此，命題亦如此！筆者在2019年3月福建省泉州市質(zhì)檢考試的命題中，正是基于直觀想象素養(yǎng)，在圖像中提出問題，從而命制出試題．

1 從不對(duì)稱的函數(shù)圖像得到不等式的一種方法

1．1 中心對(duì)稱與等式

1．2 圖像不對(duì)稱與不等式

2 命題設(shè)想

2．1 最初設(shè)想

筆者設(shè)想構(gòu)造一個(gè)具有一個(gè)拐點(diǎn)、兩個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)，通過研究?jī)蓚€(gè)極值點(diǎn)與拐點(diǎn)的某些量的大小關(guān)系，從而通過函數(shù)圖像的不對(duì)稱得到不等關(guān)系，構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的不等式．

2．2 構(gòu)造函數(shù)

圖1

3 試題編擬

3．1 在兩極值點(diǎn)與拐點(diǎn)間構(gòu)造不等式

為了上述不等式有確定的大小關(guān)系，筆者設(shè)定a>1，即x=1是f(x)的極大值點(diǎn)．

1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

當(dāng)a≤0時(shí)，x-a>0．當(dāng)01時(shí)，f′(x)>0．故x=1是f(x)的極小值點(diǎn)，不滿足題意.

當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)=0得x=1或x=a．

①當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)≥0，從而f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不滿足題意；

②當(dāng)01，則f′(x)>0，故x=1是f(x)的極小值點(diǎn)，不滿足題意；

③當(dāng)a>1時(shí)，若0a，則f′(x)>0，若1

綜上所述，a>1．

(1)

即

亦即

命題過程中，筆者也考慮對(duì)第2)小題進(jìn)行如下變形：

3．2 在兩極值點(diǎn)間構(gòu)造不等式

上述的問題看似繁雜，實(shí)則解題思路直接、單一，計(jì)算量偏大，思維量偏小.筆者感覺試題并不理想，因此，考慮從圖像的其他結(jié)構(gòu)中尋找不等關(guān)系進(jìn)行試題編制．

設(shè)定f(x0)=f(1)，我們來考察x0,1與a的關(guān)系．下面筆者考慮研究x0,1的幾何平均數(shù)與a的關(guān)系，即研究x0×1與a2的大?。?/p>

1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2)若f(x0)=f(1)(其中x0≠1)，證明：a

1)解 同試題1的解答，得a>1(過程略)．

2)證明 因?yàn)閒(x)在(0,1)和(a,+∞)上單調(diào)遞增，在(1,a)上單調(diào)遞減，又f(x0)=f(1)且x0≠1，所以x0>a．又

f(a2)-f(x0)=f(a2)-f(1)=

從而h(a)在(1,+∞)上單調(diào)遞增．又因?yàn)閍>1，所以

h(a)>h(1)=0，

即

于是

f(a2)-f(x0)>0，f(a2)>f(x0).

因?yàn)閤0>a，a2>a，且f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增，所以a

同樣地，我們也可設(shè)定f(x0)=f(a)，設(shè)置問題考察x0,a與1的關(guān)系．下面筆者考慮研究x0,a的幾何平均數(shù)與1的關(guān)系，即研究x0×a與1的大?。P者通過探究發(fā)現(xiàn)，這兩者的大小關(guān)系隨著a值的變化而變化，因此考慮逆向設(shè)問，即給出x0×a與1的大小關(guān)系，反過來求參數(shù)a的取值范圍．

1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

解 1)同試題1的解答，得a>1(過程略)．

2)因?yàn)閒(x)在(1,a)上單調(diào)遞減，所以f(a)

當(dāng)a>3時(shí)，φ′(a)>0，從而φ(a)單調(diào)遞增，此時(shí)φ(a)>φ(3)>φ(1)=0，h(a)>0，不滿足題意;當(dāng)1

綜上所述，1

基于試題的考查功能，結(jié)合試題的結(jié)構(gòu)、難度，筆者選用了試題2．

4 結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想．在解題過程中，解題者要能主動(dòng)滲透、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想．同樣地，在命題中，命題者也應(yīng)該善于借助圖像的直觀，在圖像中發(fā)現(xiàn)、尋找“問題”．比如，函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，這就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法．因此，在有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的試題中，命題者就可以通過函數(shù)的圖像發(fā)現(xiàn)“幾何關(guān)系”，并翻譯成“數(shù)量關(guān)系”，從而形成試題．

命題原本非易事，苦思冥想難得意．等或不等圖中線，化作試題皆成趣！