莫爾應變圓極點法及應變極點特性研究

翟漢波，李大勇,劉慶松，王凱挺

(山東科技大學 a.山東省土木工程防災減災重點實驗室; b.土木工程與建筑學院，山東 青島　266590)

莫爾應變圓極點法及應變極點特性研究

翟漢波a,b，李大勇a,b,劉慶松b，王凱挺b

(山東科技大學a.山東省土木工程防災減災重點實驗室;b.土木工程與建筑學院，山東 青島266590)

摘要：極點是根據(jù)單元體的應變狀態(tài)在莫爾應變圓上做出的一個特殊點，通過極點可以獲得任意平面的應變狀態(tài)。為確定莫爾應變圓上的極點，提出了2種方法——平行線法和法線法。采用反證法分別驗證了平行線法和法線法確定的應變極點的唯一性，采用幾何作圖法分別驗證了平行線法和法線法確定的應變極點的可靠性。研究表明：2種方法確定的應變極點位于莫爾應變圓的同一條直徑上；應力極點與應變極點位于莫爾應力圓與應變圓組成的同心圓的半徑上。莫爾應變圓極點法具有簡便、準確的優(yōu)點，避免了復雜的公式計算，是求解巖土工程中的穩(wěn)定和變形問題及確定單元體復雜應變狀態(tài)的優(yōu)選方法。

關(guān)鍵詞：莫爾圓；極點法；應力圓；應變圓；唯一性；旋轉(zhuǎn)法

1研究背景

莫爾圓(MohrCircle)的概念來源于德國橋梁工程師KarlCulmann在1866年提出的應力可以用圖解法分析的思想，Culmann證明了作用于任意斜截面上的正應力和剪應力為應力圓上的一點的坐標[1]。1882年德國土木工程師ChrisitanOttoMohr對這一課題進行了完整的研究，把莫爾圓推廣應用到二維及三維應力情況，并提出了基于應力圓的強度準則[2]。從此，人們卻淡忘了莫爾圓真正發(fā)明人Culmann，并一直稱“MohrCircle”至今。Culmann在莫爾圓上建立了一個點，通過這個點作平行于任意平面的平行線與圓的交點即為該面上作用的應力。這個“點”被稱為“極點”(Polepoint)，然而Culmann當年并沒有給予它命名。極點法是莫爾圓中的一個非常重要的方法，借助極點可以用作圖法方便、快速地得到復雜條件下的應力狀態(tài)(應力大小和方向)而不必使用繁復的數(shù)值計算。

土力學教材中如，Terzaghi[3]，Lambe[4]，Budhu[5]，Das[6]，Holtz[7]都介紹了平行線法作應力圓極點的方法，但未涉及應變問題。材料力學中，如Gere[8]，Hearn[9]，Hibbeler[10]等都介紹了在莫爾應變圓上，由已知應變值點繞圓心旋轉(zhuǎn)2α角所對應的點的方法，α為已知應變平面與未知應變平面的夾角，并未涉及極點的概念。李大勇等[11-12]證明了極點存在的唯一性，同時提出了確定莫爾應力圓極點的新方法。與公式法相比，莫爾圓極點法避免了復雜的解析計算，同時解決了利用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法不能解決的復雜應力問題。莫爾應變圓極點法可以準確求解出任意平面的應變狀態(tài)，確定主應變面的位置和主應變面上應變值的大小。

本文是對文獻[11-12]研究成果的推進，給出了定義應變極點的2種方法：平行線法和法線法。得到了2種不同應變極點定義下，極點在莫爾應變圓上的關(guān)系，證明了2種極點法解決平面應變問題的準確性。極點的定義方法不同，在莫爾圓上得到極點的位置也不同。當定義極點的方法確定時，莫爾圓上有且僅有一個極點，證明了2種極點定義方法下極點的唯一性。雖然這2種方法下的極點不是同一個點，但所求得的結(jié)果是相同的。說明了極點法解決復雜應變問題的優(yōu)越性。最后，根據(jù)應力應變之間的關(guān)系，在莫爾應力圓與應變圓組成的同心圓上，利用平行線法作出應力極點和應變極點，得到了應變極點與應力極點之間的關(guān)系。

2莫爾應變圓極點法

2.1平行線法

單元體平面應變單元見圖1(a)。根據(jù)土力學規(guī)定：壓應變?yōu)檎?，取剪應變繞單元逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。本文分析了平面單元體內(nèi)部截面上的應力應變狀態(tài)，采用直線表示垂直于平面單元體內(nèi)部的截面。平行線法確定莫爾應變圓極點的步驟為：在ε-γ/2坐標系下(圖1(b))，作點C(εx，γxy/2)，點D(εy，γyx/2)，連接C，D兩點，以CD為直徑作莫爾應變圓。過C點作平面ad的平行線交圓于一點P′，也可過D點作平面ab的平行線交于P′，P′即為應變極點。通過極點P′作ae面對應的平行線交莫爾應變圓于E′，交點的坐標值(εθ，γθ/2)即為該平面的應變值。

圖1　應變單元體與所對應的莫爾應變圓Fig.1　Plane strain element and correspondingMohr circle of strain

2.2法線法

法線法確定莫爾應變圓極點的步驟如下:在圖1(b)中，過莫爾應變圓C或D點作平面ad的法線n1的平行線交圓于一點P，該點即為法線法定義下的應變極點。通過P點作任一平面的法線的平行線與圓的交點即為對應平面的應變值點，如通過極點P作ac面法線n2的平行線交莫爾圓與E，該點的坐標值(εθ，γθ/2)即為該平面的應變值，即E與E′是同一個點。

在莫爾應變圓上(圖1(b))，連接PP′，由幾何關(guān)系得PC⊥P′C，點P與P′在同一條直徑上。因此對于給定單元體平面應變狀態(tài)，平行線法與法線法所定義的極點位于莫爾應變圓的同一直徑上。

3莫爾應變圓極點的唯一性證明

給定應變狀態(tài)下，莫爾應變圓上有且僅有一個極點存在，這就是極點唯一性原理，可采用反證法證明，假設在莫爾圓上的極點不唯一。此證明方法同樣適用于應力極點的唯一性證明。

圖2　平行線極點的唯一性證明Fig.2　Uniqueness proof of ploe pointby parallel line method

3.1平行線法極點唯一性證明

圖2(a)為某一應變單元體，已知最大、最小主應變分別為ε1，ε3。圖2(b)為應變單元所對應的莫爾應變圓，由最大、最小主應變得到應變極點P。

已知截面β上的應變(εβ，γβ/2)，過莫爾應變圓上點C(εβ，γβ/2)作該平面的平行線交應變圓于一點P′。顯然，若證得P與P′不重合則原假設成立，極點不唯一。否則，原假設不成立，證明極點具有唯一性。證明過程如下：

任意β平面上的應變值可用最大、最小主應變值表示為:

(1)

(2)

作輔助線連接P′A,P′B,CO1和PO1，作CD⊥AB于D。

又有莫爾應變圓方程[9]

(3)

則直線CD的長度為

(4)

直線O1D的長度為

(5)

進而，

(6)

所以∠CO1D=2β。

在圖2中，由CP′∥de，得∠P′EO1=∠DEC =α+β。

在ΔCDE中，

∠DCE =90° - ∠DEC=90° - α - β。

在ΔCO1D中，

∠O1CD=90°-∠CO1D，即∠O1CD =90°-2β。

因此，

∠ECO1=∠O1CD -∠DCE=α - β 。

進而，在ΔP′O1C中，

∠P′O1C=180°-2∠ECO1，即∠P′O1C =180°-2(α - β)，∠P′O1B=∠P′O1C-∠CO1D =180°-2α。

在ΔP′O1B中，

所以∠P′BA=∠PBA=α。即證明BP與BP′重合，即點P與P′重合，即證明了莫爾應變圓上利用平行線法所作的極點具有唯一性。

3.2法線法極點的唯一性證明

圖3(a)為某一應變單元體，已知最大、最小主應變分別為ε1，ε3。圖3(b)為應變單元所對應的莫爾應變圓，利用平面法線法由最大、最小主應變得到應變極點P′。由已知截面β上的應變(εβ，γβ/2)，過莫爾應變圓上點C(εβ，γβ/2)作該平面法線的平行線交應變圓于一點P。

圖3　法線法極點的唯一性證明Fig.3　Uniqueness proof of pole pointby normal line method

證明過程如下：

作輔助線連接PA，PB，CO1和PO1，作CE⊥AB于E。

(7)

直線O1E的長度為

(8)

因此，

在ΔCO1D中(圖3(b))，∠O1CD=180°-∠CO1D-∠CDO1，即∠O1CD =β-α 。

由PC⊥CF，得∠PCO1=90°-∠O1CD，所以∠PCO1=90°- β+α 。

在ΔPO1C中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，∠PO1C=180°-2∠PCO1，即∠PO1C =2β-2α 。

在ΔPO1A中，∠PO1A=∠PO1C+∠CO1A=180° -2α。

所以∠BAP=∠BAP′=α。即證明AP與AP′重合，即點P與P′重合，即證得莫爾應變圓上利用平面法線法所作的極點具有唯一性。

4莫爾圓極點法的可靠性證明

利用極點法作圖獲得任意斜截面上作用的應變，是非常方便的，下面將證明極點法的可靠性，即通過極點法與通用的莫爾圓旋轉(zhuǎn)法得到的結(jié)果進行比較，以驗證極點法解決平面應變問題的準確性。

4.1平行線極點法的可靠性證明

已知單元體的平面應變狀態(tài)(圖4(a))，利用平行線法在其對應的莫爾應變圓上作出ae平面上的應變值點F′(εβ，γβ/2)(圖4(b))。

圖4　平行線極點法的可靠性證明Fig.4　Reliability proof of determining pole pointby parallel line method

莫爾圓旋轉(zhuǎn)法[8]步驟如下：由已知單元體的應變狀態(tài)(圖4(a))作出對應的莫爾應變圓(圖4(b))。如圖4(a)所示，ae平面可看作由cd平面逆時針轉(zhuǎn)過90°+β得到。在莫爾應變圓上，ae平面上的應變值可由OC逆時針轉(zhuǎn)過2(90°+β)得到，即C點繞圓心逆時針轉(zhuǎn)過2(90°+β)得到點F(εβ，γβ/2)。

對比2種方法，發(fā)現(xiàn)∠CPF′為圓弧FDC的圓心角，∠COF為圓弧FDC所對應的圓周角，∠CPF′=2∠COF。顯然，F(xiàn)點與F′點重合，所以極點法所求得的任意平面的應變值與莫爾圓作圖法所得到的應變值相等，平行線極點法的解答與材料力學中的莫爾應變圓作圖法求解所得的解是一致的。

4.2法線極點法的可靠性證明

已知單元體的平面應變狀態(tài)(圖5(a))。利用平行線法在其對應的莫爾應變圓上通過極點P作出ae平面上的應變值點F′(εβ，γβ/2)。

在圖5(a)中，ae平面可視為由ac平面順時針轉(zhuǎn)過90°-β得到。在莫爾應變圓(圖5(b))，ae平面上的應變值可由直線OC順時針轉(zhuǎn)過2(90°-β)得到，即點F的坐標(εβ，γβ/2)。

圖5　法線極點法的可靠性證明Fig.5　Reliability proof of determining pole pointby normal line method

對比2種方法，發(fā)現(xiàn)∠CPF′為圓心角∠COF所對應的圓周角。顯然，P點與P′點重合，所以極點法所求得的平面應變值與現(xiàn)有莫爾圓作圖法所得到的值相等，即證明了莫爾應變圓法線極點法求解任意平面應變值的準確性。極點的定義方法雖然不同，但是對于求解相同問題的解答是相同的。

5極點法解決復雜問題的優(yōu)越性

莫爾應變圓極點法對于解決復雜應變問題，具有獨特的優(yōu)越性。當只給定2個任意平面及所對應的應變值時，即2個任意平面不互相垂直(圖6(a))，即θ≠90°，并且γA≠γB時，利用莫爾應變圓極點法可以容易確定該應變單元體上任一截面ef上的應變值。

在圖6(a)中，按照通用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法可知，如果2個應變點的坐標值不在莫爾圓同一條直徑上，則僅由這2點的坐標值無法確定唯一的莫爾圓。因此，復雜應變狀態(tài)下，不能用通用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法確定微元體其他平面的應變狀態(tài)。此時，建立ε-γ/2坐標系(圖6(b))，由平行線極點法(或法線法)找到極點P，通過A，B，P三點即可作出莫爾應變圓。在莫爾圓上由極點作ef的平行線PC，與莫爾圓的交點C即為所求平面的應變值。

圖6　任意平面應變單元與對應的莫爾應變圓Fig.6　Arbitrary plane strain element andcorresponding Mohrcircle of strain

由此可見，通過已知單元體任意夾角的平面應變狀態(tài)求解任意截面上的應變值時，應用莫爾圓極點法求解具有簡便、準確的優(yōu)點。

6應變極點與應力極點的關(guān)系

根據(jù)應力-應變關(guān)系可知，對于給定的應力單元體(圖7(a))，可以通過胡克定律確定其應變值。根據(jù)莫爾應力圓與應變圓關(guān)系[9]，當選定適當?shù)谋瘸?即

(9)

式中:S1為應力比尺;S2為應變比尺；E為材料的彈性模量； μ為材料的泊松比。則應力圓與應變圓將有同一圓心，若一個圓的半徑已知，可以在同一坐標系下將應力圓與應變圓作成同心圓(圖7(b))。其中，兩圓半徑的關(guān)系為

(10)

式中：R為應力圓半徑；r為應變圓半徑。

圖7　應力極點與應變極點的位置關(guān)系Fig.7　Location relationship between stress pole pointand strain ploe point

在莫爾應力圓上，過點C作PC∥ab交圓與P點，則P點即為應力圓的極點，通過P點作ac面的平行線PE交應力圓于點E(σθ，τθ)。根據(jù)應力圓與應變圓的半徑關(guān)系作出對應的莫爾應變圓。在莫爾應變圓上，得到應變極點P′，過P′點作ac面的平行線交圓于E′。則平面ac上的應變值為(εθ,γθ/2)。在圖7(b)中，連接O1E′，O1E，根據(jù)通用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法可知∠EO1C=∠E′O1D=2θ。點O1，E和E′在同一條直線上。

在ΔPO1E中(圖7(b))，∠PO1E=θ。由PE∥P′E′,得∠PEO1=∠P′E′O1=θ。

在ΔPO1E中∠PEO1=∠EPO1=θ，ΔP′O1E′中，∠PE′O1=∠EP′O1=θ，所以∠PO1E=∠P′O1E′。

根據(jù)幾何關(guān)系，點O1，P和P′在同一條直線上。由此可知，當用在同一坐標系下，將莫爾應力圓與莫爾應變圓轉(zhuǎn)化為同心圓時，應力極點與應變極點在同一條半徑上。單元體的應力(應變)狀態(tài)確定，對應的應變(應力)狀態(tài)也就唯一確定。同時，應力(應變)極點也就唯一確定。

根據(jù)應力應變圓的關(guān)系，當已知單元體的應變狀態(tài)(應力狀態(tài))及單元體的泊松比μ值時，通過應力極點與應變極點的關(guān)系及莫爾應力圓與應變圓的關(guān)系，可以快速地作出單元體的應變(應力)莫爾圓，并分析單元體任意方向面上的應變(應力)狀態(tài)。

7結(jié)論

利用莫爾應變圓極點法可簡便、準確地求解給定應變狀態(tài)下，任意截面上的應變狀態(tài)。同時在求解過程中可利用AutoCAD的繪圖軟件直接進行復雜應變問題的極點法求解。避免使用復雜的公式計算以及角度的正負方向判定，是一種極為簡便、有效的求解應變問題的方法。通過對莫爾應變圓極點法及應力應變極點關(guān)系的研究，得到以下結(jié)論：

(1) 莫爾應變圓的極點有2種定義方法，一是平行線法，即通過已知平面的應變值在圓上對應點，作已知應變平面的平行線交于圓的另一點。通過該點作未知平面的平行線與莫爾圓的交點，即為未知平面的應變值。二是法線法，即過已知平面的應變值在莫爾圓上的對應點，作已知應變平面法線的平行線交于圓的另一點。通過該點作未知平面法線的平行線與莫爾圓的交點，即為未知平面的應變值。

(2) 2種方法定義的極點方法不同，定義的極點在莫爾圓上位于同一條直徑上，但是對于平面應變問題的解答是相同的。

(3) 利用莫爾應變圓極點法求解時，給定平面的應變狀態(tài)，作極點的方法選定，則該莫爾應變圓上有且只有一個極點。

(4) 莫爾圓極點法在求解應變問題時具有簡便、準確的優(yōu)點，特別適用于復雜應變情況。

(5) 對于給定單元體的應變(應力)狀態(tài)，通過一定的比例關(guān)系，莫爾應變圓與應力圓可以在同一坐標系下用同心圓表示。應變極點與應變極點一一對應，兩者在同一條半徑上。在莫爾圓上，通過作與已知應變平面的任意夾角平面的平行線是否存在應變極點的問題還需進一步探索。另外，對于應變圓極點法在巖土工程應用還需要進一步的研究。

參考文獻：

[1]TIMOSHENKOS.HistoryofStrengthofMaterials[M].NewYork:DoverPublicationsInc., 1983.

[2]ALLISONI.ThePoleoftheMohrDiagram[J].JournalofStructuralGeology, 1984, 6(3): 331-333.

[3]TERZAGHIK.TheoreticalSoilMechanics[M].NewYork:JohnWielyandSons, 1943: 15-65.

[4]LAMBET,WHITMANR.SoilMechanics[M].NewYork:JohnWielyandSons, 1969.

[5]BUDHUM.SoilMechanicsandFoundations(ThirdEdition)[M].NewYork:JohnWielyandSons,2011:131-185.

[6]DASBM.PrinciplesofGeotechnicalEngineering(SeventhEdtion)[M].India:CLEngineering, 2010.

[7]HOLTZR,KOVACSW.AnIntroductiontoGeotechnicalEngineering[M].NewJersy:PrenticeHall, 1981.

[8]GEREJM,GOODNOBJ.MechanicsofMaterials[M].Canada:RPKEditorialServicesInc., 2009:536-616.

[9]HEARNEJ.MechanicsofMaterials(ThirdEdition)[M].UK:Butterworth-Heinemann, 1997: 220-290.

[10]HIBBELERRC.MechanicsofMaterials[M].NewJersy:PrenticeHall, 2010.

[11]李大勇,郭彥雪,高玉峰. 莫爾圓極點法原理及應用[J].巖土工程學報,2013,35(10)：1883-1888.

[12]李大勇,翟漢波,高玉峰.莫爾圓極點確定的新方法[J].巖土力學,2015,36(6):1622-1626.

(編輯：劉運飛)

Study on the Pole Point Method of Mohr Strain Circleand the Characteristics of Strain Pole Point

ZHAIHan-bo1,2,LIDa-yong1,2,LIUQing-song2,WANGKai-ting2

(1.KeyLaboratoryofCivilEngineeringDisasterPreventionandMitigation,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China; 2.CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China)

Abstract:The pole point on Mohr circle of strain is a point so special that it can help to readily find strains on any specified plane by using diagram instead of complicated computation. In this paper, two methods are put forward to determine the pole point on the Mohr circle of strain, i.e. the parallel line method and the normal line method. On the basis of contradiction method, the uniqueness of strain pole point is proved by parallel line method and normal line method; on the basis of geometric graphical method, the reliability of determining strain pole point by parallel line method and normal line method is verified. Research shows that the two strain pole points determined by the two methods are on a diameter line of the Mohr strain circle. When certain proportional relation is given, the corresponding stress pole point and the strain pole point are on the radius line of the concentric circle consisting of the Mohr stress circle and Mohr strain circle. The strain pole point method is a preferred solution to determine complex strain state of the strain element and the deformations in geotechnical fields.

Key words:Mohr circle; pole point; stress; strain; uniqueness; rotation method

收稿日期：2015-07-05；修回日期：2015-08-01

基金項目：國家自然科學基金項目(51379118)；山東省土木工程防災減災重點實驗室開放課題基金項目(CDPM2013KF02)；山東科技大學研究生科技創(chuàng)新基金項目(YC150327)

作者簡介：翟漢波(1989-)，男，山東泰安人，碩士研究生，主要從事海洋巖土工程研究，(電話)15621459517 (電子信箱)zhaihanbo@qq.com。

doi:10.11988/ckyyb.20150561

中圖分類號：TU47

文獻標志碼：A

文章編號：1001-5485(2016)06-0088-06

2016,33(06):88-93