課堂因“意外”而精彩*
——記一次染色問(wèn)題探究的奇幻之旅

●盛耀建

(湖州中學(xué),浙江 湖州 313000)

在課堂教學(xué)中，往往會(huì)出現(xiàn)一些意外，它是超出教師課前教案設(shè)計(jì)而出現(xiàn)的新情況、新問(wèn)題，它具有動(dòng)態(tài)性，是稍縱即逝的.如果我們能準(zhǔn)確、及時(shí)地捕捉到這些生成性資源并加以合理利用，將使課堂不斷涌現(xiàn)精彩、鮮活的畫(huà)卷.

筆者在最近一次主題為“多面體頂點(diǎn)染色問(wèn)題”的知識(shí)拓展類(lèi)選修課的課堂教學(xué)中，學(xué)生解答中出現(xiàn)的多種意外，使得筆者在解決意外的過(guò)程中，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了一次探究之旅，收到了意想不到的效果.

1 部分課堂實(shí)錄

例1 如圖1，從5種顏色中選出3種顏色，染在四棱錐S-ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)上染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，求不同的染色方法種數(shù).

作為一個(gè)范例，筆者先讓學(xué)生思考若干分鐘時(shí)間，然后與學(xué)生一起總結(jié)出該題的一種有效染色方案：分步乘法計(jì)數(shù)原理.具體分析如下：

變式1 從5種顏色中選出4種顏色，染在四棱錐S-ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)上染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，求不同的染色方法種數(shù).

1.1 幾種答案產(chǎn)生

變式1以學(xué)生自主思考為主，教師引導(dǎo)為輔，進(jìn)行合作探究.

師：從題意分析可知，選出的4種顏色必須要染完.有沒(méi)有同學(xué)能依據(jù)例1的解決方法，設(shè)計(jì)一種合理的染色方案.

(思考片刻后，教師請(qǐng)學(xué)生代表發(fā)言.)

(360種不是筆者想要的答案，“課堂意外”開(kāi)始萌芽.)

師：生1的答案是360種，其他同學(xué)有不同意見(jiàn)嗎？

生2：生1的答案不對(duì)，應(yīng)該是300種！

師：你是怎么想的？

生2：生1的方法包含了點(diǎn)A與點(diǎn)C同色且點(diǎn)B與點(diǎn)D同色的情況，而此時(shí)僅用了3種顏色，不符題意，故需除去這種情況.而例1告訴我們僅用3種顏色的染法有60種，因此變式1中不同的染色方法種數(shù)僅需在生1回答的360的基礎(chǔ)上減去60即可，應(yīng)為300.

(300種也不是正確答案，“課堂意外”得到蔓延.)

師：好像有點(diǎn)道理，還有不同意見(jiàn)嗎？

坐在角落的生3欲言又止，筆者觀(guān)察到了，請(qǐng)其回答.

生3：我跟前兩位同學(xué)的答案都不一樣，我算出來(lái)只有240種(筆者臉上露出一絲笑容).我是這么想的：共5個(gè)點(diǎn)僅4種顏色，從圖形結(jié)構(gòu)分析可知，分點(diǎn)A與點(diǎn)C同色(點(diǎn)B與點(diǎn)D不同色)有

或點(diǎn)B與點(diǎn)D同色(點(diǎn)A與點(diǎn)C不同色)有

故不同的染色方法種數(shù)為120+120=240.

(一道題竟然得出了3種答案，“課堂意外”達(dá)到頂峰.)

頓時(shí)，班級(jí)里像是炸開(kāi)了鍋，筆者順勢(shì)將學(xué)生以前后桌4人為單位分成若干組進(jìn)行討論，到底哪個(gè)答案正確？

幾分鐘后，從小組統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，絕大多數(shù)小組認(rèn)為240種是正確答案.

師：很好，240種是正確答案.生3的做法中注意到了有5個(gè)點(diǎn)卻僅4種顏色，故必有兩個(gè)頂點(diǎn)同色，從點(diǎn)A與點(diǎn)C同色(點(diǎn)B與點(diǎn)D不同色)和點(diǎn)B與點(diǎn)D同色(點(diǎn)A與點(diǎn)C不同色)兩個(gè)角度進(jìn)行分類(lèi)，得出不同的染色方法種數(shù)為120+120=240(稱(chēng)其為法1).

1.2 錯(cuò)誤原因分析

師：生1的答案“360種”明顯是錯(cuò)的，那么生2為什么也錯(cuò)了，問(wèn)題在哪里？

(糾錯(cuò)，找出錯(cuò)解原因，將探究活動(dòng)推向高潮.)

生4(自言自語(yǔ))：僅用3種顏色的染法有60種是對(duì)的，因此360種肯定不是用3種或4種顏色染色的染法種數(shù)，這里一定有問(wèn)題！我們可以先求出用3種或4種顏色染色的染法種數(shù)！

筆者借用生4的話(huà)給全班學(xué)生作了些許引導(dǎo)，不一會(huì)兒生5用間接法求得：

師：生5采用間接法求得用3種或4種顏色染色的染法種數(shù)果然是300，因此用生2的想法做此題應(yīng)該是300-60=240.

師：生1的做法能否通過(guò)改進(jìn)得出正確答案呢？

筆者話(huà)音未落，生1舉手了.

全班頓時(shí)響起了熱烈的掌聲！

1.3 問(wèn)題本質(zhì)揭示

為什么生2不能將生1得到的360種作為用3種或4種顏色染色的染法種數(shù)？

為了能夠說(shuō)明問(wèn)題，揭示問(wèn)題本質(zhì)，筆者在課堂上又舉了兩例：

例2 現(xiàn)有4種顏色，染在四棱錐S-ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)上染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，求不同的染色方法種數(shù).

例3 現(xiàn)有5種顏色，染在四棱錐S-ABCD的5個(gè)頂點(diǎn)上，每個(gè)頂點(diǎn)上染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，求不同的染色方法種數(shù).

犯了雜揉(一方面要求4種顏色都要用，另一方面將僅用3種顏色的染色的情況也考慮進(jìn)去了)的錯(cuò)誤.

修正錯(cuò)誤后可得：

2 課后反思

2.1 課堂意外的認(rèn)識(shí)

課堂意外是一種非常寶貴的課中生成性資源，是教學(xué)的瑰寶，值得每一位執(zhí)教者珍惜，處理得當(dāng)會(huì)使原本平淡的課堂大放異彩，處理不得當(dāng)也會(huì)使精彩的課堂走向平庸.課堂教學(xué)作為一個(gè)“活”的過(guò)程，千變?nèi)f化，誰(shuí)也無(wú)法阻止“意外”的發(fā)生.前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“教育的技巧并不在于能預(yù)見(jiàn)到課堂的所有細(xì)節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時(shí)的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺(jué)中作出相應(yīng)的變動(dòng).”

2.2 錯(cuò)誤資源的利用

課堂中實(shí)時(shí)產(chǎn)生的錯(cuò)誤也是一種教學(xué)資源，教師可以利用學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，帶領(lǐng)學(xué)生探討錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，并歸納總結(jié)，以防再次犯錯(cuò).整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生在不斷地完善自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，也在對(duì)比、感悟、思辨、總結(jié)中享受成功的喜悅，這也加強(qiáng)了師生間、生生間的互動(dòng)互助，激發(fā)了學(xué)生的積極性，培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，最終達(dá)到提高教學(xué)效率和育人的目的.正如美國(guó)心理學(xué)家貝恩布所說(shuō)：“差錯(cuò)人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的.沒(méi)有大量錯(cuò)誤作為臺(tái)階就不能攀登上正確結(jié)果的寶座.”[1]

2.3 面對(duì)意外的處置

課堂意外在所難免，作為教師面對(duì)意外應(yīng)有正確的心態(tài)，要認(rèn)識(shí)到課堂教學(xué)是服務(wù)于學(xué)生的.當(dāng)學(xué)生有意無(wú)意地跳出教師設(shè)計(jì)的思路時(shí)，千萬(wàn)不能不知所措，也不能硬著頭皮按原計(jì)劃上課.教師應(yīng)冷靜對(duì)待，充分調(diào)動(dòng)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和機(jī)智，及時(shí)調(diào)整教學(xué)思路，把課堂意外轉(zhuǎn)化為“教學(xué)資源”，使意外成為課堂教學(xué)中“無(wú)法預(yù)約的精彩”.俄國(guó)教育家烏申斯基說(shuō)：“不論教育者怎樣地研究理論，如果他沒(méi)有教育機(jī)智，他就不可能成為一個(gè)優(yōu)秀的教育實(shí)踐者.”在本節(jié)課的實(shí)施過(guò)程中，課堂意外隨3種答案的依次出現(xiàn)被一步步推向頂峰，面對(duì)課堂中出現(xiàn)的一波波“意外”，筆者并沒(méi)有自亂陣腳，而是做到了“讓學(xué)生把話(huà)說(shuō)完”，并以問(wèn)題的形式順勢(shì)將“意外”拋出引導(dǎo)學(xué)生將其推向頂峰，最終利用糾錯(cuò)環(huán)節(jié)，將“意外”一網(wǎng)打盡.