以一題教學(xué)為根，讓學(xué)生思維自然流淌

方成勇，余建明

（浙江省淳安縣千島湖初級中學(xué)；浙江省淳安縣第二中學(xué)）

隨著初中新課程改革的進一步推進和實施，教育各界對初中數(shù)學(xué)課堂實效性的要求已經(jīng)越來越高.在這樣的背景下，從初中數(shù)學(xué)課堂的角度出發(fā)，如何合理的在45分鐘內(nèi)充分發(fā)揮教材例、習(xí)題的功能，豐富其所包含的知識點和解題方法，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到提升，仍需要進行研究.章建躍博士曾提出，在遵循數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程的合理性和學(xué)生思維發(fā)展過程的合理性的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué).筆者以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“特殊三角形”中的一道習(xí)題為例談一題教學(xué)的構(gòu)建與實踐.

一、理性思考——理念重構(gòu)與優(yōu)化

1.概念界定

一題教學(xué)，即以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程和學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識的思維過程為依據(jù)，針對某一個知識點，圍繞考試說明設(shè)計一道（組）試題，將有關(guān)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本方法融于其中，讓一道題串聯(lián)起知識、方法和思維，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.研究架構(gòu)

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點，以及學(xué)生的認(rèn)知能力形成、素養(yǎng)提升等特征，筆者設(shè)計了如圖1所示的研究架構(gòu)，重點分四個環(huán)節(jié)予以實施.

二、實踐研究——以一題教學(xué)為根

1.分析學(xué)習(xí)起點：一題多問，串聯(lián)知識

本節(jié)課的授課對象基礎(chǔ)較好，總體素質(zhì)較高，學(xué)生的認(rèn)知過程已經(jīng)能從歸納猜測到演繹推理.從知識的發(fā)生、發(fā)展來看，例1是在學(xué)生學(xué)完全等三角形和特殊三角形以后對圖形認(rèn)識的進一步提升.

例1如圖2，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點D，E，使得AD=CE，BD與AE相交于點P.求∠BPE的度數(shù).

圖2

教學(xué)片斷1：

教師先讓學(xué)生思考5分鐘，之后提出如下問題.

師：如果點D在AC上運動，∠BPE的度數(shù)會變化嗎？

生1：不會發(fā)生變化.

師：你是怎樣想的？

生1：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)點D，E分別是AC，BC的中點時，∠BPE=60°.當(dāng)點D與點A重合，點E與點C重合時，∠BPE=∠ABC=60°，所以我猜測∠BPE的度數(shù)不會變.

師：這種思路很好，若你能證明這個結(jié)論就更好了.

生1：只要證明△ABD≌△CAE就可以了.由此可得∠ADP=∠AEC.所以△APD∽△ACE.所以∠APD=∠ACE=60°.所以∠BPE=60°.

師：我們發(fā)現(xiàn)點D，E，P都在運動，但∠BPE的度數(shù)不變，你們還能發(fā)現(xiàn)有其他元素不變嗎？

生2：我還發(fā)現(xiàn)了P，D，C，E四點共圓.

對于四點共圓，筆者在教學(xué)設(shè)計時沒有預(yù)設(shè).是繼續(xù)研究預(yù)設(shè)的邊、角的不變關(guān)系，還是順著生2的思路研究“四點共圓”的不變性呢？秒思后果斷選擇后者.于是把對邊角關(guān)系的研究移至例3，將例1增加如下一道小題：

例1中，若△ABC的邊長為，當(dāng)點D，E分別在邊

生3：因為，∠APB=120°，利用同弧所對的圓周角相等，所以點P運動的軌跡是一段劣弧AB，所對圓心角的度數(shù)是120°.如圖3，當(dāng)點P運動到劣弧AB的中點時，就能求出AC和BC上運動時，求點P運動軌跡的長度.

教學(xué)片斷2：

師：你怎么發(fā)現(xiàn)P，D，C，E四點共圓的？

生2：因為對角互補，即∠DPE+∠ACB=180°，所以P，D，C，E四點共圓.

師：當(dāng)點D，E運動時，點P的運動軌跡是什么？

生2：我猜測是一段圓弧.

師：你能在圖2中畫出這段圓弧嗎？

生2：P，D，C，E四點中只有一個定點，其他三個點都是動點，我找不到圓心.

師：四點中有三個點動，點P能否不局限于P，D，C，E這四個點中的圓，能否根據(jù)∠APB的不變性找到動圓的圓心？半徑的長.

圖3

師：你真棒，圓心和半徑確定，現(xiàn)在你能求出劣弧AB的長度嗎？

教師配合學(xué)生利用幾何畫板軟件進行動畫演示.

生3：

【評析】邏輯推理包括歸納推理與演繹推理.在教學(xué)中，教師有時過分強調(diào)演繹推理會忽略了歸納推理，過分強調(diào)命題的證明會忽略命題的提出與思維的生成.其實，很多數(shù)學(xué)結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的，盡管有時看出來的結(jié)果不一定正確.教學(xué)片斷1中，學(xué)生利用特殊位置關(guān)系猜測∠BPE=60°，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生進行深入思考，尋找∠BPE的度數(shù)不變的原因，讓學(xué)生在有幾何直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上擁有更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀握撟C思路.教學(xué)片斷2中，學(xué)生提出的“P，D，C，E四點共圓”超出教師預(yù)設(shè)，此時教師沒有打斷學(xué)生的思路，而是珍惜學(xué)生提出的問題，串聯(lián)知識，開拓視野，把教學(xué)“事故”變成美麗的“故事”，讓師生共同欣賞沿途的風(fēng)景.

2.依據(jù)學(xué)習(xí)趣點：一題多解，串聯(lián)方法

例1的教學(xué)給學(xué)生提供了主動參與變式的土壤，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，點燃了學(xué)生思維的火花.筆者趁機讓學(xué)生思考例2.

例2如圖4，在等邊三角形ABC中有一點P，使得，求∠APC的度數(shù).

圖4

教學(xué)片斷3：

生：剛好構(gòu)成直角三角形中的三條邊.

生4：我想到旋轉(zhuǎn).如圖5，將△ABP繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與BC重合，連接PR，由△ABP≌△CBR，就能把三邊轉(zhuǎn)化到△PRC中.

圖5

師：很好，那你得到結(jié)果了嗎？

生4：根據(jù)三角形全等可得對應(yīng)邊相等.在△PRC中，由，可得∠PCR=90°，∠CPR=30°，∠PRC=60°. 所以 ∠BPC=90°， ∠APB=120°，∠APC=150°.

生5：老師，我不是這樣旋轉(zhuǎn)的.如圖6，我是將△APC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，使得AC與AB重合，連接PQ，由△APC≌△AQB，把作為Rt△PQB的三邊之比.

圖6

生6：我發(fā)現(xiàn)也可以將△APB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造直角三角形.

生7：那這樣不是有六種方法了嗎？分別以點A，B，C為中心旋轉(zhuǎn)，逆時針有三種方法，順時針有三種方法（如圖7）.

圖7

生7講完后，教室中頓時響起雷鳴般的掌聲.

【評析】直觀想象不是簡單的把解題模式化或進行旋轉(zhuǎn)， 一題多解更不是讓學(xué)生記住各種旋轉(zhuǎn)方式.一題多解應(yīng)該是學(xué)生在已有認(rèn)知水平中自然生成的.一題多解應(yīng)該是學(xué)生在已有的認(rèn)知水平上的自然生成，從而達到怎么解？為什么這樣解？還能怎么解？例2中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣點是旋轉(zhuǎn)，難點是為什么要旋轉(zhuǎn)？重點是怎么旋轉(zhuǎn)？這一系列問題的解決，教師不能替代，必須由學(xué)生自己體驗.學(xué)生通過觀察與運算發(fā)現(xiàn)，但是如何把的三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個三角形中，這才是旋轉(zhuǎn)的本質(zhì).運算是數(shù)學(xué)的“童子功”.對于運算和思維的“過程”教育，不是數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的過程，也不是數(shù)學(xué)家所描述的思維過程，更不是展示教師的思維過程，而是學(xué)生自己觀察數(shù)據(jù)，進行數(shù)學(xué)運算，理解數(shù)學(xué)的思維過程.理解教學(xué)的本質(zhì)往往不是教師的教，而是理解學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察具體問題，理解學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題，理解學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實問題.

實驗組子宮幾率殘留率以及子宮肌瘤復(fù)發(fā)率均明顯低于對照組，其成功妊娠率明顯高于對照組，差異有統(tǒng)計學(xué)意義（P＜0.05）。 如表 4。

3.根據(jù)學(xué)習(xí)難點：一題多變，串聯(lián)思維

推理是數(shù)學(xué)的“命根子”.一題教學(xué)立足于學(xué)生的思維難點，通過不斷的“變”，讓學(xué)生在不同的背景下探求知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生的思維高度逐步得到提升，讓課堂成為學(xué)生學(xué)習(xí)的樂土.教師可以通過一題多變，引導(dǎo)學(xué)生一題多思，將知識和方法各自串珠成線，串聯(lián)思維，織成網(wǎng)絡(luò)，最終形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例3如圖8，在等邊三角形ABC中有一點P，使得，延長AP交BC于點E，延長BP交AC于點D，則∠BPE的度數(shù)為多少？

圖8

教學(xué)片斷4：

師：由例2易得∠BPE=60°.此題中能否得到其他數(shù)量關(guān)系？

生8：角的關(guān)系，有∠BPE=∠APD=60°.

生9：相似關(guān)系，有△APD∽△ACE.

生10：由△APD∽△ACE，可得∠ADP=∠CEA.從而得到全等關(guān)系，即△ABD≌△CAE.

師：大家看看還有其他關(guān)系嗎？

生11：邊的關(guān)系，有AD=CE.

師：大家再看看例1和例3有什么內(nèi)在聯(lián)系？

生12：兩道題目是互逆的.例1中，由AD=CE，可推得∠BPE=60°.例3中由，可以推出∠BPE=60°，最后得AD=CE.

師：由AD=CE，能推出嗎？

生13：不能.因為點D在運動，所以AP，BP，CP的長度會改變，所以不能推出.

師：生13分析得很好.例1中點D在運動，當(dāng)點D運動到一個特殊的位置時，它就滿足.

師：這個特殊位置能否找到？

生14：還可以這樣理解，因為∠APB=120°，所以點P運動的軌跡是一段劣弧AB.同理，由∠BPC=90°，則點P運動的軌跡是一段??；由∠CPA=150°，則點P運動的軌跡是一段弧，三段圓弧的交點就是點P.

教師用幾何畫板軟件進行展示，如圖9所示.

圖9

【評析】數(shù)學(xué)教學(xué)不但要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，而且要使學(xué)生掌握獲取學(xué)習(xí)知識的本領(lǐng).牛頓說過：我的成功歸功于精細(xì)的思考，只有不斷地思考，才能到達發(fā)現(xiàn)的彼岸.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)習(xí)思維的難點是將已學(xué)知識串聯(lián)起來，使數(shù)學(xué)思維活躍起來.例3中，求∠BPE的度數(shù)是對例2關(guān)聯(lián)知識的延續(xù)，邊、角、全等、相似的探究是學(xué)生多角度思維的延續(xù).例3與例1是特殊化與一般化的探究，是學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性的升華.學(xué)生思維的升華都離不開教師的追問，通過一步步追問，讓學(xué)生看清楚題目之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生辨析思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.從而學(xué)生發(fā)現(xiàn)例3中的點D是三段圓弧的交點，是點D運動到某個特殊位置的靜止?fàn)顟B(tài).對于學(xué)生提出的問題，教師也十分重視.提出問題是思維的開始，只有提出問題，才有問題去分析，有問題去解決.

4.立足課堂測評：一題多思，串聯(lián)素養(yǎng)

一節(jié)完整的課離不開課堂測評，測評內(nèi)容可以是當(dāng)堂課的授課內(nèi)容，也可以適度變化，以檢驗學(xué)生運用知識的靈活程度.結(jié)合本節(jié)課的主題是研究AP與BP隨點D運動時角的不變性，筆者將課堂測評換成判斷線段的關(guān)系的不變性.

課堂測評：如圖10，在等邊三角形ABC中有一點P，使得，延長BP交AC于點D，求AD∶DC的值.

圖10

教學(xué)片斷5：

師：求AD∶DC的值，你打算怎么做？

生15：先量再猜測.

師：你量出來是多少？

生16：我量得AD=1.7cm，DC=3.4cm，所以我猜CD=2AD.

師：接下來你要怎樣證明CD=2AD？

生17：要證明CD=2AD，我想到了線段成比例，所以想到了證明三角形相似.

生18：如圖11，將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與BC重合，得△BRC.連接PR，則PR=2AP.結(jié)合目標(biāo)CD=2AD，猜測DP∥CR.

圖11

師：那證明兩直線平行的通法是什么？

生19：證明角相等.我發(fā)現(xiàn)兩個內(nèi)錯角相等，即∠BPR=∠PRC=60°.

生20：這兩個角不一定是內(nèi)錯角，要證明A，P，R三點共線.

師：很好，那要怎么證？

生20：證明 ∠APB+∠RPB=180°.

師：因為DP∥CR，且A，P，R三點共線，所以.

【評析】會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界，這是檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn).測評期間，學(xué)生通過測量、估算邊的關(guān)系、猜測結(jié)論等一系列運算、分析活動，親身體驗用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界.針對目標(biāo)CD=2AD探尋題中的已知條件，讓目標(biāo)和條件接軌等一系列數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理活動，親身感受會用數(shù)學(xué)的思維思考世界.展示學(xué)生解決問題的思維過程，讓學(xué)生享受會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.

三、實踐反思——核心素養(yǎng)探源

1.一題教學(xué)要主動尋找驅(qū)動問題的“核”

波利亞說，教師在課堂上講什么固然重要，然而學(xué)生想什么更重要，思想應(yīng)該在學(xué)生腦海中產(chǎn)生出來，而教師僅僅應(yīng)起到一個助產(chǎn)婆的作用.因此，尋求學(xué)生原生態(tài)的思維素材，探尋驅(qū)動問題的“核”成為教師的首要任務(wù).驅(qū)動問題的“核”可以在新授課中尋找，可以在作業(yè)講評中尋找，甚至可以把握每一次與學(xué)生面對面的交流、一道小小的選擇題或填空題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).愛因斯坦說過，提出問題比解決問題更重要.例1驅(qū)動問題的“核”是“四點共圓”的提出；例2驅(qū)動問題的“核”是剛好構(gòu)成勾股定理中的三個數(shù)；例3驅(qū)動問題的“核”是與例1的互逆關(guān)系.每次出現(xiàn)新的問題，筆者及時追問，將學(xué)生放到逆境中鍛煉，在追問中驅(qū)動學(xué)生，讓問題本原化順應(yīng)學(xué)生思維的發(fā)展.

2.一題教學(xué)要明確學(xué)生思維的“心”

經(jīng)驗豐富的研究型教師必須克服過分的自我展示欲，盡量多地將課堂還給學(xué)生.教師可以親近學(xué)生，有意識地退回到與學(xué)生相仿的思維狀態(tài).若教師認(rèn)為學(xué)生提出的解法都是稀奇古怪的，不具有普遍性和可行性，則不利于學(xué)生的創(chuàng)新意識及思維能力的培養(yǎng).例2的教學(xué)中，若教師直接告訴學(xué)生將圖形旋轉(zhuǎn)，沒有讓學(xué)生通過觀察和運算發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，則不利于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題.例2中，對于學(xué)生提出的不同旋轉(zhuǎn)方式，教師應(yīng)該給予重視，在本原性思維的基礎(chǔ)上，使學(xué)生的思維迸發(fā).只要讓學(xué)生說出心中所想，腦中所思，拉長數(shù)學(xué)思維的探究過程，課堂一定會收到很好的教學(xué)效果.

3.一題教學(xué)要滲透數(shù)學(xué)思維的“魂”

數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)離不開解題教學(xué).解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的途徑之一.但長期以來，數(shù)學(xué)解題教學(xué)被演變成了對數(shù)學(xué)題目的講解，過分注重題目的結(jié)果而忽視了結(jié)果的生成過程，過分注重怎么解而忽視了如何想.因此，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課陷入了“講題—做題—講題—做題”的怪圈之中.教師若試圖用大量的解題訓(xùn)練達到猜題、壓題的目的，其結(jié)果往往是學(xué)生煩躁、教師焦慮，復(fù)習(xí)效率低下.本節(jié)課中，筆者通過設(shè)計三道例題及測評試題，為學(xué)生展示思維過程創(chuàng)造機會，把課堂還給學(xué)生，讓數(shù)學(xué)課堂中蘊含有思維的“魂”.英國大文豪肖伯納曾比喻：倘若你有一個蘋果，我也有一個蘋果，那么，你和我仍然是各有一個蘋果.但是，倘若你有一種思想，我也有一種思想，而我們彼此交流這種思想，那么，我們每個人將各有兩種思想.