考慮隨機(jī)效應(yīng)的兩階段退化系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)方法

張鵬　胡昌華　白燦　張優(yōu)　張建勛

摘要：針對(duì)退化過程呈現(xiàn)兩階段特征的隨機(jī)退化系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)問題，建立兩階段維納過程退化模型，并引入隨機(jī)效應(yīng)描述樣本間差異性?；跁r(shí)間一空間變化方法以及變點(diǎn)處退化值的隨機(jī)特性，給出首達(dá)時(shí)間意義下系統(tǒng)壽命分布解析表達(dá)形式。提出一種基于期望最大化（expectation maximization，E"算法和貝葉斯理論的模型參數(shù)離線辨識(shí)和在線更新算法。最后，結(jié)合液力耦合器（liquid coupling device，LCD）的實(shí)際退化數(shù)據(jù)，驗(yàn)證所提方法的可行性與有效性，并說明其工程應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：兩階段維納過程;剩余壽命預(yù)測(cè);期望最大化算法;貝葉斯方法

中圖分類號(hào)：TB114.3;TP202 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-5124（2019）01-0001-07

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，工業(yè)設(shè)備產(chǎn)品呈現(xiàn)出集成化、智能化、復(fù)雜化的發(fā)展趨勢(shì)，功能增強(qiáng)的同時(shí)給設(shè)備的可靠性研究帶來了新的挑戰(zhàn)。設(shè)備在運(yùn)行過程中不可避免地受到外部環(huán)境和內(nèi)部因素的隨機(jī)影響，導(dǎo)致性能下降乃至退化失效，對(duì)于此類隨機(jī)退化系統(tǒng)，采用隨機(jī)過程為基礎(chǔ)的退化建模方法進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)是很好的選擇，其中基于Wiener過程的建模方法由于其良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)在退化建模和壽命預(yù)測(cè)中得到廣泛應(yīng)用[1]。

目前大多數(shù)基于隨機(jī)過程退化建模的文獻(xiàn)認(rèn)為系統(tǒng)在退化過程中遵循單一的隨機(jī)退化模型，而在工程實(shí)踐中由于退化機(jī)理的復(fù)雜性、環(huán)境因素的影響、系統(tǒng)工作狀態(tài)的改變等，一些設(shè)備和產(chǎn)品的退化速率以及數(shù)據(jù)波動(dòng)程度呈現(xiàn)出兩階段甚至多階段特性[2]。例如，液力耦合器的退化過程可分為兩個(gè)階段[3]，第一階段迅速退化，然后在第二階段緩慢退化至失效，與之類似的有激光發(fā)射器[4]、等離子顯示板[5-6]、有機(jī)發(fā)光二極管[7]、加速度計(jì)[8]等;也有像銼電池[9]等開始時(shí)經(jīng)歷一個(gè)平穩(wěn)退化期，隨著充放電的進(jìn)行，由于固體電解質(zhì)層在電極上的生長(zhǎng)以及副反應(yīng)導(dǎo)致的活性材料的損失，導(dǎo)致銼電池容量在后一階段迅速衰落。

對(duì)于此類存在變點(diǎn)的兩階段隨機(jī)退化系統(tǒng)進(jìn)行退化建模和壽命預(yù)測(cè)研究，已有不少學(xué)者關(guān)注并取得一定進(jìn)展。Wang等[3提出在變點(diǎn)前后液力耦合器的退化分別使用伽馬過程和維納過程來控制，在此基礎(chǔ)上詳細(xì)討論了實(shí)時(shí)可靠性評(píng)估和參數(shù)估計(jì)問題。Bae等[6]在對(duì)等離子顯示板的退化研究中引入帶有變點(diǎn)的隨機(jī)系數(shù)對(duì)數(shù)線性模型，并用極大似然估計(jì)方法得到其壽命分布。Wang等[7]提出了一種以貝葉斯框架為主要內(nèi)容的變點(diǎn)維納過程模型，用于有機(jī)發(fā)光二極管的退化預(yù)測(cè)，與最大似然法相比分段貝葉斯方法表現(xiàn)出更強(qiáng)的魯棒性。Chen等[10]在兩階段對(duì)數(shù)線性模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)來描述滾動(dòng)球軸承的分段退化過程，并用貝葉斯方法更新模型參數(shù)進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)。Yan等[11]用兩階段維納退化過程對(duì)液力耦合器的進(jìn)行可靠性評(píng)估，基于赤池信息準(zhǔn)則和殘差平方和標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)變點(diǎn)。

盡管兩階段退化模型取得了一些理論與實(shí)際應(yīng)用成果，但是仍然存在一些問題有待研究和解決?？紤]到同批次產(chǎn)品之間存在差異性，其變點(diǎn)處的退化量以及兩個(gè)階段的退化模型參數(shù)都會(huì)存在一定的差異，目前僅有很少一部分文獻(xiàn)[12]考慮該問題。此外，現(xiàn)有文獻(xiàn)中通常假設(shè)變點(diǎn)處的退化量已知或其分布函數(shù)能夠從歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到，這會(huì)需要大量的歷史退化數(shù)據(jù)[10]。實(shí)際上，由于第一階段退化的不確定性，在退化過程達(dá)到變點(diǎn)前，變點(diǎn)發(fā)生處的退化量未知，并非一個(gè)確定值或期望值，是與第一階段退化模型相關(guān)的隨機(jī)變量，在進(jìn)行首達(dá)時(shí)間意義下的剩余壽命預(yù)測(cè)時(shí)，必須考慮這一點(diǎn)。

綜上本文在兩階段維納退化模型的基礎(chǔ)上，引人隨機(jī)效應(yīng)來描述樣本間的差異性，研究了剩余壽命預(yù)測(cè)中的模型參數(shù)的離線辨識(shí)和在線更新算法，最后通過液力耦合器的實(shí)例研究驗(yàn)證了本文所提方法可以有效實(shí)現(xiàn)對(duì)兩階段退化設(shè)備的剩余壽命預(yù)測(cè)。

1 兩階段Wiener過程退化模型

1.1 退化模型的假設(shè)

假設(shè)1 系統(tǒng)性能退化過程呈現(xiàn)兩階段特征，存在變點(diǎn)，變點(diǎn)前后兩個(gè)階段退化速率存在顯著差異。

假設(shè)2 在各個(gè)階段，系統(tǒng)的退化過程{X（t），t≥0}服從獨(dú)立的線性Wiener過程：

X（t）=x⁰+μt+σB（t）（1）其中x⁰是初始退化量，μ和σ分別是漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，{B（t），t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，反映退化過程的隨機(jī)動(dòng)態(tài)特性。

假設(shè)3 系統(tǒng)的壽命定義基于隨機(jī)過程的首達(dá)時(shí)間概念[13]，當(dāng)性能退化量首次超過失效閾值ω時(shí)產(chǎn)品失效，即有：

T=inf{t：X（t）≥ω|X（o）<ω}（2）

失效閾值ω根據(jù)實(shí)際工程要求給定。那么對(duì)于一個(gè)運(yùn)行中的設(shè)備，其在時(shí)刻t_k處的剩余壽命L_k為

L_k=inf{l_k：X（l_k+t_k）≥ω|X（t_k）<ω}（3）

1.2 兩階段Wiener過程退化模型

基于以上假設(shè)，對(duì)于此類存在變點(diǎn)的隨機(jī)退化系統(tǒng)可以建立兩階段Wiener過程退化模型：

X（t）=x⁰+μ₁t+σ₁B（t），0

x_τ+μ₂（t-τ）+σ₂B（t-τ），t>τ（4）其中，x⁰表示退化過程初值，為簡(jiǎn)化計(jì)算常假設(shè)初始退化量x⁰=0;X_τ表示第二階段退化初值即變點(diǎn)處的退化量，τ表示變點(diǎn)發(fā)生時(shí)間;μ₁和σ₁分別表示第一階段退化過程的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)，μ₂和σ₂分別表示第二階段退化過程的漂移系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)。

2 剩余壽命估計(jì)

在工程實(shí)際中，受產(chǎn)品材料、制造工藝差異和工作環(huán)境變化等因素的影響，同批次產(chǎn)品的退化特性通常會(huì)存在個(gè)體差異性[1]，即退化軌跡有較大相似性，但是各個(gè)產(chǎn)品的退化數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的退化率是不一樣的。為反映這種樣本間差異性所導(dǎo)致的隨機(jī)效應(yīng)，在此采用文獻(xiàn)[1]，14]中的方法，將退化模型中相關(guān)參數(shù)隨機(jī)化，定義式（4）中漂移系數(shù)μ₁和μ₂為隨機(jī)參數(shù)表征個(gè)體差異性，并分別服從正態(tài)分布N（μ_α，σ_α2）和N（μ_β，σ_β2），σ₁和σ₂為確定性參數(shù)。為簡(jiǎn)化問題，假定變點(diǎn)發(fā)生時(shí)間固定，若變點(diǎn)處的退化量XT已知，根據(jù)文獻(xiàn)[15]中Wiener退化過程壽命分布，可得兩階段退化過程壽命的PDF如下：

事實(shí)上，在變點(diǎn)未出現(xiàn)時(shí)，變點(diǎn)處的退化量是未知的，這對(duì)計(jì)算第一階段壽命的PDF沒有影響。但是在計(jì)算第二階段壽命的PDF時(shí)，根據(jù)首達(dá)時(shí)間的概念，要計(jì)算退化過程在（x_τ，∞）失效概率，需保證退化過程在（0x_τ）上未超過失效閾值，因此為得到壽命的PDF，必須考慮首達(dá)時(shí)間意義下x_τ的分布，即在X（t）<ω條件下經(jīng)過時(shí)間τ退化量從0到x_τ的轉(zhuǎn)移概率。

首先假設(shè)系統(tǒng)在變點(diǎn)發(fā)生前就已經(jīng)失效，即壽命T<τ，此時(shí)系統(tǒng)退化過程可看作單一的線性退化過程，壽命的PDF仍按式（5）中所示不變。

系統(tǒng)在經(jīng)歷變點(diǎn)后失效，即壽命T>τ，此時(shí)系統(tǒng)退化過程用建立的兩階段維納退化過程模型描述。

引理1[16]對(duì)于兩階段退化過程，如果漂移系數(shù)μ1和μ2分別服從正態(tài)分布N（μ_α，σ_α²）和N（μ_β，σ_β²）來描述樣本間的差異性，用g_τ（x_τ|μ_α，σ_α）表示經(jīng)過時(shí)間t從0轉(zhuǎn)移到x的轉(zhuǎn)移概率，那么壽命的PDF有如下形式：

其中：

若已知當(dāng)前時(shí)刻t_k的退化狀態(tài)x_k，用l_k表示系統(tǒng)的剩余壽命，f_L（l_k）表示系統(tǒng)剩余壽命的PDF，在隨機(jī)退化速率μ₁和μ₂的影響下，可獲得基于兩階段維納過程退化模型的系統(tǒng)剩余壽命的PDF。

情況1：當(dāng)前時(shí)刻tk在變點(diǎn)前，即t_k<τ。此時(shí)系統(tǒng)失效模式仍可能有兩種。

1）在變點(diǎn)前失效，此時(shí)剩余壽命PDF為

2）在變點(diǎn)后失效，即t_k<τ且l_k+t_k>τ，此時(shí)剩余壽命PDF與式（6）、式（7）有類似的形式，在此不再贅述。

情況2：當(dāng)前時(shí)刻t_k在變點(diǎn)后，即t_k>τ，此時(shí)剩余壽命PDF為

3 模型參數(shù)的估計(jì)與更新

3.1 基于EM算法的離線參數(shù)估計(jì)

假設(shè)存在同一批的n個(gè)隨機(jī)退化設(shè)備，分別對(duì)應(yīng)了n組退化數(shù)據(jù)，即X={X₁，X₂，…，X_n}。其中X_i={x_i，0，x_i，1，…，x_i，m_i}表示第i個(gè)設(shè)備在時(shí)間{t_i，0，t_i，1，…，t_i，mi}上的監(jiān)測(cè)值。在實(shí)際工程中，常采用等時(shí)間間隔采樣來收集數(shù)據(jù)，那么為簡(jiǎn)化問題，令Δt=t_ij-t_i，j-1，小此外，為了描述樣本間差異性，假設(shè)兩階段的漂移系數(shù)為隨機(jī)變量。值得注意的是，對(duì)于某一單個(gè)退化設(shè)備而言，所有參數(shù)都應(yīng)是常值參數(shù)，即這種隨機(jī)性僅反映了樣本間差異性。

E步：計(jì)算其中，表示基于觀測(cè)數(shù)據(jù)X在第k步的估計(jì)值。

M步：計(jì)算對(duì)其求偏

下面給出第k+1步的參數(shù)估計(jì)結(jié)果：

由EM算法的性質(zhì)可知，最后退化模型的參數(shù)估計(jì)是收斂的，通過迭代E步和M步直到滿足某一收斂判據(jù)時(shí)終止，由此得到對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值。

3.2 基于貝葉斯理論的在線參數(shù)更新

在本小節(jié)中，主要針對(duì)某一運(yùn)行中的退化設(shè)備，如何根據(jù)離線參數(shù)估計(jì)得到的先驗(yàn)信息和當(dāng)前運(yùn)行信息來更新參數(shù)估計(jì)結(jié)果。定義當(dāng)前時(shí)間為t_k，而當(dāng)前運(yùn)行設(shè)備從時(shí)間t⁰～t_k獲取的退化數(shù)據(jù)為X_0：k={x₁，X₁，…，x_k}，注意到，如果變點(diǎn)未出現(xiàn)，即t_k≤τ，也就是說退化仍處于第一階段且尚無當(dāng)前設(shè)備的第二階段退化數(shù)據(jù)，那么僅需根據(jù)收集的退化數(shù)據(jù)來更新第一階段模型參數(shù);與之相反，若變點(diǎn)已經(jīng)出現(xiàn)，即t_k>τ，那么僅需要更新第二階段模型參數(shù)。

令μ_α，0，σ_α，0，μ_β，0，σ_β，0表示μ₁，μ₂的先驗(yàn)信息。若t_k≤τ，可利用收集得到的當(dāng)前設(shè)備運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)更新。根據(jù)貝葉斯理論，有如下結(jié)果：

由于p（X_0：k|μ₁）和p（μ₁）服從正態(tài)分布，那么根據(jù)共軛正態(tài)分布的性質(zhì)，可得到后驗(yàn)分布為

類似地，若t_k>τ，可利用當(dāng)前運(yùn)行設(shè)備退化數(shù)據(jù)更新參數(shù)μ₂，由于第一階段數(shù)據(jù)與第二階段模型無關(guān)，因此僅需要數(shù)據(jù)X_τ：k={x_τ，x_τ+1，…，x_k}用于更新：

4 實(shí)例研究

本文所提方法在應(yīng)用場(chǎng)景下模型參數(shù)的離線估計(jì)和在線更新以及設(shè)備可靠性評(píng)估步驟流程如圖1所示。

以液力耦合器為研究對(duì)象，按照上述設(shè)備模型參數(shù)的估計(jì)更新以及壽命預(yù)測(cè)的步驟，對(duì)文中提出的模型進(jìn)行實(shí)例研究。圖2描述了5臺(tái)液力耦合器的振幅隨時(shí)間的變化情況[3]。從圖中可以看出，退化數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的兩階段退化特征。本文采用LCD₁、LCD₃、LCD₄、LCD⁵4組數(shù)據(jù)用于離線參數(shù)估計(jì)，并將估計(jì)得到的模型參數(shù)作為先驗(yàn)信息用于之后的在線參數(shù)更新和剩余壽命預(yù)測(cè)。此外，假設(shè)LCD₂的退化數(shù)據(jù)作為當(dāng)前設(shè)備的運(yùn)行信息用于在線參數(shù)更新和剩余壽命預(yù)測(cè)的校驗(yàn)。

首先，根據(jù)EM算法離線估計(jì)得到參數(shù)μ_α，σ_α²，μ_β，σ_β²，σ₂²的估計(jì)值。

如圖3所示，藍(lán)線表示在EM算法中給定的100組不同的模型參數(shù)初值，綠線表示最終迭代結(jié)果，最終模型參數(shù)均收斂至如下結(jié)果：μ_α=0.2043、σ_α=0.0091、μ_β=0.0111、σ_β=0.0010、σ₁=0.0869、σ₂=0.0122，其中變點(diǎn)發(fā)生時(shí)間為τ=90d。實(shí)驗(yàn)表明本文所提算法的可行性和穩(wěn)定性。從參數(shù)估計(jì)結(jié)果可以看出，第一階段模型參數(shù)明顯異于第二階段模型參數(shù)，這也說明了退化呈現(xiàn)兩階段的特征。進(jìn)一步，利用離線參數(shù)估計(jì)結(jié)果作為先驗(yàn)信息，結(jié)合LCD₂退化數(shù)據(jù)進(jìn)行在線參數(shù)更新，結(jié)果如圖4、圖5所示。

接下來，根據(jù)在線參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，對(duì)剩余壽命進(jìn)行估計(jì)。規(guī)定當(dāng)振動(dòng)振幅超過閾值36mm時(shí)，液力耦合器發(fā)生失效。LCD₂的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果和均方根誤差如圖6、圖7所示。從中可以看出，本文所提方法能夠有效預(yù)測(cè)LCD的剩余壽命。整體上看，隨著運(yùn)行時(shí)間的增加，壽命預(yù)測(cè)結(jié)果愈加精確，但當(dāng)退化率發(fā)生較大波動(dòng)時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果誤差稍有增大。在圖7中反映為從330～390d，均方根誤差有增大趨勢(shì)，當(dāng)退化率穩(wěn)定波動(dòng)較小時(shí)，誤差不斷減小。根據(jù)壽命預(yù)測(cè)結(jié)果，為保證設(shè)備的運(yùn)行可靠性，在設(shè)備失效前及時(shí)對(duì)設(shè)備進(jìn)行維修替換活動(dòng)，從而避免財(cái)產(chǎn)損失和事故發(fā)生。

5 結(jié)束語

本文結(jié)合工程實(shí)踐中設(shè)備退化過程存在變點(diǎn)，變點(diǎn)前后退化特征顯著差異的問題建立了兩階段維納過程退化模型進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)研究，重點(diǎn)闡述了模型參數(shù)的離線辨識(shí)和在線更新算法，最后通過液力耦合器實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了其可行性和有效性。

1）引入隨機(jī)參數(shù)描述樣本間差異性，得到首達(dá)時(shí)間意義下兩階段系統(tǒng)剩余壽命分布的解析表達(dá)形式，實(shí)現(xiàn)剩余壽命的在線實(shí)時(shí)估計(jì)。

2）提出基于EM算法的參數(shù)離線辨識(shí)和基于貝葉斯理論的參數(shù)在線更新算法，實(shí)現(xiàn)設(shè)備的實(shí)時(shí)可靠性評(píng)估，為維修替換決策提供依據(jù)。

本文研究的兩階段退化模型是多階段模型的基礎(chǔ)，基于多階段模型的退化建模與剩余壽命預(yù)測(cè)問題可在本文研究結(jié)論的基礎(chǔ)上拓展推廣得到。下一步工作將繼續(xù)研究多階段退化問題以提高方法的普適性和應(yīng)用價(jià)值。

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