三芯電力電纜各芯線電流測量偏心誤差的計算和補償方法

袁燕李凱特　董杰　高俊福　李世松　趙偉

摘要：用磁傳感器測量三芯電力電纜各芯線的電流時，磁傳感器陣列的中心可能偏離電纜中心，致使測量結果中含有由此產(chǎn)生的誤差即偏心誤差，為此提出一種對偏心誤差的計算和補償方法。在原有測量方法基礎上，將磁傳感器陣列沿電纜軸向安裝表面旋轉180°，測量新位置上的磁感應強度。通過求解非線性方程組，可以確定偏心誤差的大小;并據(jù)此對測量結果進行補償，可得到計及偏心誤差情況下三芯電力電纜各芯線電流值的實際大小。電磁場有限元仿真試驗結果表明，所建立的解析模型具有很好的準確性，驗證所提出計算和補償方法的有效性。

關鍵詞：電力電纜;電流測量;偏心誤差;旋轉法;電磁場有限元仿真

中圖分類號：TM934 文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）01-0019-08

0 引言

隨著三芯電力電纜越來越多地應用于35kV及以下三相電力系統(tǒng)的電纜輸配電工程中[1]，其運行的安全性日益受到重視[2]。為實現(xiàn)對三芯電力電纜運行狀態(tài)的在線監(jiān)測，一種較為可靠的方法是監(jiān)測三芯電力電纜實際運行中各芯線的電流[3]。在電力系統(tǒng)運行中，對三芯電纜各芯線電流的監(jiān)測意義重大。原則上，可通過實時監(jiān)測，對三芯電力電纜的運行狀態(tài)和其是否存在潛在的故障等進行評估，以確保經(jīng)三芯電力電纜傳輸電力的安全可靠。

然而，對各相芯線共同使用同一屏蔽保護層的三芯電力電纜而言，傳統(tǒng)的基于電磁感應原理、以電流互感器測量電流的方法無法被應用。這是因為，三芯電力電纜的A、B、C三相芯線一般兩兩相隔120°沿該電纜軸向圓周均勻分布，且三相芯線使用共同的屏蔽保護層，在三芯電力電纜正常、對稱穩(wěn)定的運行情況下，三相電流平衡，對外的等效電流為零，即穿過該電纜軸向橫截面的總磁通量也為零。因此，不能在環(huán)繞電纜軸向的磁感應平面上產(chǎn)生變化的磁通量，因而就無法以電流互感器測量三芯電力電纜各芯線的電流。

目前已有的三芯電力電纜監(jiān)測方法，多是基于間接方法來反映三芯電力電纜的運行特性，例如通過測量三芯電力電纜的溫度等來監(jiān)測三芯電力電纜的運行狀態(tài)[4-7]。間接方法雖然也能反映三芯電力電纜是否存在發(fā)生故障的隱患甚至已發(fā)生故障，但測量往往存在延遲，且難以明確診斷故障的具體位置和類型，存在較大的局限性。

近年來，隨著磁測量技術的發(fā)展和磁傳感器制造工藝水平的不斷提高，用磁傳感器測量電流逐漸成為電力行業(yè)認可的一種方法[8-9]。本文作者之前通過在三芯電力電纜表面安裝與各芯線準直且空間上互差120°的3個磁傳感器（以下簡稱“磁傳感器陣列”），線性地感知并獲取到三芯電力電纜各芯線電流的大小[10]。但在實施該測量方法時，磁傳感器陣列的中心必須要與三芯電力電纜的中心（以下簡稱“電纜中心”）重合，否則，就會產(chǎn)生相應的測量誤差[11-12]，也稱偏心誤差。對于實際的測量裝置，由于受裝置制作的工藝水準和裝置安裝時施工人員的操作水平等因素限制，磁傳感器陣列中心與電纜中心之間難免存在毫米量級的偏心。而三芯電力電纜周圍任意位置由某相電流產(chǎn)生的磁感應強度，與該相電纜芯線到該位置之間的距離成反比，即其對位置的變化比較敏感。故，對偏心誤差必須加以考慮。

為了計算并補償偏心誤差，以更準確地測量三芯電力電纜各芯線的電流，本文提出一種磁傳感器陣列“旋轉法”，建立三芯電力電纜各芯線電流、磁傳感器陣列中心實際位置以及所測量磁感應強度相互關聯(lián)的解析模型，求解得到偏心誤差，以及考慮偏心誤差條件下三芯電力電纜各芯線電流的實際大小。

1 計算三芯電力電纜表面磁感應強度的解析模型

1.1 磁傳感器陣列中心與電纜中心無偏心時三芯電力電纜表面磁感應強度的解析模型

磁傳感器陣列中心與電纜中心重合即不存在偏心時，三芯電力電纜的結構及各芯線電流的測量原理，如圖1所示。電纜中心為O，A、B、C分別為三相芯線的中心，電纜中心O到三相芯線中心A、B、C的距離均為r：OA、OB、OC互成120°;SA、SB、SC為3個磁傳感器的安裝位置，其到磁傳感器陣列中心O'（x，y）的距離均為R;3個磁傳感器均測量所在位置磁感應強度沿電纜外表面軸向圓周的切向分量，即n方向的分量。不失一般性，可使Y軸與OA重合，則A點的坐標為（0，r）;電纜中心到B，C兩芯線中心的矢量，即OB、OC與x軸的夾角就分別為210°、330°;B點的坐標為（C點的坐標為。A、B、C三相芯線的電流分別表示為I_A、I_B和I_C。

首先，給出磁傳感器陣列中心與電纜中心重合即無偏心時，使用磁傳感器測量三芯電力電纜各芯線電流的解析模型。本文規(guī)定電流方向向內為正，根據(jù)安培環(huán)路定理，由A相電流I_A在SA處產(chǎn)生的磁感應強度為其中μ⁰為真空磁導率。

式（1）中的磁感應強度即指向n方向。類似地，由B相電流I_B在SA處產(chǎn)生的磁感應強度為

式（2）中磁感應強度B_SA-B的方向為

故，B_SA-B中沿n方向的分量為

同理，由C相電流I_C在SA處產(chǎn)生的磁感應強度為

式（5）所示磁感應強度B_BA-C的方向為

故，B_SA-C中沿n方向的分量為

聯(lián)立式（1）、式（4）和式（7），可得到在SA處由三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量為

考慮到三芯電力電纜結構上的對稱性，在求解SB、SC處的磁感應強度時，可將x和y坐標軸進行旋轉。例如，在求解SB處的磁感應強度時，就可將y軸旋轉至與OB相重合。如此，OC、OA與x軸的夾角分別為210°、330°。因此，在進行具體計算上，基于式（1）、式（4）、式（7）和式（8），只要在磁傳感器SA處的磁感應強度沿n方向分量的表達式中，將I_A換成I_B，I_B換成I_C，I_C換成I_A，即將三相芯線電流進行如此的依次輪換即可。由此方法，即可得到SB處的磁感應強度沿n方向的分量為

同理，也可得到SC處的磁感應強度沿n方向的分量為

由于B_SA-n、B_SB-n和B_SC-n均為磁傳感器的測量值，聯(lián)立由式（8）～式（10）組成的方程組，便可推導出I_A、IB和I_C解析表達式，具體分別為

1.2 磁傳感器陣列中心與電纜中心之間存在偏心時三芯電力電纜表面磁感應強度的解析模型

圖2給出了磁傳感器陣列中心與電纜中心之間存在偏心的原理示意圖。據(jù)此，SA、SB、SC 3個磁傳感器安裝位置的坐標分別為（x，y+R）、y-R/2）、

根據(jù)圖2，由A相電流I_A在SA處產(chǎn)生的磁感應強度為

式（14）所示磁感應強度B_SA-A的方向為

故，B_SA-A中沿n方向的分量為

類似地，由B相電流I_B在SA處產(chǎn)生的磁感應強度為

式（17）所示磁感應強度B_SA-B的方向為

故，B_SA-B中沿n方向的分量為

同理，由C相電流I_C在SA處產(chǎn)生的磁感應強度為

式（20）所示的磁感應強度B_SA-C的方向為

故，B_SA-C中沿n方向的分量為

聯(lián)立式（16）、式（19）和式（22），可得到存在偏心條件下，在SA處由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量為

類似地，可得到由A、B、C三相芯線電流在SB處產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量分別為

聯(lián)立式（24）、式（25）和式（26），即可得到SB處由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量為

B_SB-n=

同理，可得到A、B、C三相芯線電流在SC處產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量分別為

聯(lián)立式（28）、式（29）和式（30），即可得到SC處由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量為

B_BC-n=

現(xiàn)將磁傳感器陣列從原來位置沿安裝平面周向旋轉180°，旋轉后的新位置如圖3所示。

按照前述的方法，不難得到磁傳感器陣列在旋轉后測量位置處測得的由A、B、C三相芯線電流共同產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量分別為

以磁傳感器陣列在初始測量位置和旋轉后新測量位置的測量值作為已知量，聯(lián)立求解由式（23）、式（27）、式（31）～式（34）共計6個獨立方程組成的超定方程組，可以解得x、y、I_A、I_B和I_C共5個未知量。如此，既可確定偏心誤差的大小，還可以得到計及偏心誤差情況下三芯電力電纜各芯線電流值的實際大小。

2 模型仿真試驗驗證

為驗證所提出方法的有效性，在Maxwe1115.0電磁場有限元仿真軟件中，搭建了一個三芯電力電纜的物理模型，并進行了仿真試驗。

仿真試驗中，采用Maxwell二維模型，三芯電力電纜的參數(shù)設置如下：R=45mm，r=20mm，A、B、C三相芯線的半徑均為12.5mm;x=3mm，y=5mm，即存在偏心;輸入各芯線的正弦電流的幅值均為100A，即I_AI_B=I_C=100A，頻率均為50Hz，它們相互間的相位互差120°;仿真模型的邊界設置為Balloon邊界，加載至以坐標原點為圓心、半徑為450mm的圓上;網(wǎng)格剖分方式為手動剖分，在源（即A、B、C三相芯線）的位置設置網(wǎng)格最大邊長為1mm;求解器類型為Transient求解器;仿真時長設置為電網(wǎng)電流一個周波的時間，即20ms。此外，又設置了兩個圓的幾何模型，半徑分別為45.1mm和44.9mm，在這兩個圓和R=45mm的圓所形成的兩個夾層中，都設置網(wǎng)格最大邊長為0.1mm，即保證了在6個求解點（SA、SB、SC，θ=0°和θ=180°）處，磁感應強度沿n方向分量的求解足夠精確。

仿真試驗輸入的A、B、C三相芯線的正弦電流隨時間變化的波形曲線如圖4所示。

仿真試驗獲得的3個磁傳感器SA、SB、SC處的磁感應強度沿n方向的分量隨時間變化的波形曲線，如圖5所示。將仿真試驗的邊界擴大一倍，網(wǎng)格最大長度縮小一半，兩次仿真試驗之間能量誤差的變化小于1%，即認為原仿真模型的準確度已符合要求。

然后，以仿真試驗所得到的相應磁感應強度作為已知條件，根據(jù)無偏心時的解析模型，即式（11）～式（13），求解三芯電力電纜各芯線的電流I_a、I_b、I_c。圖6給出了計算得到的三芯電力電纜各芯線電流隨時間變化的波形曲線。不難看出，計算結果與仿真試驗所設置輸入的各芯線電流波形存在較大的偏差，最大相對誤差約26%。這表明，對偏心誤差必須予以考慮。

將磁傳感器陣列相對于原安裝位置沿安裝平面周向旋轉180°，并在新位置對沿電纜外表面軸向圓周的磁感應強度沿n方向的分量進行測量。

仍采用如圖4所示的輸入電流，再次進行仿真試驗，得到的3個磁傳感器SA、SB、SC在新位置處的磁感應強度沿n方向的分量隨時間變化的波形曲線如圖7所示。

再采用式（23）、式（27）、式（31）～式（34）共同組成的超定方程組，對x、y、I_a、I_b、I_c進行解析求解。注意，在已知6個獨立方程求解5個未知量時，應采用最小二乘非線性擬合方法來獲取最佳的未知量估計值。計算得到的各芯線正弦電流的幅值I_A=100.18A，I_B=101.04A，I_C=99.83A;電纜中心坐標參數(shù)x=2.86mm，y=5.22mm，以解析計算結果復現(xiàn)出的各芯線電流隨時間變化的波形，如圖8所示，其與仿真試驗所設置輸入的各芯線電流波形的誤差曲線如圖9所示。

從圖9可以看出，在計及偏心誤差后，三芯電力電纜各芯線電流的計算結果與仿真試驗輸入值非常接近，最大誤差僅約為1%，從而很好地驗證了本文所建立解析模型的正確性。

3 結束語

本文將磁傳感器陣列設計為可沿安裝平面周向旋轉，進而分別在初始的00和旋轉后的1800兩個位置，測量由三相芯線共同產(chǎn)生的磁感應強度沿n方向的分量;由磁傳感器陣列在上述兩個位置的參數(shù)以及測得的磁感應強度，建立三芯電力電纜各芯線電流、磁傳感器陣列中心實際位置以及所測量磁感應強度之間關系的解析模型，得到6個非線性方程。基于最小二乘法求解該非線性方程組，便可得到三芯電力電纜的偏心信息，以及計及偏心誤差條件下三芯電力電纜各芯線電流的實際大小。

本文所提出的測量方法，可對以磁傳感器測量三芯電力電纜各芯線電流的偏心誤差進行計算和補償。該方法克服了磁傳感器陣列中心與三芯電力電纜中心存在偏心條件下，以磁傳感器測量三芯電力電纜各芯線電流準確性不高的缺陷，可實現(xiàn)對三芯電力電纜各芯線電流的更準確測量。電磁場有限元仿真試驗結果表明，本文提出的用磁傳感器測量三芯電力電纜各芯線電流的偏心誤差的計算和補償方法準確性高、魯棒性好，具有較高的實用價值。

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