淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的應(yīng)用

魏育玲

[摘? 要] 類比推理教學(xué)在概念、性質(zhì)、判定、解法策略等方面的運(yùn)用能夠更好地幫助學(xué)生記憶、掌握所學(xué)知識(shí)，不斷激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、開闊學(xué)生視野，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和能力的同時(shí)提升課堂教學(xué)的效率.

[關(guān)鍵詞] 類比思想;概念;同構(gòu);屬性

類比思想在知識(shí)繁多、概念定理紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用能夠有效促進(jìn)教學(xué)效率的提升，能使學(xué)生在類比舊知識(shí)的過程中對(duì)新知識(shí)展開有效的探究. 承上啟下的探究過程能使學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)縱向、橫向之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得更好的掌握，使學(xué)生在符合認(rèn)知心理發(fā)展的學(xué)習(xí)中更好地掌握數(shù)學(xué)“四基”，同時(shí)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

不過很多教師在應(yīng)試教育的壓力之下仍舊將追求學(xué)生的成績視為最重要的目標(biāo)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)卻被大大忽視了，對(duì)類比思想的把握與理解因此很少落實(shí)于實(shí)際教學(xué)中.

概念類比

孤立地理解、記憶初中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)概念將會(huì)令知識(shí)孤立而缺乏聯(lián)系與延伸，學(xué)生在長期孤立理解、記憶概念時(shí)將會(huì)把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成一種負(fù)擔(dān). 因此，教師應(yīng)該對(duì)培養(yǎng)學(xué)生快速、準(zhǔn)確掌握概念這一問題進(jìn)行深入的思考，運(yùn)用類比思想進(jìn)行概念的教學(xué)以及概念的縱向延伸，使學(xué)生在集“點(diǎn)”串“線”的概念教學(xué)中不斷觸及概念的本質(zhì)并獲得更好的理解.

1. 問題引領(lǐng)下的概念類比

環(huán)環(huán)相扣的問題串能引領(lǐng)學(xué)生在新舊知識(shí)之間進(jìn)行類比并獲得新概念的理解，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果事半功倍.

案例教師在“分式”這一章的教學(xué)中，首先可以設(shè)計(jì)一定的生活情境并幫助學(xué)生得到代數(shù)式，然后再設(shè)計(jì)如下問題串引領(lǐng)學(xué)生探究：（1）剛剛得到的式子，，都是整式嗎？（2）這些式子可有共同特征？（3）大家是否能從這些共同特征上聯(lián)想到一些類似的知識(shí)呢？（4）結(jié)合已有知識(shí)及其共同特征是否可以給出其定義呢？（5）大家能回憶起小學(xué)階段學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)嗎？（6）大家猜猜看這些分式所涉及的知識(shí)吧. （7）大家覺得這些知識(shí)和分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)有關(guān)聯(lián)嗎？

由此可見，借鑒分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比、聯(lián)想是能夠?qū)Ψ质降男再|(zhì)、化簡、運(yùn)算等問題進(jìn)行研究的.

設(shè)計(jì)問題串并引領(lǐng)學(xué)生對(duì)概念形成理解，能使學(xué)生在不斷思考的狀態(tài)中更加清晰而立體地掌握概念并使其感受到學(xué)習(xí)的趣味.

2. 經(jīng)驗(yàn)延伸下的概念理解

順應(yīng)學(xué)生的舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)并引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)比較和歸納中明確概念間的異同，能使新舊概念之間的銜接更加自然，并促進(jìn)知識(shí)脈絡(luò)在學(xué)生頭腦中的清晰形成.

案例教師在相似三角形這一概念的引入教學(xué)中可以這樣設(shè)計(jì)：事先準(zhǔn)備好兩個(gè)全等三角形和一個(gè)與之相似的三角形，取出兩個(gè)全等三角形并設(shè)問：大家以為這兩個(gè)三角形的形狀、大小之間的關(guān)系怎樣？存在這種關(guān)系的兩個(gè)三角形應(yīng)該怎么稱呼？怎樣定義全等三角形呢？取出另一個(gè)三角形再設(shè)問：大家覺得這個(gè)三角形和剛剛兩個(gè)三角形在形狀、大小上又存在著怎樣的關(guān)系呢？它們之間可有相似的地方？第三個(gè)三角形又應(yīng)該給它一個(gè)怎樣的名稱？對(duì)這些三角形之間所存在的關(guān)系進(jìn)行定義又應(yīng)該怎樣描述呢？

筆者從學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)進(jìn)行了多角度、多層次的問題設(shè)計(jì)，使學(xué)生在解決問題的過程中獲得了知識(shí)的回顧以及新概念的形成，自然順暢的設(shè)計(jì)令學(xué)生在問題的思考和探究中獲得了知識(shí)、能力的同步提升.

同構(gòu)類比

圖形的衍變、通解的歸納這些知識(shí)的橫向拓展能使學(xué)生學(xué)會(huì)更好地運(yùn)用知識(shí)，因此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上探尋知識(shí)間的相似性并進(jìn)行同構(gòu)類比、知識(shí)轉(zhuǎn)化，使學(xué)生最終能夠順利拓寬知識(shí)并構(gòu)建自然清晰的知識(shí)體系.

1. 圖形同構(gòu)

從圖形的關(guān)系出發(fā)并進(jìn)行圖形的組合繼而構(gòu)成新圖形，能使學(xué)生在思維的拓展、突破甚至超越中獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

案例勾股定理的復(fù)習(xí)教學(xué)中設(shè)計(jì)以下問題.

觀察圖形并回答問題.

問題1：如圖1，若△DEF是直角三角形，正方形P、Q的面積分別是9、15，則正方形M的面積應(yīng)為______;

問題2：如圖2，以直角三角形三邊為邊并向外作正三角形，則所得正三角形的面積S、S、S之間的關(guān)系為______;

問題3：如圖3，以直角三角形三邊為直徑向外作半圓，則所得半圓的面積S、S、S之間的關(guān)系為______;

問題4：如圖4，若直角三角形的直角邊是3和4，以其三邊為直徑作半圓，則陰影部分面積為______.

勾股定理這一初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)在解題中的應(yīng)用是極為廣泛的，教師引導(dǎo)學(xué)生在圖形的同構(gòu)類比中進(jìn)行思考和探究，能使學(xué)生在滲透等積變換、數(shù)形結(jié)合思想的解題探索中獲得空間形象思維的提升.

2. 解法同構(gòu)

引導(dǎo)學(xué)生在千變?nèi)f化的解題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律以及它們的特征，能使學(xué)生在精心設(shè)計(jì)的解法同構(gòu)的解題練習(xí)中學(xué)會(huì)猜想、探索和驗(yàn)證并最終尋得規(guī)律.

案例“握手問題”：n個(gè)人之間兩兩握手的次數(shù)一共有多少？

解：若第1個(gè)人分別和其他（n-1）個(gè)人握手共握手（n-1）次，第2個(gè)人分別和其他（n-1）個(gè)人握手也是（n-1）次……由此類推，第n個(gè)人和其他（n-1）個(gè)人握手也是（n-1）次，則有n×（n-1）次，此時(shí)每兩個(gè)人之間握手的次數(shù)明顯是2次，因此n個(gè)人之間兩兩握手的次數(shù)一共有n（n-1）次.

貼合學(xué)生生活的“握手”情境令學(xué)生興致勃發(fā)，教師設(shè)計(jì)的這一模型也很好地鍛煉了學(xué)生的歸納概括能力.

屬性類比

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間、立體的感知并使其順利構(gòu)建知識(shí)的立體架構(gòu)，能使學(xué)生在五花八門的知識(shí)梳理和問題解決中獲得思維的提煉，也能使學(xué)生在知識(shí)的相同屬性的類比中獲得知識(shí)的深化與融合.

1. 個(gè)性類比

教師在某個(gè)知識(shí)或問題的教學(xué)之后往往會(huì)對(duì)其進(jìn)行個(gè)性化的特殊處理，這種研究知識(shí)或問題特殊性的教學(xué)能使學(xué)生在層層深入、螺旋上升的教學(xué)中獲得更加深刻的認(rèn)知.

案例教師在“平行四邊形”的教學(xué)中首先可以從其定義入手，然后引導(dǎo)學(xué)生在平行四邊形邊、角、對(duì)角線上進(jìn)行其特點(diǎn)的研究并最終得其性質(zhì)，然后再引導(dǎo)學(xué)生從特性上進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何判定平行四邊形，最后再將矩形和菱形這兩種特殊的平行四邊形引入課堂，使學(xué)生在滲透類比思想的逐層教學(xué)中獲得深層次的認(rèn)知和理解. 逐層深入類比的教學(xué)也使學(xué)生更好地感受到了矩形定義的特殊性，新舊知識(shí)融會(huì)貫通的教學(xué)也令學(xué)生的知識(shí)、能力獲得了螺旋形的發(fā)展.

2. 共性類比

教師應(yīng)在如何促進(jìn)學(xué)生的思考、感悟、思維上不斷進(jìn)行探索和追求，共性學(xué)習(xí)策略是教師在日常教學(xué)中應(yīng)該重視并進(jìn)行滲透的.

案例在“代數(shù)”的復(fù)習(xí)教學(xué)中可以按圖5所示的代數(shù)思維路徑進(jìn)行提煉.

將代數(shù)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行類比提煉可得圖6所示的幾何思維路徑.

事實(shí)上，從共性學(xué)習(xí)的角度還可以類比、提煉出如圖7的統(tǒng)計(jì)的思維路徑.

教師在挖掘生活原型、問題抽象表述、建立模型、探索性質(zhì)與運(yùn)算、應(yīng)用生活等一系列的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生不斷思考與探索，能使學(xué)生在構(gòu)建新知、解決問題的過程中養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，數(shù)學(xué)思維的理性美也會(huì)因此得到很好的彰顯.

類比推理教學(xué)在概念、性質(zhì)、判定、解法策略等方面的運(yùn)用能夠更好地幫助學(xué)生記憶、掌握所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生在探索新知、梳理知識(shí)、歸納題型、總結(jié)方法、提煉思維的過程中不斷激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，在不斷開闊學(xué)生視野、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和能力的同時(shí)還能提升課堂教學(xué)的效率.