關(guān)注數(shù)學(xué)算法 創(chuàng)作數(shù)學(xué)命題*
——以一個(gè)不等式問(wèn)題證明為例

●余繼光 ●張新志

(柯橋中學(xué),浙江 紹興 312030)(姜堰第二中學(xué),江蘇 泰州 225500)

算法是指解題方案的準(zhǔn)確而完整的描述，是一系列解決問(wèn)題的清晰指令.算法代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問(wèn)題的策略機(jī)制.進(jìn)入人工智能時(shí)代，數(shù)學(xué)起著關(guān)鍵性作用，而人工智能的本質(zhì)之一就是算法的升級(jí)與算法思想的研究，人工智能的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)研究具有促進(jìn)作用[1]．從算法的視角看數(shù)學(xué)命題創(chuàng)作值得思考，建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、基本思想之上的算法值得基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)研究者關(guān)注，現(xiàn)以一個(gè)不等式問(wèn)題的證明入手來(lái)審視算法的作用與影響．

1 一個(gè)不等式證明的算法啟示

預(yù)備不等式：當(dāng)x>0時(shí)，

(1)

(2)

于是問(wèn)題1轉(zhuǎn)化為證明：

(3)

事實(shí)上，由基本不等式(a+b)(ab+1)≥b(a+1)2，即

評(píng)注 由式(1)到式(2)是一個(gè)結(jié)構(gòu)一致、思維跳躍的智慧點(diǎn)，因?yàn)樗鼈冊(cè)跅l件abcd=1下是一致的，從而使不等式的結(jié)構(gòu)隱藏得更深．

2 關(guān)注數(shù)學(xué)命題算法的意義

數(shù)學(xué)命題算法有三層意義：一是破解，二是更新，三是創(chuàng)新.在具體實(shí)踐中，這三層意義是遞進(jìn)的.這一過(guò)程在命題實(shí)踐中是經(jīng)常采用的，比如在各地高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試中，很多命題并不是原創(chuàng)的，而是根據(jù)現(xiàn)有的某個(gè)命題進(jìn)行改編的，其中一個(gè)途徑就是在算法上進(jìn)行變通[2]．

2.1 算法破解

首先，式(1)來(lái)自何處？引入待定系數(shù)k，使得4x2-x+1≤(xk+1)2成立，展開(kāi)得x2k-1+2xk-1+1≥4x.如何讓這一不等式恒成立呢？注意到左式的系數(shù)和為1+2+1=4恰好等于右式的系數(shù)，于是自然而然地就可以聯(lián)想到利用四元均值不等式使得該不等式恒成立，從而得到待定系數(shù)k.由

1.2 算法更新

其次，能否更新一種算法，命制一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？更新建立在已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)算法知識(shí)，比如利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的算法構(gòu)造一個(gè)較容易證明的不等式．

令x=2a+b，y=c+2d，p=a+b，q=c+d，即可證明原不等式．

1.3 算法創(chuàng)新

再次，能否創(chuàng)新一種算法，命制一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？創(chuàng)新需要靈感，靈感來(lái)自于長(zhǎng)期創(chuàng)作實(shí)踐的基礎(chǔ)，構(gòu)造思想是數(shù)學(xué)命題的創(chuàng)新之源．

證明 由ax+by+cz+dw=1，構(gòu)造表達(dá)式λ(ax+by+cz+dw-1)=0(其中λ為實(shí)常數(shù))，則

ax2+by2+cz2+dw2=ax2+by2+cz2+dw2+λ(ax+by+cz+dw-1)=

此證明的算法本質(zhì)是構(gòu)造思想.而構(gòu)造思想也是創(chuàng)新思想的基礎(chǔ)，此問(wèn)題的呈現(xiàn)形式也可以是“正數(shù)a，b，c，d滿足ax+by+cz+dw=1，則ax2+by2+cz2+dw2的最小值是______”，并期待其在高考數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)．

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題研究，尋找一般模型最重要.在由特殊到一般的探尋過(guò)程中，算法思想可以是不變的，抽象表達(dá)是關(guān)鍵，理解算法思想的內(nèi)涵是根本．

3 變式體驗(yàn)算法內(nèi)涵

證明 引入待定系數(shù)k，使得5x2-2x+1≤(xk+1)2成立，從而

x2k-1+2xk-1+2≥5x,

令4k-3=5，得k=2，從而5x2-2x+1≤(x2+1)2,利用式(3)即可得證．

證明 引入待定系數(shù)k，使得6x2-3x+1≤(xk+1)2成立,從而

x2k-1+2xk-1+3≥6x,

3.1 一般模型

問(wèn)題7 設(shè)a，b，c，d>0，abcd=1，n∈N+，求證：

證明 引入待定系數(shù)k，使得(n+3)x2-nx+1≤(xk+1)2成立，從而

x2k-1+2xk-1+n≥(n+3)x,

由(n+3)元均值不等式可得

3.2 引伸變通

證明 tanα1tanα2=tanα3tanα4等價(jià)于tanα1tanα2cotα3cotα4=1,所證不等式等價(jià)于

令tanα1=a,tanα2=b,cotα3=c,cotα4=d，則原命題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題5(下略)．

數(shù)學(xué)命題的核心之一是算法，人工智能的核心也是算法.根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)水平，“能夠在綜合的情境中，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的研究對(duì)象，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題”，此命題在此背景下創(chuàng)作而成，問(wèn)題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、整齊，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)美；問(wèn)題結(jié)構(gòu)隱藏深，挖掘深，數(shù)學(xué)模型美；求解過(guò)程轉(zhuǎn)化思想靈，拓展寬，將三角函數(shù)與代數(shù)結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合，算法嚴(yán)謹(jǐn)，深化了求解人的數(shù)學(xué)思維層次，此問(wèn)題對(duì)優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也是一次挑戰(zhàn)[3]．