2018年中考數(shù)學(xué)文化型試題背景賞析

余小芬 閔蓉 劉成龍

[摘? 要] 文章分析了2018年中考數(shù)學(xué)文化型試題的六類命題背景：以“算經(jīng)十書”為背景，以《數(shù)書九章》為背景，以《算法統(tǒng)宗》為背景，以“勾股定理”證明為背景，以“割圓術(shù)”為背景，以“楊輝三角”為背景.

[關(guān)鍵詞] 中考數(shù)學(xué);試題背景;數(shù)學(xué)文化;賞析

數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢……數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系、數(shù)學(xué)的美育價值、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀. 所謂數(shù)學(xué)文化，從狹義上講是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言，以及它們的形成和發(fā)展;從廣義上講就是除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等. 2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中.為此，教材可適時地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美. ”因此，在各版本的初中數(shù)學(xué)教材中，涌現(xiàn)了一大批與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的閱讀材料或例題、習(xí)題，例如“方程”史話、楊輝三角、漫畫勾股世界、海倫——秦九韶公式、投針實(shí)驗(yàn)等等. 這些內(nèi)容的設(shè)置，不僅有利于弘揚(yáng)博大精深的數(shù)學(xué)文化，還能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，開拓學(xué)生視野，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)，從而不斷提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 近年來，以數(shù)學(xué)文化作為試題背景已成為中考命題的新亮點(diǎn)、新趨勢. 例如2015年湖南常德中考以“角谷猜想”為背景考查代數(shù)式的運(yùn)算，2016年孝感中考以“趙爽弦圖” 為背景考查正方形性質(zhì)、正切三角函數(shù)定義，2016年鹽城中考以“費(fèi)馬點(diǎn)”為背景考查線段長度最值問題等. 2018年，各地中考堅(jiān)持“立德樹人”“文化育人”的基本理念，命制了一批背景豐富的數(shù)學(xué)文化試題，本文對這些優(yōu)秀試題的命題背景進(jìn)行賞析，以饗讀者.

以“算經(jīng)十書”為背景

“算經(jīng)十書”是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的經(jīng)典. 所謂“算經(jīng)十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《緝古算經(jīng)》《綴術(shù)》（元豐年間已失傳，后來以《數(shù)術(shù)記遺》代之）. 唐代國子監(jiān)內(nèi)設(shè)算學(xué)館，置有博士、助教，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，規(guī)定這十部書作為課本. “算經(jīng)十書”分別總結(jié)了當(dāng)時的數(shù)學(xué)成就，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的推動作用，構(gòu)成了具有中華民族自身特色的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系.

例1? （2018年江西中考第9題）中國的《九章算術(shù)》是世界現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉之一，其中有一問題：“今有牛五、羊二，直金十兩. 牛二、羊五，直金八兩. 問牛羊各直金幾何？”譯文：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩;牛2頭，羊5頭，共值金8兩. 問牛、羊每頭各值金多少？設(shè)牛、羊每頭各值金x兩、y兩，依題意，可列出方程組為__________.

評析? 《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”中最重要的一種. 該書內(nèi)容十分豐富，全書采用問題集的形式，收集246個與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就. 同時，《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)上還有其獨(dú)到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題. “方程”這章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則. 《九章算術(shù)》是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最先進(jìn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系. “方程”是《九章算術(shù)》的第八章，“方程”指的是一次方程組，而一次方程組又是利用算籌（算籌表示未知數(shù)的系數(shù)及相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)）布置而成的，其形狀有如方陣，故稱之為方程. 我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》指出：“程，課程也. 二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程.” 本題根據(jù)“牛的單價×牛的數(shù)量+羊的單價×羊的數(shù)量=總價”，不難得到方程組為5x+2y=10，

例2? （2018年岳陽中考第15題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾5步，股12步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形的邊長最大是多少步？”

評析? “勾股”是《九章算術(shù)》的第九章，主要介紹利用勾股定理求解各種問題. 本題以《九章算術(shù)》中幾何問題為背景，考查對勾股定理的應(yīng)用及求解直角三角形的最大內(nèi)接正方形. 如圖1，設(shè)在Rt△ABC中，能容納的最大正方形DEFB的邊長為x，由相似不難得到=，即=，解得正方形邊長x=.

特別指出，2018年全國各地中考中，以《九章算術(shù)》為背景考查列（或解）一次方程組的試題較多，比如2018年湖北襄陽中考第13題、2018年河南中考第6題、2018年廣州中考第8題、2018年湖北宜昌中考第19題等.

例3? （2018年安徽中考第16題）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡. 問：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完. 問：城中有多少戶人家？請解答上述問題.

評析? 《孫子算經(jīng)》作者及成書年代不詳，傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷，上卷、中卷系統(tǒng)敘述了算籌記數(shù)法和籌算的乘、除、開方及分?jǐn)?shù)等計(jì)算的步驟及法則，以及簡單的面積、體積的計(jì)算問題. 下卷是各種應(yīng)用問題，其中著名的“物不知其數(shù)”：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何？”舉世聞名，被譽(yù)為“中國剩余定理”或“孫子定理”. 還比如經(jīng)典問題“雞兔同籠”： “今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”更是古今中外“雞兔同籠”問題的始祖.

本題以《孫子算經(jīng)》中分鹿問題為背景，考查學(xué)生對一元一次方程的理解. 由題意，可設(shè)城中有x戶人家，于是有x+=100，從而解得城中有75戶人家.

以《數(shù)書九章》為背景

《數(shù)書九章》又被稱作《數(shù)學(xué)大略》《數(shù)學(xué)九章》，其作者是我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶（1202—1261年）. 《數(shù)書九章》全書九章十八卷，九章九類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍族類、市物類，每類9題，共81題. 該書內(nèi)容豐富至極，上至天文、星象、歷律、下至河道、水利、建筑、運(yùn)輸，包括各種幾何圖形和體積，錢谷、賦役、市場、牙厘的計(jì)算和互易. 《數(shù)書九章》在一次同余式組解法和高次方程數(shù)值解法等方面取得了具有世界意義的光輝成就，我國數(shù)學(xué)史家梁宗巨對其這樣評價：“《數(shù)學(xué)九章》是一部劃時代的巨著，內(nèi)容豐富，精湛絕倫. ”秦九韶也被美國著名科學(xué)史家薩頓譽(yù)為是“他那個名族，他那個時代，并且確實(shí)也是各個時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”.

例4? （2018年長沙中考第11題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題目中的“里”是我國市制長度單位，1里=500 m，則該沙田的面積為（? ? ）

A. 7.5 km2 ? ? ? ? B. 15 km2

C. 75 km2 ? ? ? ? ?D. 750 km2

評析? 本題以《數(shù)書九章》中問題為背景，考查對勾股定理的應(yīng)用. 根據(jù)題目中數(shù)據(jù)，不難得到52+122=132，故這個三角形是直角三角形. 再根據(jù)單位換算得：5里=2.5 km，12里=6 km，故該沙田的面積為×2.5×6=7.5 km2.

以《算法統(tǒng)宗》為背景

《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位所著，它是一部以珠算為主要計(jì)算工具的應(yīng)用數(shù)學(xué)著作. 全書共收集了595個問題，并穿插有大量的圖形和詩詞形式的歌訣. 梁宗巨先生指出：“明代在西方數(shù)學(xué)輸入之前，最大的成就可以說是珠算的發(fā)明，最重要的數(shù)學(xué)書要算程大位的《算法統(tǒng)宗》. ”

例5? （2018年邵陽中考第10題）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家. 他60歲時完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法. 書中有如下問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁. ”意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，問大、小和尚各有多少人？下列求解結(jié)果正確的是（? ? ）

A. 大和尚25人，小和尚75人

B. 大和尚75人，小和尚25人

C. 大和尚50人，小和尚50人

D. 大、小和尚各100人

評析? 本題以經(jīng)典問題“百僧分百饅”為背景，考查二元一次方程組及其解法. 由題意，設(shè)大和尚有x人，小和尚y人，不難得x+y=100，

3x+=100， 故解得大和尚25人，小和尚75人.

2018年取材于《算法統(tǒng)宗》的中考試題還有福建中考第8題、浙江紹興中考第12題等.

以“勾股定理”證明為背景

例6? （2018年成都中考第22題）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶. 如圖2所示的弦圖中四個直角三角形都是全等的，它們的兩直角邊之比均為2 ∶ 3. 現(xiàn)隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為_________.

評析? 《周髀算經(jīng)》是流傳到現(xiàn)在的一部最早的數(shù)學(xué)著作，同時也是一部“蓋天說”（中國古代的一種宇宙觀，認(rèn)為天像一個斗笠，大地像一個翻扣的盆）的天文學(xué)著作. 《周髀算經(jīng)》約成書于公元前100年，全書共二卷，內(nèi)容是一些天文歷法及有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容有分?jǐn)?shù)計(jì)算、等差數(shù)列、勾股定理和測量等. 特別是關(guān)于勾股定理的論述，比畢達(dá)哥拉斯要早六百多年. 從古至今，《周髀算經(jīng)》可以說是最純粹的中國國粹之一. 據(jù)史書記載，《周髀算經(jīng)》并未直接給出勾股定理的證明方法，而是漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖對此進(jìn)行了證明. 弦圖精妙地展現(xiàn)了幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，其構(gòu)思精巧，富有創(chuàng)意，既表達(dá)著邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，又呈現(xiàn)了幾何的直觀，是數(shù)形結(jié)合的典范. 本題以趙爽弦圖為載體，考查勾股定理和幾何概型.

例7? （2018年溫州中考第10題）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩個全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得到的圖形證明勾股定理. 如圖3所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（? ? ）

A. 20 ? ? B. 24C. D.

評析? 本題以數(shù)學(xué)家劉徽對勾股定理的證明為背景，讓學(xué)生從另一角度欣賞了圖形的割補(bǔ)技巧，感受我國數(shù)學(xué)文化的博大精深，感悟古代數(shù)學(xué)家的智慧和才能. 問題解決的關(guān)鍵是計(jì)算出小正方形的邊長，圖5的矩形由兩個直角三角形構(gòu)成，每個直角三角形的邊長均滿足勾股定理：（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2，其中x為小正方形的邊長，由此解出x，得到矩形的面積為（x+3）（x+4）.

以“割圓術(shù)”為背景

魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法. “割圓術(shù)”是以圓內(nèi)接正多邊形的面積來無限逼近圓面積，即“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣. ”“割圓術(shù)”通過無限分割的方式，體現(xiàn)了有限到無限、以直代曲的極限思想.

例8? （2018年宜賓中考第13題）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積. 設(shè)☉O的半徑為1，若用外切正六邊形來近似估計(jì)☉O的面積，則S=______（結(jié)果保留根號）.

評析劉徽用割圓術(shù)證明“半周半徑相乘得積步”的圓面積公式時，正是從內(nèi)接正六邊形（“六觚”）開始割圓，依次得到內(nèi)接正十二邊形（“十二觚”）、正二十四邊形（“二十四觚”）……認(rèn)為割圓到最后就得到一個和圓重合的正無窮多邊形. 本題就以“割圓術(shù)”的最簡單情形（正六邊形）為背景，考查多邊形的內(nèi)角和、銳角三角函數(shù)、勾股定理、三角形面積等基礎(chǔ)知識. 如圖4，由ABCDEF為正六邊形得△ABO為等邊三角形，又☉O的半徑為1，故OG=1，BG=AG=，因此AB=，所以S=6S=6×××1=2.

以“楊輝三角”為背景

“楊輝三角”是我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝于1261年在其所著《詳解九章算法》一書中提出的，歐洲人將楊輝三角稱為“帕斯卡三角”（于1654年由法國人帕斯卡發(fā)現(xiàn)）. 由此可見，我國比歐洲至少要早三百年發(fā)現(xiàn)這一偉大成果. “楊輝三角”結(jié)構(gòu)對稱優(yōu)美，蘊(yùn)含豐富的規(guī)律和結(jié)論，古往今來、古今中外，吸引著無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者去認(rèn)識它、研究它. 同時，它也是現(xiàn)行高中教材中二項(xiàng)式定理中的重要內(nèi)容，是中考、高考命題的良好素材.

例9? （2018年宜昌中考第8題）1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用圖5中的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，比歐洲的相同發(fā)現(xiàn)要早三百多年，我們把這個三角形稱為“楊輝三角形”. 請觀察圖中的數(shù)字排列規(guī)律，則a，b，c的值分別為（? ? ）

評析? 本題以“楊輝三角”為背景，考查學(xué)生的觀察能力，不難發(fā)現(xiàn)“楊輝三角形”左右兩邊上的數(shù)都是1，其余的數(shù)為它肩上的兩數(shù)之和，故a=1+5=6，b=5+10=15，c=10+10=20.

總之，中考試題中滲透數(shù)學(xué)文化，不僅弘揚(yáng)了古今中外數(shù)學(xué)所取得的卓越成就，推廣了數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，而且?guī)椭鷮W(xué)生開闊了眼界、增長了知識、啟迪了心智.

基金項(xiàng)目：四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目（ZY16001）.

作者簡介：余小芬（1986-），四川內(nèi)江人，碩士，講師，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育及中高考研究;閔蓉（1999-），四川眉山人，內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)信學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2017級3班學(xué)生;劉成龍（1985-），四川內(nèi)江人，碩士，講師，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育及中高考研究.