由線到點(diǎn)

[摘? 要] 在初中階段，我們最常接觸并且難度最大的模塊便是函數(shù)，而在函數(shù)問題中，最讓人無處下手的就是函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題. 研究原函數(shù)的幾何變換（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似）所得到的新函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題，可以在這些函數(shù)上找到一個(gè)或幾個(gè)特殊點(diǎn)，讓這為數(shù)不多的幾個(gè)點(diǎn)代替整個(gè)函數(shù)的運(yùn)動(dòng)過程.

[關(guān)鍵詞] 變換;特殊點(diǎn);函數(shù);運(yùn)動(dòng)

大家都很熟悉這樣的一句話：“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”，也就是說，極其復(fù)雜的三維幾何體僅僅是由二維平面上一個(gè)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，即點(diǎn)是一切幾何體或幾何圖形最基本的元素. 那么，我們把這個(gè)過程反過來，把一個(gè)幾何體拆成無數(shù)個(gè)點(diǎn)，而這無數(shù)個(gè)點(diǎn)又可看作是一個(gè)點(diǎn)沿著特定的軌道運(yùn)動(dòng)所勾勒出來的軌跡. 簡而言之，我們可以把不熟悉的幾何體或者幾何圖形，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的點(diǎn)來研究，這就達(dá)到了簡化問題的目的.

在初中階段，我們最常接觸并且難度最大的模塊便是函數(shù)，而在函數(shù)問題中，最讓人無處下手的就是函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題. 何為動(dòng)態(tài)問題？動(dòng)態(tài)問題指的是研究原函數(shù)經(jīng)過一系列的幾何變換（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似）所得到的新函數(shù)問題. 而這些動(dòng)態(tài)問題中，函數(shù)運(yùn)動(dòng)的過程往往難以在紙上或是腦海中呈現(xiàn)，此時(shí)，我們急需將這些問題簡化. 我們可以在這些函數(shù)上找到一個(gè)或幾個(gè)特殊點(diǎn)，讓這為數(shù)不多的幾個(gè)點(diǎn)代替整個(gè)函數(shù)的運(yùn)動(dòng)過程. 以下對幾個(gè)初中階段常見的函數(shù)（一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）運(yùn)動(dòng)做相應(yīng)的分析.

一次函數(shù)

代數(shù)特征：一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0）.

幾何特征：一次函數(shù)的圖像是一條直線.

談起直線，大家很容易想到“兩點(diǎn)確定一條直線”，再回想自己平時(shí)的做題經(jīng)歷，也的確如此，我們只需兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入y=kx+b（k≠0），建立關(guān)于k，b的二元一次方程組便可得解.

既然兩點(diǎn)確定一條直線，在研究一次函數(shù)的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，我們是不是可以任選其圖像上兩點(diǎn)進(jìn)行研究？當(dāng)然可以. 但我們的最終目的是進(jìn)一步簡化，即把兩點(diǎn)的坐標(biāo)簡化為一點(diǎn)的坐標(biāo). 回想我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，學(xué)過特殊的一次函數(shù)——正比例函數(shù). 正比例函數(shù)之所以特殊，是因?yàn)槠浜瘮?shù)圖像過原點(diǎn)（0，0），按照這個(gè)思路，我們可以將特殊點(diǎn)選為函數(shù)圖像y=kx+b（k≠0）與x軸的交點(diǎn)-，0或者與y軸的交點(diǎn)（0，b）. 不妨設(shè)k>0，b>0，對一次函數(shù)的幾何變換進(jìn)行具體分析.

1. 平移

對于這個(gè)問題，我們還可以從另一個(gè)角度思考：整個(gè)函數(shù)圖像在坐標(biāo)軸不動(dòng)的情況下，原函數(shù)在x=-時(shí)，y=0，新函數(shù)在x=-+n的前提下，才取得y=0，原來的x值所對應(yīng)的原來的y值，現(xiàn)在?。▁+n）才能取到，我們可以將（x+n+t）（t為常數(shù)）看作一個(gè)新的自變量x′，此時(shí)要使kx′+b=kx+b，則x′=x，所以t=-n.?（2）上下平移

對于上下平移，可以直觀地觀察到原來y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸交點(diǎn)（0，b）這個(gè)特殊點(diǎn)的變化，當(dāng)一次函數(shù)圖像向上移動(dòng)n個(gè)單位時(shí)，交點(diǎn)（0，b）變?yōu)椋?，b+n），此時(shí)設(shè)平移后的函數(shù)為y2=kx+m（k≠0），與y軸交點(diǎn)（0，m），建立等量關(guān)系：b+n=m，所以y2=kx+m=kx+b+n（k≠0）.

2. 旋轉(zhuǎn)

不妨設(shè)旋轉(zhuǎn)角是直角，且將y=kx+b（k≠0）繞某點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y2=k′x+b′（k′≠0）.

旋轉(zhuǎn)中心在函數(shù)圖像上，點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心.

在這個(gè)問題中，出現(xiàn)了一個(gè)難點(diǎn)，-，0，（0，b）兩點(diǎn)都不能直觀地判斷運(yùn)動(dòng)，似乎無從下手. 其實(shí)從另一個(gè)角度來說，這是一個(gè)較為特殊的動(dòng)態(tài)問題，它出現(xiàn)了一個(gè)定點(diǎn)，即旋轉(zhuǎn)中心，作為一個(gè)特殊點(diǎn)，為解決問題提供了突破口. 利用這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心在函數(shù)圖像上，我們可以得到：kx+b=k′x+b′，再沿襲以往的經(jīng)驗(yàn)，利用-，0或（0，b）.

旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)在于旋轉(zhuǎn)角（也就是對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角），因?yàn)樾D(zhuǎn)角為90°，所以此處我們根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，很自然地想到了構(gòu)造“一線三等角”的方法，可以求得A′（km+m，km+b-m），聯(lián)立求解得：k′=-，b′=m+b，所以y2=-x+m+b.

還有兩種情況，一是旋轉(zhuǎn)中心不在直線上，二是旋轉(zhuǎn)角度不為90°，看起來很復(fù)雜，但是都能轉(zhuǎn)化為剛剛講述的特殊情況（旋轉(zhuǎn)中心在直線上以及旋轉(zhuǎn)角為90°），構(gòu)造“一線三等角”的方法進(jìn)行解答.

3. 對稱

（1）以y軸為對稱軸

（2）以x軸為對稱軸

4. 位似 （以原點(diǎn)為位似中心，縮小到原來的）

對于反比例函數(shù)而言，它與眾不同的地方在于漸近線（x=0，y=0）和對稱中心（0，0），而漸近線又取決于對稱中心的位置，所以反比例函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題，我們選取的點(diǎn)是其對稱中心，反過來，對稱中心又可決定反比例函數(shù).

1. 平移

對稱中心：（0，0）向右平移m個(gè)單位，得到（m，0），再向上平移n個(gè)單位得到（m，n）.

解析式：y=（k≠0）→y=（k≠0）→=+n（k≠0）.

2. 旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)在于旋轉(zhuǎn)角（也就是對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角），因?yàn)樾D(zhuǎn)角為90°，所以此處我們根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，很自然地想到了構(gòu)造“一線三等角”的方法，可以求得A′

還有就是旋轉(zhuǎn)角度不為90°的情況，看起來很復(fù)雜，但是都能轉(zhuǎn)化為剛剛講述的特殊情況，構(gòu)造“一線三等角”的方法進(jìn)行解答.

3. 對稱

（3）以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱，由于反比例函數(shù)圖像本身為中心對稱圖形，所以y=（k≠0）→y=（k≠0）.

4. 位似 （以原點(diǎn)為位似中心）

這里需要考慮反比例函數(shù)的特殊性質(zhì). 先來思考一個(gè)問題：反比例函數(shù)為什么是曲線？為什么其對稱軸為一、三象限或者二、四象限的角平分線所在的直線？為什么函數(shù)圖像是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形？因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的特征是自變量和因變量的乘積一定，所以導(dǎo)致在同一象限內(nèi)的任意不重合兩點(diǎn)之間的連線的傾斜程度不同，進(jìn)而使其成為曲線，又因?yàn)閳D像上的點(diǎn)關(guān)于y=x或者y=-x對稱，且x與y的符號相同，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱. 所以，我們考慮反比例函數(shù)的位似時(shí)，可以用面積來體現(xiàn).

對于二次函數(shù)，其特征是沿對稱軸對稱，這是一個(gè)直觀的特征. 回想二次函數(shù)的應(yīng)用，會發(fā)現(xiàn)其最值也是一個(gè)研究的熱點(diǎn). 一方面是對稱性，一方面是最值，這兩個(gè)特點(diǎn)加在一起便是“頂點(diǎn)”，即點(diǎn)

因此，我們將頂點(diǎn)作為研究二次函數(shù)問題的特殊點(diǎn).

1. 平移

頂點(diǎn)：（h，k）向右平移m個(gè)單位得（h+m，k），再向上平移n個(gè)單位得（h+m，k+n）.

解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=a（x-h-m）2+k（a≠0）→y=a（x-h-m）2+（k+n）（a≠0）.

2. 旋轉(zhuǎn)

y=a（x-h）2+k（a≠0）的頂點(diǎn)（h，k），以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180°后，頂點(diǎn)變?yōu)椋?h，-k），且開口方向改變，所以拋物線解析式變?yōu)閥=-a（x+h）2-k（a≠0）.

拋物線旋轉(zhuǎn)其他角度后的圖形在初中階段屬于超綱，這里不予分析.

3. 對稱

二次函數(shù)的軸對稱有兩方面要考慮，一是頂點(diǎn)，二是開口方向.

（1）以y軸為對稱軸對稱，頂點(diǎn)（h，k）→（-h，k），開口方向a→a，解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=a（x+h）2+k（a≠0）.

（2）以x軸為對稱軸對稱，頂點(diǎn)（h，k）→（h，-k），開口方向a→-a，解析式：y=a（x-h）2+k（a≠0）→y=-a（x-h）2-k（a≠0）.

4. 位似

總而言之，函數(shù)的運(yùn)動(dòng)過程從特殊點(diǎn)入手，對于平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、位似，都可以遵照特殊點(diǎn)，將復(fù)雜的直線或曲線變成點(diǎn)進(jìn)行研究. 特殊點(diǎn)的選擇，要最能體現(xiàn)其幾何特征和代數(shù)特征的點(diǎn)，最大程度上確定這個(gè)函數(shù)的解析式，進(jìn)而達(dá)到簡化的目的.

作者簡介：向偉（1983-），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲得深圳市中青年骨干教師、廣東省首屆中青年教師教學(xué)能力大賽初中數(shù)學(xué)第一名，多次在市教學(xué)技能比賽中獲一等獎(jiǎng).