初中數學命題方法之延續(xù)策略

姜曉翔

（浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學研究和培訓中心）

對于數學教師而言，命題能力是其專業(yè)發(fā)展中需要具備的重要基本數學素養(yǎng)之一，既能反映教師對于學生學習情況了解的精準度，又決定著課堂教學的效率與思維的深度.因此，筆者認為，無論是教研人員還是一線教師，都需要重視對于命題這一能力的培養(yǎng)，即命題研究.

有一種情懷叫傳承，有一種命題方式叫延續(xù)，即以延續(xù)歷年中考試題的優(yōu)秀特征而重新命制新題的方法與策略.近年來，筆者負責或參與了多次區(qū)、縣級中考數學模擬試題的命制，以及中考試題的命制，略有所感，與同仁分享、共勉.下面主要從優(yōu)質素材、位置結構、解題方法、問題探究幾個方面來說明延續(xù)策略的具體操作方式與實效.

一、對于優(yōu)質素材的延續(xù)，追求創(chuàng)新特色

近年來，各地區(qū)的中考試題不斷創(chuàng)新，PISA、核心素養(yǎng)、STEAM等前沿理念不斷地被融入進中考試題中，讓原本枯燥乏味的數學試題變得充滿生機與活力.對于命題者而言，題目的質量高低某種程度上取決于對有價值素材的選取，故尋找好素材是命題者孜孜不倦的追求.

案例1：對一道七巧板試題的改編.

原題1（2017年浙江·湖州卷）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造.下列四幅圖中有三幅是小明用如圖1所示的七巧板拼成的，則不是小明拼成的那幅圖是（ ）.

圖1

針對此題，筆者進行如下改編.

七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造.愛思考的小紅同學用如圖2所示的七巧板拼成了如圖3所示的四幅圖，則這四個圖形的周長從大到小排列正確的是（ ）.

圖2

圖3

（A）乙＞丙＞甲＞丁 （B）乙＞甲＞丙＞丁

（C）丙＞乙＞甲＞丁 （D）丙＞乙＞?。炯?/p>

原題1的特色明顯，形式創(chuàng)新.命題者通過觀察生活中的益智類玩具——七巧板，發(fā)現每塊特殊多邊形的邊長存在著一種特定的數量關系，從而巧妙地編制出這樣一道基于核心素養(yǎng)的PISA試題.基于原題1的改編題，不僅可以讓學生感受到七巧板的強大魅力，還可以通過數學思考去探索其中蘊含的數學魅力.盡管改編題計算量稍大，但還是能充分體現對學生數學素養(yǎng)的考查功能.據筆者了解，其他地區(qū)的中考模擬試卷和2018年中考試卷中也有出現以七巧板為素材的試題，這無疑遵循了對優(yōu)質素材的延續(xù)這一命題策略.

二、對于位置結構的延續(xù)，追求觸類旁通

在探究類中考熱點試題中，不乏一些對特殊位置狀態(tài)下圖形的研究，如通過平移、旋轉及折疊等變換之后形成的特殊位置.而在這些特殊位置下，往往存在著某些邊、角的特殊數量關系或位置關系，對于這些關系的探究也是當今中考的熱點問題.筆者熱衷于對這些熱點問題進行研究，力求將其特殊的位置結構得以延續(xù)，從而命制出新的題目，并加以觸類旁通，充分發(fā)揮其潛在的探究價值與評價功能.

案例2：對一道幾何探究型試題的改編.

原題2（2016年江蘇·泰州卷）已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC．

（1）如圖4（1），若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）若點P在線段AB上．

①如圖4（2），連接AC，當P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

②如圖4（3），設AB=a，BP=b，當EP平分∠AEC時，求a∶b的值及∠AEC的度數．

圖4

針對此題，筆者進行如下改編.

已知菱形ABCD，∠ABC=α，P為射線AB上的一點，以BP為邊作菱形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC.

（1）如圖5（1），若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）若點P在線段AB上，且α=120°.

①如圖5（2），連接AC，當P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

②如圖5（3），設AB=2a，BP=2b，當EP平分∠AEC時，求的值.

圖5

上述改編題的命制過程是對原試題中圖形位置結構的一種傳承，延續(xù)了原題2中兩個特殊四邊形的三種特殊的位置結構特征，只是將原題2的兩個正方形改為兩個含60°內角的菱形.如此改編，對于前兩問，形變質不變.第（1）小題依然是通過三角形全等證得結論成立，只不過在證明夾角相等時需要通過公共角進行轉化；對于第（2）小題第①問，原題2是通過兩個45°角的和證明垂直，改編題是通過一個30°角與一個60°角的和證明垂直.然而，第（2）小題第②問通過改編略微提升了難度.原題2只需要利用一對相似三角形中的成比例線段即可求出的值，但改編題需要添加輔助線構造出相似三角形才能解決問題，從思維的考查立意要求來看，明顯有所提高.

改編題的命制還得到了意外之喜，因為解決此題第（2）小題第②問的思路方法較多，起到了很好的拓寬思維的效果，現列舉幾種典型的解題思路.

思路1：如圖6，連接PF，交EC于點M，通過證明△EMP∽△CMF，可求得.

圖6

圖7

思路2：如圖7，過點A作AH⊥FB于點H，分別交EP，EC于點G，M，通過證明△EGM∽△CHM可求得結果.

Thus,hyperglycemia induces oxidative stress,which contributes to the accumulation of toxic products,which in turn leads to atherogenic modification of m-LDL,endothelial dysfunction and atherosclerosis progression in patients with diabetes.

思路3：如圖8，延長CF至點M，使FM=EF，連接EM，通過證明△AEP∽△ECM可求得結果.

圖8

圖9

思路4：如圖9，延長CE，與DA的延長線交于點M，延長FE，與AM交于點G，過點E作EH⊥AM于點H，通過證明△MGE∽△CFE可求得結果.

其實解決此題的思路遠不止于此.對中考試題進行改編不僅能起到觸類旁通的效果，還能通過一題多解拓寬學生的思維.

三、對于解題方法的延續(xù)，追求通性、通法

解題教學的目的是為了讓學生更好地掌握解決問題的通性、通法.高質量的中考試題中往往滲透著重要的解題的通性、通法，如果能將重要的解題方法延續(xù)到一道全新的題目中，這將會是一種很好的命題策略.筆者帶著這樣的命題思考，不斷地嘗試著對中考試題進行改編，效果頗佳.這不僅延續(xù)了中考試題中所滲透的解題通法，而且能使學生進一步鞏固與完善該解題通法在不同形態(tài)下的體現與優(yōu)化.

案例3：對一道動點最值類試題的改編.

原題3（2017年貴州·貴陽卷）如圖10，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，E是AB的中點，F是AD邊上的一個動點，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A′EF，則A′C的長的最小值是_____．

圖10

針對此題，筆者進行如下改編.

如圖11，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=5，D是AC上一點，且DC=3，E是BC邊上的一個動點，連接DE，將△CDE沿DE所在直線翻折，得到△FDE，則點B與點F之間的距離最小值是______.

圖11

原題3是一道求定點到動點距離的最值問題，此類問題首先要分析出動點運動的軌跡是什么.由翻折的性質不難發(fā)現EA′的長始終為2，于是動點A′的運動軌跡為圓.如圖12，當C，A′，E三點共線時，A′C的最小值為.此題的解題方法在近年來的最值問題中實屬常見.于是，筆者通過解題方法的延續(xù)策略命制了一道新的題目.

圖12

改編題的初稿只是將原題中的矩形變式為直角三角形，如圖13所示.然而，筆者認為，如此命制雖然起到了延續(xù)解題方法的作用，但與原題相仿程度過高，不甚理想.因此，就有了∠BAC=120°的改編，著實增加了BD的計算難度，如圖14所示.改編題不僅延續(xù)了原題的解題方法，還增加了學生的思維厚度，從而賦予了其更好的評價功能.

圖13

圖14

四、對于問題探究的延續(xù)，追求思維生長

近年來，中考數學試題的命制從原來的“以知識立意”向“以能力立意”轉化，強調由“知識測量型”向“能力測量型”轉變，更加注重考查學生繼續(xù)學習的潛能，注重考查學生的數學核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.新定義型探究類問題是近年來中考數學命題創(chuàng)新的一個顯著特點，它因具有新穎性、開放性、創(chuàng)造性和綜合性的特點而深受命題者青睞.然而，當命題者對于命制出一個全新的新定義型試題存在困難時，可以對已有的高質量中考試題進行改編.可以嘗試著將原中考試題的探究方向繼續(xù)深入下去，讓探究得到進一步延續(xù)，這何嘗不是一種好的命題方式呢.

案例4：對一道新定義型試題的改編.

原題4（2016年浙江·衢州卷）如圖15，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

圖15

圖16

（1）概念理解：如圖16，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？并說明理由．

（2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數量關系．

猜想結論：_______（要求用文字語言敘述）．

寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．

（3）問題解決：如圖17，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．

圖17

針對此題，筆者進行如下改編.

（1）概念理解：如圖18，已知在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，，問菱形ABCD是垂比四邊形嗎？試說明理由．

圖18

圖19

（2）嘗試探究：如圖19，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，O是邊BC的中點，tan∠BAO=2，問在射線AO上是否存在點D，使得四邊形ABDC是垂比系數為2的垂比四邊形.若存在，試求出此時線段OD的長；若不存在，試說明理由．

（3）問題解決：如圖20，分別以Rt△ABC的斜邊AC和直角邊AB為邊向外作Rt△ACD和Rt△ABE，且∠CAD=∠BAE=90°，連接DE，已知AE=1，BC=2，當四邊形BCDE是垂比系數為3的垂比四邊形時，求DE的長．

圖20

上述改編題中的第（1）（2）小題較為容易，而第（3）小題的思維層次有了較大的飛躍.第（3）小題中，如圖21和圖22，連接BD，EC，通過證明△EAC∽△BAD，得到AB=3AE=3或兩種情況.

圖21

圖22

原題4是一道經典的新定義型探究問題，以垂美四邊形的“新定義理解—性質探究—解決問題”為探究主線，設置了層層遞進的三道小題，充分發(fā)揮了其過程學習型的評價功能.筆者以此題中的核心條件“對角線互相垂直”為突破口，發(fā)現垂直是位置關系，假如再增加一個數量關系，是否能賦予試題新的探究價值與評價功能呢？于是，筆者就對互相垂直的兩條對角線增加了一個“比值為某一具體整數”的條件，將垂美四邊形變式為垂比四邊形，命制出上述改編題.從垂美四邊形到垂比四邊形，雖然只一字之差，但是從題目的難度，以及思維的深度來看，融入了對相似三角形的對應邊成比例的考查，滲透了分類討論的數學思想，既明顯提升了對學生的思維層次的要求，又在延續(xù)原題探究問題的基礎上達到了思維的生長.

五、結束語

初中數學題的命制是一門高深的教學藝術.不會命題的教師很難成為真正的優(yōu)秀教師.可見，命題的技術對于一線教師來說，體現了把握教學標準的能力.本文只是筆者對于近幾年命題實踐的不太成熟的點滴體會，由于水平和經驗有限，必定存在著諸多瑕疵，望讀者能批評指正.同時，文中所闡述的命題方法之延續(xù)策略還不夠完善，必然還存在對于其他優(yōu)秀特征的延續(xù)，待今后在命題實踐中不斷地探索與完善.