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    “猜測(cè)檢驗(yàn)法”巧破“試題迷宮”
    ——以2018年廣東省廣州市中考試題第25題為例

    2019-07-08 07:05:26呂蓮花
    關(guān)鍵詞:輔助線迷宮小題

    呂蓮花

    (安徽省宣城市第十二中學(xué))

    數(shù)學(xué)教育要盡可能引導(dǎo)學(xué)生理解解決問(wèn)題的思考過(guò)程,教師在講授習(xí)題時(shí),如果將答案直接給出,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就像波利亞形容的“帽子里的兔子”一樣,是變魔術(shù)變出來(lái)的.沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的理由,沒(méi)有思考的過(guò)程,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是沒(méi)有說(shuō)服力的.解答題不像證明題那樣可以從結(jié)論入手,其沒(méi)有結(jié)論特點(diǎn),無(wú)法給予學(xué)生逆向思維的思考方式,因此輔助線的作法就更不容易想到.這就像走迷宮一樣,只知道入口所在,而不知道出口所在,想成功走出迷宮就很難實(shí)現(xiàn),過(guò)程中也會(huì)受到更多阻礙.但是如果可以找到出口,那么走迷宮的過(guò)程就有了方向感,也更容易成功,必要的時(shí)候還可以同時(shí)以入口和出口為起點(diǎn),雙向出發(fā),在中間找到匯合點(diǎn).或者有了出口的方向性指引,就努力朝著一個(gè)方向走,這樣問(wèn)題就容易解決了.下面以2018年廣東省廣州市中考試題第25題為例,對(duì)如何利用上述方法走出迷宮,做以相關(guān)的分析.

    一、試題再現(xiàn)

    題目如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

    (1)求∠A+∠C的度數(shù);

    (2)連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

    (3)若AB=1,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足AE2=BE2+CE2,求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

    圖1

    二、思路分析

    1.觀察條件,尋找方向

    首先,觀察題目給出的已知條件:(1)∠B=60°;(2)∠D=30°;(3)AB=BC.可以將條件(1)和(2)組合放在四邊形ABCD中考慮,也就是四邊形ABCD已知兩個(gè)對(duì)角∠B=60°,∠D=30°,那么根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°,可知∠A+∠C=270°.因此第(1)小題迎刃而解.

    其次,將條件(1)和(3)組合,如圖2,連接AC,得到△ABC是等邊三角形.也就可以得到:(4)AB=BC=AC;(5)∠B=∠BAC=∠BCA=60°.

    圖2

    條件(4)和條件(5)在第(1)小題的解題中沒(méi)有用到,那么必然會(huì)在第(2)小題或者第(3)小題的解題過(guò)程中使用.

    在第(2)小題中,需要討論線段AD,BD,CD之間的關(guān)系.如圖3,通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)并不能將線段AD,BD,CD之間的關(guān)系和條件(4)(5)聯(lián)系上.因?yàn)椤螦DC=30°,所以可以得出點(diǎn)D是一個(gè)不固定的點(diǎn),思考可以得出點(diǎn)D的軌跡應(yīng)該是一條在以線段AC為弦的圓上的圓弧,且所對(duì)圓心角的度數(shù)是300°.

    圖3

    2.猜測(cè)答案,定向出口

    此時(shí)就是走迷宮的中間階段,從入口出發(fā)的路已經(jīng)走到盡頭,走到了一個(gè)看似死胡同的位置,此時(shí)只能尋找出口,確定應(yīng)該朝哪個(gè)方向走.

    觀察圖形,使用猜測(cè)的方法確定出口.根據(jù)常見(jiàn)的線段之間的關(guān)系,以及線段AD,BD,CD的長(zhǎng)短,猜測(cè)其之間可能存在以下兩種關(guān)系:(1)AD+CD=BD;(2)AD2+CD2=BD2.因?yàn)辄c(diǎn)D是動(dòng)點(diǎn),所以線段AD和線段CD的長(zhǎng)度也會(huì)隨之改變,因此排除關(guān)系(1).根據(jù)線段的長(zhǎng)短關(guān)系,及其之間的變化關(guān)系,猜測(cè)線段AD,BD,CD之間滿足關(guān)系(2).

    3.檢驗(yàn)答案,確定正誤

    由于點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條弧線,故可以將點(diǎn)D移動(dòng)到特殊的位置來(lái)檢驗(yàn)猜想是否正確.

    位置1:如圖4,當(dāng)點(diǎn)D恰好在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí),可得∠BCD=180°-∠B-∠D=90°.在Rt△BCD中,∠D=30°,設(shè)AB=BC=AC=a,可得.所以AD=BD-BA=a.于是.所 以AD2+CD2=BD2.猜想得證.

    圖4

    位置2:如圖5,當(dāng)點(diǎn)D為ADC的中點(diǎn)時(shí),ADC是以點(diǎn)O為圓心的弧.此時(shí)AD=CD,∠AOC=2∠ADC=60°,所以此時(shí)△AOC是等邊三角形.設(shè)AB=BC=AC=AO=CO=a,則可得.因?yàn)镺D=OA=OC=a,所以.所以.在Rt△ADE中,.因 為AD=CD,所以.猜想得證.

    圖5

    4.合情推理,走出迷宮

    我們已經(jīng)通過(guò)兩個(gè)特殊位置的點(diǎn)D驗(yàn)證了猜想AD2+CD2=BD2的合理性,接下來(lái)就要從一般情況來(lái)論證猜想的正確性.這時(shí)需要將條件和結(jié)論合起來(lái)思考中間的推理過(guò)程,回頭看現(xiàn)階段的已知條件:(1)∠B=60°;(2)∠D=30°;(3)AB=BC;(4)AB=BC=AC;(5)∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°;(6)∠A+∠C=270°.因?yàn)椴孪氲慕Y(jié)果AD2+CD2=BD2滿足直角三角形三邊關(guān)系,所以這三條邊必然可以轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中,那么必然會(huì)有直角.而條件(6)與直角合在一起恰好是周角,于是推理就走向?qū)ⅰ螦和∠C通過(guò)旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱或者平移合在一起,那么周角所剩下的角就是直角.而△ABC是等邊三角形,通過(guò)旋轉(zhuǎn)即可以將∠A和∠C合在一起.此外,將∠B與∠D相加,就可直接得到直角.

    三、多種解法

    以下展示題目第(2)小題的兩種解法.

    解法1:如圖6,將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段BD′,連接DD′(也可以以BD為邊向下作等邊三角形BDD′,或?qū)ⅰ鰾AD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°),

    所以△BDD′是等邊三角形.

    所以BD=BD′=DD′.

    因?yàn)椤螦BC=60°,AB=BC,

    所以∠ABD=60°-∠DBC=∠CBD′.

    所以△ABD≌△CBD′.

    所以∠BAD=∠BCD′,AD=CD′.

    由第(1)小題結(jié)論,得

    ∠BAD+∠BCD=270°.

    所以∠BCD′+ ∠BCD=270°.

    所以∠DCD′=360°-270°=90°.

    所以DC2+CD′2=DD′2,

    即AD2+CD2=BD2.

    圖6

    還可以將BD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,也可以證明出結(jié)論,證明方法相同.

    解法2:如圖7,以CD為邊向下方作等邊三角形CDF.

    則CD=CF=DF,∠CDF=∠DCF=60°.

    因?yàn)椤螦BC=60°,AB=BC,

    所以△ABC是等邊三角形.

    所以∠ACB=60°,BC=AC.

    所以∠BCD=60°+∠ACD=∠ACF.

    所以△BCD≌△ACF.

    所以BD=AF.

    因?yàn)椤螦DC=30°,∠CDF=60°,

    所以∠ADF=90°.

    所以AD2+DF2=AF2,

    即AD2+CD2=BD2.

    圖7

    四、類(lèi)比遷移

    以上兩種解法都是在猜想的基礎(chǔ)上,將原有的條件轉(zhuǎn)化成與猜想相關(guān)的圖形,合情推理自然通暢無(wú)阻.在此類(lèi)問(wèn)題中,猜想和條件對(duì)推理同等重要,但是猜想并不是無(wú)端的猜測(cè),而是在觀察基礎(chǔ)上的合理猜想.波利亞認(rèn)為,觀察可以導(dǎo)致發(fā)現(xiàn),觀察只給出初步的歸納結(jié)論和猜測(cè),不給出證明,檢查你的猜測(cè),可以考查一些特殊的情形和結(jié)果,任何特殊情形和結(jié)果被驗(yàn)證為正確,都增添了猜測(cè)的可信度.在以上的模式下,此題第(3)小題也就不那么難以解決了.

    第(3)小題新增條件:(7)AB=1;(8)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足AE2=BE2+CE2.針對(duì)條件(8),我們可以類(lèi)比解決第(2)小題時(shí)的猜想過(guò)程,猜想作圖的方法依然是旋轉(zhuǎn).

    解:如圖8,將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

    得到△CBE′.

    連接EE′,

    則BE=BE′,∠EBE′=∠ABC=60°,AE=CE′.

    所以△BEE′是等邊三角形.

    所以EE′=BE,∠BEE′=60°.

    因?yàn)锳E2=BE2+CE2,

    所以CE′2=EE′2+CE2.

    所以∠CEE′=90°.

    所以∠BEC=∠BEE′+∠CEE′=150°.

    所以點(diǎn)E在以BC為弦的圓弧上,

    且圓周角∠BEC=150°.

    所以圓心角∠BOC=60°.

    圖8

    如圖9,以BC為邊,在△ABC的另一邊作等邊三角形BOC,再以點(diǎn)O為圓心,BC的長(zhǎng)度為半徑作圓,取在四邊形ABCD的內(nèi)部的圓弧,就是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑,點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為.

    圖9

    五、反思啟示

    動(dòng)點(diǎn)求解線段關(guān)系的題型對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較難的原因一般有兩點(diǎn):(1)沒(méi)有明確的結(jié)論,不知從何下手;(2)圖中缺少輔助線,沒(méi)有結(jié)論的猜想,不知道輔助線應(yīng)該如何作.

    日常教學(xué)中遇到動(dòng)點(diǎn)求解題,教師應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生先從線段的長(zhǎng)短關(guān)系等做以分析并猜測(cè)答案,再使用特殊位置檢驗(yàn)猜想,且盡量使用兩種及以上位置進(jìn)行檢驗(yàn),避免猜測(cè)的錯(cuò)誤,最后根據(jù)猜測(cè)和檢驗(yàn)的結(jié)果,聯(lián)想輔助線的作法.

    此類(lèi)試題在中考?jí)狠S題的位置比較常見(jiàn),其主要考查學(xué)生聯(lián)想、猜測(cè)、逆向思維、發(fā)散思維的能力,以及解決問(wèn)題的能力.教師在幫助學(xué)生分析此類(lèi)問(wèn)題時(shí),切忌直接給出輔助線,或者要求學(xué)生必須怎樣做.數(shù)學(xué)的思維是有連續(xù)性的,數(shù)學(xué)的方法是有可循性的.解決這類(lèi)問(wèn)題要從觀察、分析條件入手,當(dāng)無(wú)法繼續(xù)或者走入“死胡同”時(shí),再?gòu)慕Y(jié)論入手.先采用猜測(cè)的方法得出結(jié)論,結(jié)論也許不唯一,但一定可以逐一排除,進(jìn)而確定最可能的結(jié)論.如果結(jié)論不能簡(jiǎn)單的被證明,則可以使用特殊位置或者特殊值的方法驗(yàn)證猜想,在猜想正確的基礎(chǔ)上,再結(jié)合條件和結(jié)論進(jìn)行合情推理.整個(gè)解題過(guò)程經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、檢驗(yàn)、合情推理的過(guò)程,使用了猜測(cè)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)方法,前后連貫的使用了順向思維和逆向思維的統(tǒng)一與結(jié)合.

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中對(duì)數(shù)學(xué)課程有如下敘述:課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果,也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.同樣,在日常教學(xué)中,尤其是進(jìn)行解題教學(xué)時(shí),思維的過(guò)程及其分析過(guò)程比答案更為重要.

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