辨識全等與旋轉(zhuǎn)　方知旋轉(zhuǎn)有奇效

摘 要：旋轉(zhuǎn)思想與全等思想本質(zhì)上有著密切的關(guān)聯(lián)性.一般而言，學(xué)生運用旋轉(zhuǎn)思想證明旋轉(zhuǎn)背景下的全等問題，要比用全等思想證明困難得多，學(xué)生易單純地從全等模式下進行證明，極易產(chǎn)生漏解（遺漏線段位置關(guān)系）.對此，對于旋轉(zhuǎn)思想的培養(yǎng)，要加強利用概念要素教學(xué)探究性質(zhì)，以利于學(xué)生對旋轉(zhuǎn)法的理解運用.

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)問題;旋轉(zhuǎn)法;全等法;思辨關(guān)系

作者簡介：程志南（1964-），男，浙江瑞安人，?？疲袑W(xué)高級教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

學(xué)習(xí)人教2013年版教科書的九年級學(xué)生，在求解有關(guān)旋轉(zhuǎn)類型的全等問題時，習(xí)慣用全等的視覺看待解決.緣何如此？究其原因，我們發(fā)現(xiàn)，這是由于旋轉(zhuǎn)與全等有著共同的屬性特征，都是關(guān)于兩個圖形之間能夠完全重合的全等關(guān)系;又由于旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程之推理表達形式極其類似，都是在全等的過程推理模式中進行;再由于旋轉(zhuǎn)知識是初學(xué)初用，而全等知識卻普遍存在和廣泛應(yīng)用，學(xué)生全等思想烙印深刻;還由于旋轉(zhuǎn)涉及圖形的運動，而運動的圖形使線段之間、角之間的關(guān)系變得復(fù)雜抽象.如何教學(xué)才能使學(xué)生自覺地運用旋轉(zhuǎn)思想解決有旋轉(zhuǎn)背景的全等問題？本文試圖從旋轉(zhuǎn)與全等的關(guān)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式習(xí)慣等諸方面分析產(chǎn)生的原因，以及對教學(xué)的一些思考.

1 問題提出

圖形的旋轉(zhuǎn)與全等有著千絲萬縷的聯(lián)系，旋轉(zhuǎn)也是一種全等變換，可謂旋轉(zhuǎn)中必有全等，全等中一定條件下有旋轉(zhuǎn)背景.

學(xué)生用旋轉(zhuǎn)思想證明旋轉(zhuǎn)背景下的全等問題，要比用全等思想證明困難，求解時習(xí)慣用全等視覺一味地只關(guān)注靜態(tài)下圖形全等而缺乏運動觀點，不能自如地運用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)定量、定性描述推理，造成對圖形只作定量分析無定性描述，導(dǎo)致解題走進死胡同，結(jié)論寫不全.作為教師，常困惑于學(xué)生學(xué)習(xí)方法死，固守已有的全等思維模式，運動觀點、發(fā)散思維與創(chuàng)新能力差，如何讓學(xué)生求解此類問題時，自覺地運用旋轉(zhuǎn)思想解決呢？

2 試題呈現(xiàn)

題1 如圖1，點K是正方形ABCD內(nèi)一點，以AK為一邊作正方形AKLM，使點L，M在AK同旁，連接BK和DM，試用旋轉(zhuǎn)思想說明BK與DM的關(guān)系.

這是我縣九年級中考模擬試題.試題立足教材“旋轉(zhuǎn)”章節(jié)，關(guān)注學(xué)生對旋轉(zhuǎn)知識掌握與運用情況，考查感知運動觀點，運用旋轉(zhuǎn)思想解決問題的能力.從題目數(shù)學(xué)對象點、線、角、形，需從圖形位置和數(shù)量關(guān)系兩個角度描述.但從閱卷情況看，這一考查目標(biāo)不理想，學(xué)生基本從全等角度入手，只判斷線段BK與DM的數(shù)量關(guān)系而遺漏位置關(guān)系，鮮有運用旋轉(zhuǎn)思想解決，說明很多學(xué)生概念理解不全混淆不清，或題意理解不清漏寫結(jié)論，暴露了學(xué)生用運動觀點分析解決問題意識不強，同時也從教學(xué)方面說明了教師在教學(xué)中滲透旋轉(zhuǎn)觀點的教學(xué)觀重視不夠.

3 解答情況

3.1 多數(shù)學(xué)生從全等角度解答

解析 因為四邊形ABCD和AKLM是正方形，

所以AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM=90°.

所以∠BAD-∠KAD=∠KAM-∠KAD.

即∠BAK=∠DAM.

所以△ABK≌△ADM（SAS）.

所以BK=DM.

3.2 鮮有學(xué)生從旋轉(zhuǎn)角度解答

解析 因為四邊形ABCD和AKLM是正方形，

所以AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM=90°.

所以△ADM是以點A為旋轉(zhuǎn)中心，∠BAD為旋轉(zhuǎn)角，由△ABK旋轉(zhuǎn)而成，所以BK⊥DM且BK=DM.

由全等法只獲得數(shù)量關(guān)系，而旋轉(zhuǎn)法既獲得定量又獲得定性關(guān)系.其實，全等法也可得位置關(guān)系.只要延長BK交DM，得兩個對頂三角形，由△ABK≌△ADM和對頂角相等，同樣可得BK⊥DM.

題目要求從旋轉(zhuǎn)角度說明線段關(guān)系，然而多數(shù)學(xué)生全然無視不顧，直奔兩個三角形全等獲得數(shù)量關(guān)系，不會從數(shù)量和位置關(guān)系兩角度刻畫圖形性質(zhì)，僅從一角度寫結(jié)論.可見，學(xué)生求解時眼中只有全等而無旋轉(zhuǎn)，空間想象匱乏.運用旋轉(zhuǎn)思想處理全等問題，需要有一定的空間觀念和運動觀點支撐，這正是學(xué)生的短板，需要“修補”加強.

4 原因分析

4.1 全等思想根深蒂固

旋轉(zhuǎn)對全等有密切的依存關(guān)系，有旋轉(zhuǎn)背景的圖形一定存在全等效果.人教2012年版教科書把“全等三角形”編排在八年級上，一年后安排九年級上學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”.這樣，學(xué)習(xí)全等后的幾何學(xué)習(xí)中，全等知識普遍存在和廣泛應(yīng)用，全等思想運用幾乎“如影隨形”無處不在，使用率極高.而后續(xù)學(xué)習(xí)的旋轉(zhuǎn)知識是初學(xué)初用，且圖形需要有旋轉(zhuǎn)背景特征條件才能用旋轉(zhuǎn)思想處理，使用率低于全等.因此學(xué)生全等思想烙印深刻，全等意識強于旋轉(zhuǎn)意識，在處理兩條線段關(guān)系時，腦海里首先釋放的是全等策略強信息，在此信息牽引下自然而然地運用全等思想解決問題.

4.2 思維定勢產(chǎn)生負(fù)遷移

由于全等思想運用的普遍性和先入為主的觀念，全等思想占據(jù)主導(dǎo)地位，形成潛意識下思維習(xí)慣.學(xué)生學(xué)習(xí)知識單一膚淺，在慣性思維作用下，后繼運用新知識“旋轉(zhuǎn)背景下的全等”，受已有知識經(jīng)驗全等思想運用比較熟練的干擾，產(chǎn)生過度依賴，引起思維僵化，不能從運動觀點出發(fā)，多角度、全面整體地看問題.在解決此類問題時，受思維定勢消極影響，“獨此一家，別無分店”，眼中只有全等，不能用運動觀點從旋轉(zhuǎn)角度思考，妨礙了運用旋轉(zhuǎn)思想解決問題的策略.教育心理學(xué)認(rèn)為，產(chǎn)生錯誤原因是負(fù)遷移作崇.

4.2.1 旋轉(zhuǎn)與全等的屬性特征一致造成負(fù)遷移

人教2012年版義務(wù)教育教科書八年級上第31頁定義全等：“形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形”;而把一個平面圖形繞著平面內(nèi)的某個點轉(zhuǎn)動一個角度，旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形形狀、大小相同，完全重合，是全等形.簡言之，旋轉(zhuǎn)與全等都有著兩個圖形能夠完全重合的全等形關(guān)系共同屬性特征.

4.2.2 旋轉(zhuǎn)與全等的對應(yīng)元素性質(zhì)相同造成負(fù)遷移

全等的兩個三角形對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等;同樣，基本圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.

4.2.3 旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程相近造成負(fù)遷移

旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程，其書寫推理表達形式極其類似，都是在全等推理模式中進行，極易造成負(fù)遷移.學(xué)生受全等思想定勢思維的消極影響，求解時容易走入全等誤區(qū).如題1，全等用“邊角邊”判斷，旋轉(zhuǎn)同樣用類似于“邊角邊”模式獲得.

題2 如圖2，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AC上一點，過點A作AG⊥EB，垂足為點G，AG交BD于點F，求證：OE=OF.

解法1（利用全等思想證明）因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，OA=OB.

所以∠AOF=∠BOE=∠90°.

因為∠AGB=90°，所以∠BEA+∠EAG=∠AFO+∠EAG=90°.

所以∠BEA=∠AFO.

所以△AOF≌△BOE（AAS）.

所以O(shè)E=OF.

解法2（利用旋轉(zhuǎn)思想證明）因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，OA=OB.

因為∠AGB=90°，所以∠BEA+∠EAG=∠AFO+∠EAG=90°.

所以∠BEA=∠AFO.

故可以點O為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使Rt△OAF重合于Rt△OBE，所以O(shè)E=OF.

全等策略是根據(jù)正方形性質(zhì)，利用AAS判定全等，再用全等性質(zhì)獲解;而旋轉(zhuǎn)策略也是根據(jù)正方形性質(zhì)，用類似于AAS模式推理兩個三角形重合，得對應(yīng)邊相等.兩相比較，只不過旋轉(zhuǎn)要特別證明有一對旋轉(zhuǎn)角相等，在推理過程中體現(xiàn)出來.可見，旋轉(zhuǎn)與全等的證明過程何其相似.

4.3 學(xué)生常常糾結(jié)于旋轉(zhuǎn)證明如何表述

運用旋轉(zhuǎn)知識解決問題時，學(xué)生常常疑問：在解題時怎樣提及旋轉(zhuǎn)？我用全等證明了，但題目要求“用旋轉(zhuǎn)思想”，該怎樣表達呢？是證明它旋轉(zhuǎn)，還是用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)去證明？

學(xué)生糾結(jié)的問題，其實質(zhì)是畏懼旋轉(zhuǎn)證明的書寫形式.對學(xué)生而言，全等證明容易上手，而旋轉(zhuǎn)證明相對棘手.由于思考問題的局限性，不善于用運動眼光看待問題.旋轉(zhuǎn)變換本質(zhì)就是圖形運動的一種形式，因為旋轉(zhuǎn)，所以抽象，抽象使問題變得復(fù)雜困難.因此，相較于全等書寫表達形式，學(xué)生不習(xí)慣用旋轉(zhuǎn)書寫形式推理表達，且有畏忌心理，害怕寫不好，故喜好從全等角度進行推理表達.

5 教學(xué)思考

教學(xué)旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)，要緊扣三要素進行，以彰顯變換特性，體現(xiàn)點、線、形變換的一致性，強化研究視覺的關(guān)聯(lián)性，需要強化圖形變換的過程性教學(xué)，重視幾何語言學(xué)習(xí).

5.1 學(xué)會利用三要素描述旋轉(zhuǎn)過程

概念是基礎(chǔ)，三要素是旋轉(zhuǎn)概念的基石，是重中之重.教學(xué)旋轉(zhuǎn)概念時，依據(jù)教材“思考”材料，借助具體物體（時鐘）的支持，依托課件操作演示，直觀感知旋轉(zhuǎn)變換是由一個圖形改變?yōu)榱硪粋€圖形，在改變過程中，原圖上所有點都繞某個固定點按同一方向轉(zhuǎn)動同一個角度，三個要素揭示定義實質(zhì)，從而明確三要素.因此，要清楚地描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，首先要說明旋轉(zhuǎn)中心，然后說明旋轉(zhuǎn)方向和角度.以時鐘指針旋轉(zhuǎn)為例，你能用旋轉(zhuǎn)三要素描述指針的旋轉(zhuǎn)嗎？然后進行辨識旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和描述旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的練習(xí)，加深理解.

5.2 利用旋轉(zhuǎn)概念要素思考研究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的教學(xué)

性質(zhì)是運用于解題的依據(jù).只有深刻理解了旋轉(zhuǎn)不變性，才會具備運用旋轉(zhuǎn)思想解決問題的意識，以及正確靈活地創(chuàng)新運用.數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，那么，旋轉(zhuǎn)本質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)思想的教學(xué).教學(xué)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)時，充分依托教材學(xué)習(xí)材料，豐富并發(fā)展.用猜想、測量、驗證、證明的教學(xué)方式引領(lǐng)學(xué)生研究旋轉(zhuǎn)性質(zhì).

探究 如圖3，在硬紙板上，挖一個三角形洞，再另挖一個小洞O作為旋轉(zhuǎn)中心，硬紙板下面放一張白紙.先在紙上描出這個挖掉的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動硬紙板，再描出這個挖掉的三角形（△A′B′C′），移開硬紙板[1].你能得出它們哪些不變性？

學(xué)生獨立思考后，小組合作，用符號語言寫出圖中整體和對應(yīng)要素之間的數(shù)量和位置關(guān)系.點的旋轉(zhuǎn)軌跡是圓弧路徑，因此，圖形上點與旋轉(zhuǎn)中心連線即為半徑，如圖4.

追問1：△A′B′C′可以看成△ABC經(jīng)過怎樣的運動得到的？

追問2：觀察旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形，你能立即得出它們有哪些不變性嗎？

追問3：總結(jié)得到的結(jié)論，從三要素出發(fā)，對應(yīng)點的不變性怎樣體現(xiàn)？

追問4：你認(rèn)為研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是研究什么？

追問5：你認(rèn)為對應(yīng)元素有哪些？它們在形狀、大小、位置關(guān)系上有哪些不變性？

這里的教學(xué)處理，就是引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)思考性質(zhì)，也就是利用旋轉(zhuǎn)三要素研究性質(zhì).體現(xiàn)兩點[2]：①由點到形研究.先從圖形上特殊點（線段端點）變換過程出發(fā)，由特殊到一般去研究整體.讓學(xué)生知道，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)就是旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的關(guān)系，是兩個圖形的形狀、大小和位置關(guān)系;②思考的有序性（邏輯性）.由一組對應(yīng)點性質(zhì)（即對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角），再到兩組對應(yīng)點性質(zhì)（即兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等），最后利用已確定的要素（點、線、角關(guān)系）對象，明確研究圖形的全等關(guān)系.

追問6：怎樣驗證上述猜想的正確性？這一發(fā)現(xiàn)對于任意三角形的任意旋轉(zhuǎn)都成立嗎？

學(xué)生猜想和測量后，利用幾何畫板給出一些數(shù)據(jù)進一步操作驗證.幾何圖形性質(zhì)，只靠猜想和有限的數(shù)據(jù)驗證遠遠不夠，利用相關(guān)定理進行推理驗證，才是科學(xué)可信的.

證明 因為A和A′是對應(yīng)點，由對應(yīng)點的定義可知OA=OA′，同理OB=OB′，OC=OC′，即對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

因為∠AOB=∠A′OB′，所以∠AOB+∠BOA′=∠A′OB′+∠BOA′.

所以∠AOA′=∠BOB′.

同理∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.

即任意一對對應(yīng)點和旋轉(zhuǎn)中心的連線所夾的角（旋轉(zhuǎn)角）相等.易證△AOB≌△A′OB′.

所以AB=A′B′，同理BC=B′C′，CA=C′A′.

所以△ABC≌△A′B′C′.

即旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形全等.

問題1-5體現(xiàn)了探索發(fā)現(xiàn)，問題6體現(xiàn)了合情與邏輯推理，突出：①點旋轉(zhuǎn)確定形旋轉(zhuǎn)效果，將研究形旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為研究點旋轉(zhuǎn);②一個基本點（旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形對應(yīng)點繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同角度）統(tǒng)領(lǐng)旋轉(zhuǎn)全局的教學(xué)思路.讓學(xué)生親歷了性質(zhì)發(fā)現(xiàn)、概括和驗證過程，幫助深刻理解和掌握性質(zhì)，發(fā)展歸納和合情推理能力.其中，“旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形全等”性質(zhì)的證明，需要通過添加輔助線（點運動半徑）構(gòu)造獲得，這又為后續(xù)解決旋轉(zhuǎn)全等問題提供了方法策略.

5.3 怎樣用旋轉(zhuǎn)思想解決幾何問題

以一道習(xí)題的解析為例進行說明.

題3 如圖5，等腰Rt△ABC中，M為AC上一點，∠DBM=45°，且AD⊥AC，AC=BC=12，DM=10，求CM的長.

解法1 如圖6，延長AD，作過點BG⊥AD交AD延長線于點G，截取GE=CM.

易證四邊形ACBG.

所以△BGE≌△BCM，△BDM≌△BDE.

設(shè)線段CM=x，則EG=x，DG=10-x.

從而AD=12-（10-x）=2+x.

在Rt△ADM中，（12-x）2+（2+x）2=102，解得x1=3或x2=8.

解法2 將△BCM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BGE，連接DG.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易知△BGE≌△BCM，∠CBG=90°.

所以∠BGE=∠BCM=90°，EG=CM.

由等腰Rt△ABC和AD⊥AC，易證四邊形ACBG是正方形.

所以∠BGD=90°.

所以∠BGD=∠BGE=90°.

所以D、G、E三點在同一直線上.下同解法1.

由于旋轉(zhuǎn)涉及圖形運動，運動的圖形使線段之間、角之間關(guān)系變得復(fù)雜抽象，但旋轉(zhuǎn)卻能夠把如同散沙般的條件聚攏利用，有利解決問題.那么，如何想到用旋轉(zhuǎn)方法呢？

5.3.1 如何添輔助線

這個問題等同于怎么想到旋轉(zhuǎn)法.本題條件十分分散，不易直接求出CM，如何將關(guān)聯(lián)線段集中到同一個三角形中，是解決問題的關(guān)鍵.等腰直角三角形其實是由正方形沿對角線折疊后得到的，我們想到，不妨將這個過程還原，即構(gòu)造出原來的正方形，同時可以將△BCM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖6.

這是一個非常熟悉的圖形，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出一對全等三角形△BCM和△BGE，同時還得到另一對全等三角形△BDM和△BDE，思路由此打開.

5.3.2 如何表述輔助線的作法

顯然，兩種解法都體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)思想構(gòu)造全等三角形的思路，然而，輔助線作法的表述截然不同.

解法1體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)思維非旋轉(zhuǎn)作圖.證明過程中沒有表述為旋轉(zhuǎn)，通常用作出輔助線后再證全等方式來達到旋轉(zhuǎn)效果.說明作輔助線的具體內(nèi)容如：“過某點作××的平行線（或垂線），交××于×點”“延長××到×點，連接××”“在××上截取××=××，連接××”“作∠×××=××度”.

解法2體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)思維旋轉(zhuǎn)作圖.借助旋轉(zhuǎn)思想對圖形元素間的關(guān)系進行定性分析探尋思路構(gòu)造全等三角形，證明過程中利用旋轉(zhuǎn)三要素表述旋轉(zhuǎn)作圖，但需要說明三點共線，而這恰是學(xué)生的軟肋.

如何掌握旋轉(zhuǎn)的方法，使學(xué)生逐步添加輔助線，這些都是有規(guī)律可循的.由此，教學(xué)時，必須向?qū)W生講清旋轉(zhuǎn)作圖的兩種方法，會正確表達旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果，注意規(guī)范輔助線的表述，規(guī)范證明的書寫格式.

通過習(xí)題教學(xué)，甄別旋轉(zhuǎn)背景下全等問題的兩種解法，領(lǐng)會旋轉(zhuǎn)法實質(zhì)是從動態(tài)視角探究問題，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一種解題方法;理解當(dāng)圖形條件過于分散，無法有效利用時，就需要移動圖形，將部分圖形改變位置后重組優(yōu)化，有利發(fā)現(xiàn)隱含條件，抓住問題的實質(zhì)關(guān)鍵，而移動圖形的手段就是三種變換;明確當(dāng)圖形中只要存在共頂點的等線段時，就可以實施旋轉(zhuǎn)變換，體會創(chuàng)新妙用旋轉(zhuǎn)變換解決問題的奇效.

參考文獻：

[1]林群.人教版義務(wù)教育教科書九年級上冊（2012年版）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]姜昊. “圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)設(shè)計[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2018（09）：52-55+64.

（收稿日期：2019-08-19）