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    感知旋轉(zhuǎn)方法,感悟模型應(yīng)用

    2019-07-08 06:47:06薛瓊
    關(guān)鍵詞:旋轉(zhuǎn)法幾何模型

    薛瓊

    [摘? 要] 圖形旋轉(zhuǎn)是三大幾何變換之一,圖形旋轉(zhuǎn)的過程中蘊(yùn)含著眾多的數(shù)學(xué)規(guī)律,以圖形旋轉(zhuǎn)為依托構(gòu)建的解題方法是數(shù)學(xué)幾何重要的方法之一,文章將以一道典型問題為例,提煉旋轉(zhuǎn)模型,探究旋轉(zhuǎn)法的解題應(yīng)用,提出相應(yīng)的教學(xué)思考,與讀者探討.

    [關(guān)鍵詞] 幾何;圖形旋轉(zhuǎn);旋轉(zhuǎn)法;線段長(zhǎng);模型

    典型問題的解答

    題目? 圖1所示的四邊形ABCD中,AE⊥BC,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB (k為常數(shù)),則BD的長(zhǎng)為______(用k表示).

    解答? 連接AC,由于BE=CE,AE⊥BC,故△ABC為等腰三角形,即AB=AC(等腰三角形三線合一). 由∠ABE+∠BAE=90°,∠BAE=∠ADC,可得∠ABE+∠ADC=90°. 將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)C與點(diǎn)B相重合,再連接DF,如圖2所示,進(jìn)而可證△ADC≌△AFB,由全等性質(zhì)得∠AFB=∠ADC,BF=CD,∠BAC=∠DAF,進(jìn)一步可證△FAD∽△BAC,所以∠AFD=∠ABC,∠BFD=90°. 由AD=kAB可得DF=kBC=4k,在Rt△BDF中由勾股定理可得BD2=BF2+DF2,因此BD=.

    解題模型的提煉

    上述考題在求解過程中采用了圖形旋轉(zhuǎn)的方式,將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一定的角度,使得AC與AB邊相重合,使兩個(gè)不相鄰的角結(jié)合在一起,且獲得Rt△BFD,其中的直角∠BFD在整個(gè)解題中起著重要的作用,是構(gòu)建代數(shù)方程的關(guān)鍵. 上述解題過程利用到了幾何內(nèi)容最為重要的一種模型——旋轉(zhuǎn)模型,旋轉(zhuǎn)模型對(duì)于構(gòu)建等角、等邊、圖形相似與全等有著重要的意義,而這些條件是后續(xù)解題突破的基礎(chǔ),下面將深入探析幾何的旋轉(zhuǎn)模型.

    旋轉(zhuǎn)模型用到的基本理論是幾何旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),在圖形旋轉(zhuǎn)過程中圖形的形狀不變、圖形全等、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等,且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,邊的旋轉(zhuǎn)角度也相等.

    上述考題是關(guān)于基本三角形的旋轉(zhuǎn),以圖3所示的△ABC為例,在圖形旋轉(zhuǎn)過程中必須明確旋轉(zhuǎn)的三要素——旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度. 在等邊三角形ABC的內(nèi)部存在一點(diǎn)P,將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC,則AB將與AC相重合,AP=AP′,AB=AC,BP=CP′,∠BAP=∠CAP′,∠ABP=∠ACP′,∠APB=∠AP′C,△ABP≌△ACP′,即兩個(gè)陰影圖形全等,對(duì)應(yīng)邊和角均相等. 圖形旋轉(zhuǎn)后獲得了新的四邊形ABCP′,在該復(fù)合圖形中有一個(gè)特殊的等邊三角形△APP′(AP=AP′=PP′),出現(xiàn)了多個(gè)復(fù)合角:∠BCP′,∠BAP′,∠PCP′和∠PAP′,這些新出現(xiàn)的幾何元素可以成為問題解答的關(guān)鍵條件.

    旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用

    幾何旋轉(zhuǎn)法是為了解決特定的問題,考慮到旋轉(zhuǎn)過程變化的對(duì)象較多,構(gòu)建的新模型具有多種特征,因此在使用時(shí)必須明確旋轉(zhuǎn)圖形的目的,通過旋轉(zhuǎn)可以構(gòu)建怎樣的圖形,解決哪些問題.

    通過上述旋轉(zhuǎn)模型的分析我們可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)建了復(fù)合角,實(shí)際上是將兩個(gè)不相鄰的角緊密地聯(lián)系起來,同時(shí)也可以將不共線的線段轉(zhuǎn)換在同一直線上,即實(shí)現(xiàn)角度的“互補(bǔ)”、線段的“互補(bǔ)”. 第二種用途則是構(gòu)建特殊的圖形和幾何關(guān)系,如等邊、等腰三角形和全等、相似三角形,因此圖形的旋轉(zhuǎn)過程實(shí)際上就是線段、角度、圖形重構(gòu)的過程,旋轉(zhuǎn)模型最為普遍的用途是求解線段長(zhǎng)、幾何角度和分析圖形形狀. 利用旋轉(zhuǎn)法進(jìn)行解題時(shí)可以遵循如下思路:判斷是否旋轉(zhuǎn)→確定旋轉(zhuǎn)三要素→分析旋轉(zhuǎn)重構(gòu)條件→重組問題條件→構(gòu)建解題思路,從而將原始條件與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)條件充分結(jié)合起來,為后續(xù)的解題突破提供幫助. 下面結(jié)合一道考題深入講解旋轉(zhuǎn)模型的利用.

    例1? 圖5所示等邊△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P,已知∠APB,∠BPC和∠CPA的大小之比為5 ∶ 6 ∶ 7,則以線段長(zhǎng)PA,PB和PC三邊組成的三角形的內(nèi)角大小之比為________(由小到大).

    分析:

    第一步:判斷是否旋轉(zhuǎn).

    由問題出發(fā)進(jìn)行分析,要求解△ABC內(nèi)部三條線段所構(gòu)三角形的內(nèi)角之比,考慮到三條線段沒有形成閉合圖形,顯然需要通過旋轉(zhuǎn)的方式將其連接成三角形.

    第二步:確定旋轉(zhuǎn)三要素.

    將△ABP以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到了△CBD,連接PD,如圖5所示.

    第三步:分析旋轉(zhuǎn)重構(gòu)條件.

    由于△ABP通過旋轉(zhuǎn)得到了△CBD,旋轉(zhuǎn)前后AB=BC,BP=BD,AP=CD,∠BDC=∠BPA.

    第四步:重組問題條件.

    結(jié)合∠BPD=60°可得△PBD為等邊三角形,有PD=PB,則以線段PC,PD和CD為三邊的△PCD就是題干要求組成的三角形,求三角形內(nèi)角大小之比就是求∠PDC,∠CPD和∠PCD的大小之比.

    第五步:構(gòu)建解題思路.

    根據(jù)條件“∠APB,∠BPC和∠CPA的大小之比為5 ∶ 6 ∶ 7”可得∠APB=100°,∠BOC=120°,∠CPA=140°,則∠PDC=∠BDC-∠BDP=40°,∠CPD=∠BPC-∠BPD=60°,進(jìn)而求得∠PCD=80°,所以∠PDC,∠CPD和∠PCD的大小之比為2 ∶ 3 ∶ 4,即以PA,PB和PC三邊組成的三角形的內(nèi)角大小之比為2 ∶ 3 ∶ 4.

    旋轉(zhuǎn)模型的拓展

    從上述考題的分析可知旋轉(zhuǎn)模型可以用于三角形類型題中的邊長(zhǎng)和角度分析,對(duì)于其他多邊形我們也可以采用旋轉(zhuǎn)的方式來構(gòu)建解題模型,求解一些較為特殊的問題,如求解面積、關(guān)系式證明等. 下面我們以正方形題型為例進(jìn)一步探究旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用.

    例2? 四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn),AF平分∠EAD與CD相交于點(diǎn)F,試證明AE=BE+DF.

    解析? 求證AE=BE+DF,考慮到三條線段長(zhǎng)分散在不同的三角形中,無法直接構(gòu)建線段長(zhǎng)關(guān)系,可以采用圖形旋轉(zhuǎn)的方式將其轉(zhuǎn)化到同一三角形中. 現(xiàn)將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,如圖6,則點(diǎn)D將與點(diǎn)B重合,而點(diǎn)F移動(dòng)到F′的位置. 根據(jù)旋轉(zhuǎn)模型的性質(zhì)可得△ADF≌△ABF′,進(jìn)一步可知∠AFD=∠AF′B,∠3=∠1,DF=F′B,則BE+DF=F′B+BE=F′E,只需要證明F′E與AE相等即可.

    由圖6可知∠1+∠ABE+∠2=90°,因∠3=∠1,故∠3+∠ABE+∠2=90°=∠F′AE+∠2,又知∠AF′B+∠3=90°,結(jié)合∠1=∠2=∠3,可得∠AF′B+∠2=90°,即∠F′AE=∠AF′B,由等角對(duì)等邊可得F′E=AE,得證.

    上述考題揭示了使用旋轉(zhuǎn)法最為關(guān)鍵的一點(diǎn),即將不共線的線段轉(zhuǎn)移到同一直線上,進(jìn)而將旋轉(zhuǎn)模型的應(yīng)用拓展到多邊形中,不再局限于傳統(tǒng)的三角形,只需遵循圖形旋轉(zhuǎn)的三要素即可. 另外對(duì)于旋轉(zhuǎn)模型性質(zhì)的利用可以從以下兩個(gè)方面來理解:一是傳統(tǒng)意義上的旋轉(zhuǎn)前后圖形對(duì)應(yīng)元素相等,二是從圖形全等的角度,旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形滿足全等的條件,由圖形全等的性質(zhì)同樣可以獲得諸多旋轉(zhuǎn)性質(zhì). 因此可以將旋轉(zhuǎn)模型法拓展到所有的幾何圖形中,不受題型和旋轉(zhuǎn)圖形的限制.

    方法教學(xué)的思考

    1. 形成旋轉(zhuǎn)模型使用的邏輯思維

    數(shù)學(xué)的解題方式有很多,考慮到圖形旋轉(zhuǎn)過程中發(fā)生位移變化的對(duì)象較多,因此使用該方法進(jìn)行解題需要嚴(yán)格遵守使用原則. 首先要根據(jù)題干的條件和問題來判斷是否可以采用旋轉(zhuǎn)模型,然后遵循旋轉(zhuǎn)要素進(jìn)行合理旋轉(zhuǎn),并根據(jù)旋轉(zhuǎn)模型的性質(zhì)挖掘隱含條件從而完成解題條件的重組,最后充分利用重組條件開展解題突破. 因此進(jìn)行幾何旋轉(zhuǎn)法教學(xué)實(shí)踐時(shí)可以按照“方法判斷→實(shí)施旋轉(zhuǎn)→條件挖掘→重組條件→構(gòu)建思路”的步驟進(jìn)行,使學(xué)生形成旋轉(zhuǎn)法解題思路的深刻記憶.

    2. 形成幾何旋轉(zhuǎn)法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)

    圖形旋轉(zhuǎn)前后所獲得的是全等圖形,因此可以說利用圖形旋轉(zhuǎn)來解題實(shí)際上是對(duì)全等性質(zhì)的拓展運(yùn)用,旋轉(zhuǎn)法與圖形的全等和相似之間有著緊密的聯(lián)系,這也是教材將兩大內(nèi)容編排在一起的根本原因. 在教學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)法時(shí)就需要引導(dǎo)學(xué)生重溫幾何全等的性質(zhì),以及圖形旋轉(zhuǎn)過程中“變”與“不變”的性質(zhì),從全等和不變性兩個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行旋轉(zhuǎn)法的探索學(xué)習(xí),充分理解該方法的理論依據(jù),認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)模型的性質(zhì)本質(zhì),從而深刻認(rèn)識(shí)該方法的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.

    3. 形成幾何旋轉(zhuǎn)模型的思想認(rèn)識(shí)

    數(shù)學(xué)的解題方法都具有一定的理論思想,是在對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下構(gòu)建的解題方法,對(duì)于幾何旋轉(zhuǎn)法同樣不例外. 幾何圖形旋轉(zhuǎn)過后會(huì)得到一個(gè)全新的圖形,因此圖形旋轉(zhuǎn)的過程實(shí)際上就是數(shù)學(xué)建模的過程,圖形旋轉(zhuǎn)就是在數(shù)學(xué)模型思想指導(dǎo)下完成的. 在方法教學(xué)中不能單純地向?qū)W生傳達(dá)方法的使用步驟,還應(yīng)該依托具體的教學(xué)內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)的模型思想,使學(xué)生體會(huì)使用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的優(yōu)勢(shì). 可以借助幾何畫板完成旋轉(zhuǎn)模型的構(gòu)建,使學(xué)生充分參與模型思想方法的辨析討論,提升動(dòng)手能力的同時(shí)獲得數(shù)學(xué)思想的提升.

    結(jié)束語

    從圖形旋轉(zhuǎn)法的本質(zhì)內(nèi)容來看,該方法屬于“空間與圖形”的教學(xué)范疇,因此在該方法的教學(xué)中需要遵從“觀察感知、動(dòng)手實(shí)踐、內(nèi)涵理解”的理念,即教學(xué)中要使學(xué)生掌握該方法的使用依據(jù)、具體操作和思想內(nèi)涵. 圖形旋轉(zhuǎn)的過程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)特有的美感,因此依托考題開展方法教學(xué),不僅可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)方法的解題魅力,還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,后者對(duì)于學(xué)生的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義.

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