初中數(shù)學解題后的反思策略探究

沈曉生

（福建省詔安縣懷恩中學）

在初中數(shù)學教學中常存在這樣一個現(xiàn)象：多數(shù)學生做數(shù)學題時想方設法去解題，但解題后沒有進行歸納總結，也就是沒有把解題前的探索與解題后的反思緊密地結合起來，達不到提高解題能力的理想效果.事實上，就優(yōu)化數(shù)學解題思維、提高解題能力的重要性而言，解題后的反思不亞于解題前的探索.因為解題后的反思過程是學生自覺地對自身活動進行回顧、思考、總結、評價和調(diào)節(jié)的過程.下面，筆者就如何引導學生進行解題后反思談幾點建議.

一、反思審題，是否弄清楚問題的特征

解決問題要找準突破口，而抓住了問題的主要特征也就打開了突破口.數(shù)學題目往往具有某種特征，它是正確解題的重要因素.在審題時，只有充分挖掘、分析、理解題目的特征，明確條件和目標，才能快速形成正確的解題思路.在教學中，教師要啟發(fā)學生在解題后全面觀察、綜合分析問題的主要特征，弄清楚已知條件告訴了我們什么，目標要求什么，如何從中尋找解決問題的關鍵，最終獲取最佳方法，正確解答.

解題時能否弄清楚題目的特征，重點是對題目給出的條件的分析是否到位.如果對條件和結論的理解認識不全面，特別是對題目中的條件（尤其是隱含條件）考慮不周全，那么就會導致錯解.

例1若實數(shù)m，n滿足，且m，n恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是（ ）.

（A）12 （B）10 （C）8 （D）6

解析：根據(jù)絕對值和二次根式的非負性，得m-2=0，n-4=0.解得m=2，n=4.再根據(jù)m，n是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長，分情況討論：①若腰為2，底為4，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知此時不能構成三角形，舍去；②若腰為4，底為2，周長為10.故選B.

此題是求等腰三角形的周長，它的主要特征是要確定能形成等腰三角形的腰和底的長，因此當腰和底不明確時則需要進行討論.像這類題目，只要抓住已知條件的特征進行理解、辨析，就能達到“見題有法，逢題獲解”的功效.

因此，教師應引導學生認真對待解題后的反思，對題目條件、結論進行再認識，特別是對條件與結論之間存在的數(shù)量關系或位置關系等特征進行分析，檢查邏輯推理是否科學，思考是否抓住了問題的本質(zhì).

二、對解題思路進行反思

解題思路的反思重點可以從三個方面進行：（1）是否理解題意并提取有用的信息，如數(shù)式特點，圖形結構特征等；（2）能否從已有知識中提取出相關的信息，如有關的公式、定理、基本模型等；（3）能否將上述兩組信息進行有效整合重組，生成一個合乎邏輯的解題思路.

例2已知：m2-2m-1=0，n2+2n-1=0，且mn≠1，則的值為_______．

解析：此題中，觀察兩個方程中系數(shù)符號的異同是關鍵.將n2+2n-1=0變形，即1-2n-n2=0.進而變形為.對照第一個方程可判斷其結構相似，據(jù)此可得m，是方程x2-2x-1=0的兩個根.由根與系數(shù)的關系，可得.代入原式，得．

對于這類題目，學生往往會在解題過程中，只用概念或公式、法則、定理中的某個條件進行解題，導致解題錯誤.因此，解題時必須對相關條件的相似情況或異同點加以關注，對重要信息進行分析，結合方程、不等式、函數(shù)基本模型進行求解，周密思考問題的本質(zhì)，形成正確的解題思路.

三、對解題方法進行反思

教師可以給學生提供多渠道的思考方式，運用一題多解、一題多變、直觀思維（形）與抽象思維（數(shù)）相互轉化的方法，引導和啟發(fā)學生，讓學生進行反思，力求解中求多、多中求妙，有效促進學生養(yǎng)成良好的學習方法，培養(yǎng)學生靈活運用知識的能力.

1.一題多解，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

例3如圖1，在△ABC中，D是AB上任意一點，在AC的延長線上取一點E，使CE=BD，連接DE交BC于點F.求證：FD∶FE=AC∶AB.

圖1

解法1：如圖2，過點D作DG∥BC，交AC于點G，則.

圖2

圖3

解法2：如圖3，過點D作DH∥AC，交BC于點H，則.

解法3：如圖4，過點E作EK∥CB，交AB的延長線于點K，則.

圖4

解法4：如圖5，過點E作EM∥BA，交BC的延長線于點M，則.

圖5

證明此題的關鍵在于判斷比例式中的線段是否在同一直線上，若是，則可以從線段的端點引平行線，獲得所需的比例式，因此可有多種解法.

一題多解重在對學生進行多向思維訓練，貴在化繁為簡，擇優(yōu)解法.利用一題多解引導學生從不同方面，運用不同途徑去解決同一類題，既可以鞏固已有知識，又能拓寬解題思路.

2.一題多變，培養(yǎng)學生的變通性

例4如圖6，已知a∥b，c∥d，∠1=115°.

（1）求∠2與∠3的度數(shù)；

（2）你能得到∠1與∠2之間是什么關系？

圖6

此題通過平行線的性質(zhì)求解角的度數(shù)及角與角之間的關系，熟悉平行線的性質(zhì)是解題的關鍵.

在師生共同解答后，筆者將題目改為：如圖6，已知：a∥b，c∥d，求證：∠1=∠2.筆者讓學生寫出證明過程，并說出各自不同的證法.由于與此題緊密相關的內(nèi)容是平行線的判定，因此又可以有如下變化.

變式1：如圖6，已知a∥b，∠1=∠2，求證：c∥d.

變式2：如圖6，已知c∥d，∠1=∠2，求證：a∥b.

變式3：如圖6，已知a∥b，問∠1=∠2嗎？

通過對題目的條件或結論進行合理的變化，把原題加以變形、延伸，進行從一個問題到一類問題的變式訓練，靈活運用所學的知識解決問題，促進學生對基礎知識的鞏固，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，達到發(fā)展數(shù)學能力的目的.

3.對直觀思維（形）與抽象思維（數(shù)）相互轉化的反思，培養(yǎng)數(shù)形結合思想

解數(shù)學問題離不開直覺，在推理中需要直觀能力的幫助，這是因為證明所用的邏輯材料很多，需要通過直覺選擇這些材料構成數(shù)學建模.有些數(shù)學問題可以利用畫圖來解決，它能化隱性條件為顯性條件，啟發(fā)直觀思維.有些代數(shù)問題條件中的數(shù)量關系具有明顯的幾何意義，或用某種方法可以與幾何圖形建立聯(lián)系.因此，若能將已知條件中的數(shù)量關系寓于特定的幾何圖形中，則能快速地找到解題途徑.所以，數(shù)形結合就是根據(jù)問題實際由數(shù)思形，以形助數(shù)，適時轉化，相互作用.因此，在教學中，教師應該有意識地引導學生學習這種轉化方法.

（1）利用圖形解數(shù)學題.

例5如圖7，在物理課上，老師將掛在彈簧測力計下端的鐵塊浸沒于水中，然后緩慢勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則能反映彈簧測力計的讀數(shù)y（單位：N）與鐵塊被提起的高度x（單位：cm）之間的函數(shù)關系的大致圖象是（ ）.

圖7

解析：根據(jù)題意，鐵塊露出水面以前，浮力不變，故此過程中彈簧測力計的度數(shù)不變.當鐵塊開始慢慢露出水面時，浮力逐漸減小，則拉力逐漸增加，當鐵塊完全露出水面后，拉力等于重力.故選D.

圖象信息題既能考查學生的運算能力、抽象能力、空間觀念和應用意識，也能體現(xiàn)數(shù)形結合思想.解題時，首先，要熟悉已學的幾種常用的函數(shù)圖象性質(zhì)，即正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)；其次，要求學生能根據(jù)具體的問題情境，抓住問題中的變量，變量與圖中的數(shù)據(jù)的對應關系，明確它們的幾何意義，再根據(jù)圖象的特點，用數(shù)形結合的方法求解.

（2）幾何題的代數(shù)解法.

圖8

例6如圖8，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中點．將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點E，則DE的長是（ ）.

（A）1 （B）1.5

（C）2 （D）2.5

解析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得Rt△AFE≌Rt△ADE.所以EF=DE.設DE=FE=x，則EC=6-x．因為G為BC的中點，BC=6，所以CG=3.在Rt△ECG中，根據(jù)勾股定理，得(6 -x)2+9=(x+3)2.解得x=2.故選C．

幾何題一般采用邏輯推理來求解，但在有些情況下，用代數(shù)方法解更為簡捷.從例6可以看出，用代數(shù)方法解幾何題的一般思路是，對于有提供邊角關系、直角三角形、折疊對稱等求數(shù)量關系的類型，可以通過分析已知條件各元素之間的數(shù)量關系和圖形的幾何特征，運用有關定理和公式建立數(shù)量關系，然后借助代數(shù)方法求解.

總之，解題反思就是解題后圍繞審題、解題思路、解題方法等，展開多角度、多層次的反思，而不是簡單的回顧.科學的解題反思是提高學生解題能力的有效方式.